UA OPTI570 量子力学33 Time-dependent Perturbation基础

背景
上一讲介绍interaction picture时提到了time-dependent perturbation，假设Hamiltonian满足
H(t)=H0+W(t)H(t)=H_0+W(t)H(t)=H0+W(t)

也就是和时间无关的项H0H_0H0与和时间有关的项W(t)W(t)W(t)可以分开，称W(t)W(t)W(t)是time-dependent perturbation，基于H0H_0H0的时间演化算符为
U(t,t0)=e−iH0(t−t0)/ℏU(t,t_0)=e^{-iH_0(t-t_0)/\hbar}U(t,t0)=e−iH0(t−t0)/ℏ

Interaction Picture的参考系满足
F=U†(t,t0)=eiH0(t−t0)/ℏ\mathbb{F}=U^{\dag}(t,t_0)=e^{iH_0(t-t_0)/\hbar}F=U†(t,t0)=eiH0(t−t0)/ℏ

简单起见记t0=0t_0=0t0=0，假设某个量子态可以写成能量特征态的叠加：
∣ψ(t)⟩=∑ncn(t)∣ϕn⟩|\psi(t) \rangle = \sum_n c_n(t) |\phi_n \rangle∣ψ(t)⟩=n∑cn(t)∣ϕn⟩

则在interaction picture中，
∣ψI(t)⟩=∑ncn(t)eiH0t/ℏ∣ϕn⟩|\psi_I(t) \rangle = \sum_n c_n(t)e^{iH_0t/\hbar} |\phi_n \rangle∣ψI(t)⟩=n∑cn(t)eiH0t/ℏ∣ϕn⟩

可以发现在interaction picture中，相同能量特征态的概率不会改变，
Pn=∣cn(t)∣2=∣cn(t)eiH0t/ℏ∣2\mathbb{P}_n=|c_n(t)|^2=|c_n(t)e^{iH_0t/\hbar} |^2Pn=∣cn(t)∣2=∣cn(t)eiH0t/ℏ∣2

这一讲我们介绍一点time-dependent perturbation theory的基础，用来近似量子态之间的转移概率。

问题描述
哈密顿量HHH满足H(t)=H0+W(t)H(t)=H_0+W(t)H(t)=H0+W(t)，假设H0H_0H0的特征方程为
H0∣ϕn⟩=En∣ϕn⟩H_0|\phi_n \rangle = E_n |\phi_n \rangleH0∣ϕn⟩=En∣ϕn⟩

初始量子态为
∣ψ(t0)⟩=∑ncn(t0)∣ϕn⟩|\psi(t_0) \rangle = \sum_n c_n(t_0)|\phi_n \rangle∣ψ(t0)⟩=n∑cn(t0)∣ϕn⟩

目标是得到ttt时间后系统可能的量子态（用∣ψf⟩|\psi_f \rangle∣ψf⟩表示）及相应概率（用Pf(t)\mathbb{P}_f(t)Pf(t)表示）。

理想情况
理想情况是∣ψ(t)⟩|\psi(t) \rangle∣ψ(t)⟩可以根据哈密顿量H(t)H(t)H(t)与薛定谔方程解析得到，那么Pf(t)\mathbb{P}_f(t)Pf(t)就等于到∣ψf⟩|\psi_f \rangle∣ψf⟩的投影算符的均值，即
Pf(t)=⟨ψ(t)∣ψf⟩⟨ψf∣ψ(t)⟩\mathbb{P}_f(t) = \langle \psi(t) | \psi_f \rangle \langle \psi_f | \psi(t) \ranglePf(t)=⟨ψ(t)∣ψf⟩⟨ψf∣ψ(t)⟩

但是time-dependent Hamiltonian定义的量子系统通常很难有解析解，∣ψ(t)⟩|\psi(t) \rangle∣ψ(t)⟩的解析式也就找不到。

Time-dependent Perturbation Theory
Time-dependent Perturbation Theory提供了在找不到∣ψ(t)⟩|\psi(t) \rangle∣ψ(t)⟩的解析式的情况下，近似计算Pf(t)\mathbb{P}_f(t)Pf(t)的方法。记W(t)=λW^(t)W(t)=\lambda \hat W(t)W(t)=λW^(t)，对bn(t)=cn(t)eiH0t/ℏb_n(t)=c_n(t)e^{iH_0t/\hbar}bn(t)=cn(t)eiH0t/ℏ做展开，
bn(t)=bn(0)(t)+λbn(1)(t)+λ2bn(2)(t)+⋯b_n(t)=b_n^{(0)}(t)+\lambda b_n^{(1)}(t) +\lambda^2 b_n^{(2)}(t) +\cdotsbn(t)=bn(0)(t)+λbn(1)(t)+λ2bn(2)(t)+⋯

