UA OPTI570 量子力学34 Harmonic Perturbation简介

考虑Hamiltonian H(t)=H0+W(t)H(t)=H_0+W(t)H(t)=H0+W(t)，其中time-dependent perturbation W(t)W(t)W(t)满足
W(t)=Wsin⁡(wt)W(t)=W \sin(wt)W(t)=Wsin(wt)

称这样的time-dependent perturbation为harmonic perturbation。我们用上一讲最后的例子的设定简单讨论一下harmonic perturbation的性质。

Harmonic perturbation下的转移概率
假设∣ψ(0)⟩=∣ϕi⟩|\psi(0) \rangle=|\phi_i \rangle∣ψ(0)⟩=∣ϕi⟩，则bi(0)=bi(0)=1b_i^{(0)}=b_i(0)=1bi(0)=bi(0)=1，所以
bn(1)(t)=1iℏ∫t0t∑keiwnkt′W^nk(t′)bk(t′)dt′=1iℏ∫t0teiwnit′W^ni(t′)dt′b_n^{(1)}(t)=\frac{1}{i\hbar} \int_{t_0}^t \sum_k e^{iw_{nk}t'}\hat W_{nk}(t')b_k(t')dt'=\frac{1}{i\hbar} \int_{t_0}^t e^{iw_{ni}t'}\hat W_{ni}(t')dt'bn(1)(t)=iℏ1∫t0tk∑eiwnkt′W^nk(t′)bk(t′)dt′=iℏ1∫t0teiwnit′W^ni(t′)dt′

如果用一阶近似，则
Pf(t)=∣bf(0)+λbf(1)(t)∣2\mathbb{P}_f(t)=|b_f(0)+\lambda b_f^{(1)}(t)|^2Pf(t)=∣bf(0)+λbf(1)(t)∣2

所以初始量子态为∣ϕi⟩|\phi_i \rangle∣ϕi⟩，ttt时间后的量子态为∣ϕf⟩|\phi_f \rangle∣ϕf⟩的概率为
Pi→f(t)=λ2∣bf(1)∣2=λ2ℏ2∣∫t0teiwfit′W^fi(t′)dt′∣2\mathbb{P}_{i \to f}(t)=\lambda^2|b_f^{(1)}|^2 = \frac{\lambda^2}{\hbar^2}|\int_{t_0}^t e^{iw_{fi}t'}\hat W_{fi}(t')dt'|^2Pi→f(t)=λ2∣bf(1)∣2=ℏ2λ2∣∫t0teiwfit′W^fi(t′)dt′∣2

其中
λW^fi(t′)=Wftsin⁡(wt′)\lambda \hat W_{fi}(t')=W_{ft}\sin(wt')λW^fi(t′)=Wftsin(wt′)

代入到概率的表达式中，
Pi→f(t)=Wfi2ℏ2∣∫t0teiwfit′sin⁡(wt′)dt′∣2\mathbb{P}_{i \to f}(t)= \frac{W_{fi}^2}{\hbar^2}|\int_{t_0}^t e^{iw_{fi}t'}\sin(wt')dt'|^2Pi→f(t)=ℏ2Wfi2∣∫t0teiwfit′sin(wt′)dt′∣2

将eiwfit′e^{iw_{fi}t'}eiwfit′写成cos⁡(wfit′)+isin⁡(wfit′)\cos(w_{fi}t')+i\sin(w_{fi}t')cos(wfit′)+isin(wfit′)，代入到上式的积分中并计算可得
∫t0teiwfit′sin⁡(wt′)dt′=1−ei(wfi+w)twfi+w−1−ei(wfi−w)twfi−w\int_{t_0}^t e^{iw_{fi}t'}\sin(wt')dt'=\frac{1-e^{i(w_{fi}+w)t}}{w_{fi}+w}-\frac{1-e^{i(w_{fi}-w)t}}{w_{fi}-w}∫t0teiwfit′sin(wt′)dt′=wfi+w1−ei(wfi+w)t−wfi−w1−ei(wfi−w)t

Resonant Approximation (也叫rotating wave approximation)
如果∣∣wfi∣−w∣<<∣wfi∣||w_{fi}|-w|<<|w_{fi}|∣∣wfi∣−w∣<<∣wfi∣并且∣∣wfi∣−w∣<<w||w_{fi}|-w|<<w∣∣wfi∣−w∣<<w，则wfiw_{fi}wfi与www同号时，
∣1−ei(wfi−w)twfi−w∣>>∣1−ei(wfi+w)twfi+w∣\left|\frac{1-e^{i(w_{fi}-w)t}}{w_{fi}-w} \right|>> \left| \frac{1-e^{i(w_{fi}+w)t}}{w_{fi}+w}\right|∣∣∣∣wfi−w1−ei(wfi−w)t∣∣∣∣>>∣∣∣∣wfi+w1−ei(wfi+w)t∣∣∣∣

转移概率可以近似为
Pi→f(t)=Wfi2ℏ2∣1−ei(wfi−w)twfi−w∣2\mathbb{P}_{i \to f}(t)= \frac{W_{fi}^2}{\hbar^2}\left|\frac{1-e^{i(w_{fi}-w)t}}{w_{fi}-w} \right|^2Pi→f(t)=ℏ2Wfi2∣∣∣∣wfi−w1−ei(wfi−w)t∣∣∣∣2 wfiw_{fi}wfi与www异号时，转移概率可以近似为
Pi→f(t)=Wfi2ℏ2∣1−ei(wfi+w)twfi+w∣2\mathbb{P}_{i \to f}(t)= \frac{W_{fi}^2}{\hbar^2}\left| \frac{1-e^{i(w_{fi}+w)t}}{w_{fi}+w}\right|^2Pi→f(t)=ℏ2Wfi2∣∣∣∣wfi+w1−ei(wfi+w)t∣∣∣∣2

这两种结果可以统一为下面的形式
Pi→f(t)=∣Ω0∣2Δfi2sin⁡2(Δfit/2)\mathbb{P}_{i \to f}(t) = \frac{|\Omega_0|^2}{\Delta_{fi}^2} \sin^2(\Delta_{fi}t/2)Pi→f(t)=Δfi2∣Ω0∣2sin2(Δfit/2)

其中detuning parameterΔfi=w−∣wfi∣\Delta_{fi}=w-|w_{fi}|Δfi=w−∣wfi∣，Ω0=Wfiℏ\Omega_0=\frac{W_{fi}}{\hbar}Ω0=ℏWfi，这个结果与2-level system的Rabi Oscillator基本一致。

例考虑一个Harmonic Perturbation问题，
H0=P22m+V(X)H_0=\frac{P^2}{2m}+V(X)H0=2mP2+V(X)

它的特征方程为
H0∣ϕn⟩=En∣ϕn⟩H_0|\phi_n \rangle=E_n |\phi_n \rangleH0∣ϕn⟩=En∣ϕn⟩

引入Harmonic Perturbation Wsin⁡(wt)W \sin(wt)Wsin(wt)，则
H(t)=H0+Wsin⁡(wt)H(t)=H_0+W \sin(wt)H(t)=H0+Wsin(wt)

假设系统的初始状态为∣ψ(0)⟩=∣ϕi