其中λrbn(r)(t)\lambda^r b_n^{(r)}(t)λrbn(r)(t)表示bn(t)b_n(t)bn(t)的展开式中的第rrr阶项，将其代入到interaction picture的Effective薛定谔方程中，
iℏ∂∂t∣ψI(t)⟩=HI(t)∣ψI(t)⟩=λeiH0(t−t0)/ℏW^(t)e−iH0(t−t0)/ℏ∣ψI(t)⟩\begin{aligned} i\hbar \frac{\partial}{\partial t}|\psi_I(t) \rangle = H_I(t)|\psi_I(t) \rangle = \lambda e^{iH_0(t-t_0)/\hbar} \hat W(t)e^{-iH_0(t-t_0)/\hbar} |\psi_I(t) \rangle\end{aligned}iℏ∂t∂∣ψI(t)⟩=HI(t)∣ψI(t)⟩=λeiH0(t−t0)/ℏW^(t)e−iH0(t−t0)/ℏ∣ψI(t)⟩

其中
∣ψI(t)⟩=∑nbn(t)∣ϕn⟩=∑n∑rλrbn(r)(t)∣ϕn⟩|\psi_I(t) \rangle=\sum_n b_n(t)|\phi_n \rangle = \sum_n \sum _r \lambda^r b_n^{(r)}(t) |\phi_n \rangle∣ψI(t)⟩=n∑bn(t)∣ϕn⟩=n∑r∑λrbn(r)(t)∣ϕn⟩

所以
iℏ∂∂t∣ψI(t)⟩=iℏ∑n∣ϕn⟩∑rλr∂∂tbn(r)(t)λeiH0(t−t0)/ℏW^(t)e−iH0(t−t0)/ℏ∣ψI(t)⟩=λeiH0(t−t0)/ℏW^(t)e−iH0(t−t0)/ℏ∑n∑rλrbn(r)(t)∣ϕn⟩i\hbar \frac{\partial}{\partial t}|\psi_I(t) \rangle = i\hbar \sum_n |\phi_n \rangle \sum _r \lambda^r \frac{\partial}{\partial t} b_n^{(r)}(t) \\ \lambda e^{iH_0(t-t_0)/\hbar} \hat W(t)e^{-iH_0(t-t_0)/\hbar} |\psi_I(t) \rangle \\ = \lambda e^{iH_0(t-t_0)/\hbar} \hat W(t)e^{-iH_0(t-t_0)/\hbar} \sum_n \sum _r \lambda^r b_n^{(r)}(t) |\phi_n \rangleiℏ∂t∂∣ψI(t)⟩=iℏn∑∣ϕn⟩r∑λr∂t∂bn(r)(t)λeiH0(t−t0)/ℏW^(t)e−iH0(t−t0)/ℏ∣ψI(t)⟩=λeiH0(t−t0)/ℏW^(t)e−iH0(t−t0)/ℏn∑r∑λrbn(r)(t)∣ϕn⟩

化简可得
∂∂tbn(r)(t)∣ϕn⟩=bn(r−1)(t)eiH0(t−t0)/ℏW^(t)e−iH0(t−t0)/ℏ∣ϕn⟩bn(r)(t)∣ϕn⟩=∫t0tbn(r−1)(t′)eiH0(t′−t0)/ℏW^(t′)e−iH0(t′−t0)/ℏ∣ϕn⟩dt′⟨ϕk∣bn(r)(t)∣ϕn⟩=∫t0tbn(r−1)(t′)⟨ϕk∣eiH0(t′−t0)/ℏW^(t′)e−iH0(t′−t0)/ℏ∣ϕn⟩dt′=1iℏ∫t0tbk(r−1)(t′)⟨ϕk∣W^(t′)dt′∣ϕn⟩eiwnkt′dt′∑k⟨ϕk∣bn(r)(t)∣ϕn⟩=bn(r)(t)=1iℏ∫t0t∑keiwnkt′W^nk(t′)bk(r−1)(t′)dt′\frac{\partial}{\partial t} b_n^{(r)}(t) |\phi_n\rangle =b_n^{(r-1)}(t) e^{iH_0(t-t_0)/\hbar} \hat W(t)e^{-iH_0(t-t_0)/\hbar}|\phi_n \rangle \\ b_n^{(r)}(t) |\phi_n\rangle =\int_{t_0}^t b_n^{(r-1)}(t') e^{iH_0(t'-t_0)/\hbar} \hat W(t')e^{-iH_0(t'-t_0)/\hbar}|\phi_n \rangle dt' \\ \begin{aligned} \langle \phi_k |b_n^{(r)}(t) |\phi_n\rangle & =\int_{t_0}^t b_n^{(r-1)}(t') \langle \phi_k |e^{iH_0(t'-t_0)/\hbar} \hat W(t')e^{-iH_0(t'-t_0)/\hbar}|\phi_n \rangle dt' \\ & = \frac{1}{i\hbar} \int_{t_0}^t b_k^{(r-1)}(t') \langle \phi_k | \hat W(t')dt' | \phi_n \rangle e^{iw_{nk}t'} dt'\end{aligned} \\ \sum_k \langle \phi_k |b_n^{(r)}(t) |\phi_n\rangle = b_n^{(r)}(t)=\frac{1}{i\hbar} \int_{t_0}^t \sum_k e^{iw_{nk}t'}\hat W_{nk}(t')b_k^{(r-1)}(t')dt'∂t∂bn(r)(t)∣ϕn⟩=bn(r−1)(t)eiH0(t−t0)/ℏW^(t)e−iH0(t−t0)/ℏ∣ϕn⟩bn(r)(t)∣ϕn⟩=∫t0tbn(r−1)(t′)eiH0(t′−t0)/ℏW^(t′)e−iH0(t′−t0)/ℏ∣ϕn⟩dt′⟨ϕk∣bn(r)(t)∣ϕn⟩=∫t0tbn(r−1)(t′)⟨ϕk∣eiH0(t′−t0)/ℏW^(t′)e−iH0(t′−t0)/ℏ∣ϕn⟩dt′=iℏ1∫t0tbk(r−1)(t′)⟨ϕk∣W^(t′)dt′∣ϕn⟩eiwnkt′dt′k∑⟨ϕk∣bn(r)(t)∣ϕn⟩=bn(r)(t)=iℏ1∫t0tk∑eiwnkt′W^nk(t′)bk(r−1)(t′)dt′

所以它的解为
bn(r)(t)=1iℏ∫t0t∑keiwnkt′W^nk(t′)bk(r−1)(t′)dt′b_n^{(r)}(t) =\frac{1}{i\hbar} \int_{t_0}^t \sum_k e^{iw_{nk}t'}\hat W_{nk}(t')b_k^{(r-1)}(t')dt'bn(r)(t)=iℏ1∫t0tk∑eiwnkt′W^nk(t′)bk(r−1)(t′)dt′

比如，
bn(0)=bn(t0)bn(1)(t)=1iℏ∫t0t∑keiwnkt′W^nk(t′)bk(t′)dt′bn(2)(t)=1iℏ∫t0t∑k′eiwnkt′′W^nk(t′′)bk′(1)(t′′)dt′′b_n^{(0)}=b_n(t_0) \\ b_n^{(1)}(t)=\frac{1}{i\hbar} \int_{t_0}^t \sum_k e^{iw_{nk}t'}\hat W_{nk}(t')b_k(t')dt' \\ b_n^{(2)}(t)=\frac{1}{i\hbar} \int_{t_0}^t \sum_{k'} e^{iw_{nk}t''}\hat W_{nk}(t'')b_{k'}^{(1)}(t'')dt'' bn(0)=bn(t0)bn(1)(t)=iℏ1∫t0tk∑eiwnkt′W^nk(t′)bk(t′)dt′bn(2)(t)=iℏ1∫t0tk′∑eiwnkt′′W^nk(t′′)bk′(1)(t′′)dt′′

其中wnkw_{nk}wnk是Bohr frequency，可以用Einstein-Planck关系得到
wnk=En−Ekℏw_{nk}=\frac{E_n-E_k}{\hbar}wnk=ℏEn−Ek

W^nk(t′)\hat W_{nk}(t')W^nk(t′)由perturbation计算得到
W^nk(t′)=⟨ϕn∣W^(t′)∣ϕk⟩\hat W_{nk}(t') = \langle \phi_n |\hat W(t')|\phi_k \rangleW^nk(t′)=⟨ϕn∣W^(t′)∣ϕk⟩

例：假设∣ψ(0)⟩=∣ϕi⟩|\psi(0) \rangle=|\phi_i \rangle∣ψ(0)⟩=∣ϕi⟩，则bi(0)=bi(0)=1b_i^{(0)}=b_i(0)=1bi(0)=bi(0)=1，所以
bn(1)(t)=1iℏ∫t0t∑keiwnkt′W^nk(t′)bk(t′)dt′=1iℏ∫t0teiwnit′W^ni(t′)dt′b_n^{(1)}(t)=\frac{1}{i\hbar} \int_{t_0}^t \sum_k e^{iw_{nk}t'}\hat W_{nk}(t')b_k(t')dt'=\frac{1}{i\hbar} \int_{t_0}^t e^{iw_{ni}t'}\hat W_{ni}(t')dt'bn(1)(t)=iℏ1∫t0tk∑eiwnkt′W^nk(t′)bk(t′)dt′=iℏ1∫t0teiwnit′W^ni(t′)dt′

综上，如果用一阶近似，则
Pf(t)=∣bf(0)+λbf(1)(t)∣2\mathbb{P}_f(t)=|b_f(0)+\lambda b_f^{(1)}(t)|^2Pf(t)=∣bf(0)+λbf(1)(t)∣2

如果初始量子态为∣ϕi⟩|\phi_i \rangle∣ϕi⟩，ttt时间后的量子态为∣ϕf⟩|\phi_f \rangle∣ϕf⟩，则
Pi→f(t)=λ2∣bf(1)∣2=λ2ℏ2∣∫t0teiwnit′W^ni(t′)dt′∣2\mathbb{P}_{i \to f}(t)=\lambda^2|b_f^{(1)}|^2 = \frac{\lambda^2}{\hbar^2}|\int_{t_0}^t e^{iw_{ni}t'}\hat W_{ni}(t')dt'|^2Pi→f(t)=λ2∣bf(1)∣2=ℏ2λ2∣∫t0teiwnit′W^ni(t′)dt′∣2

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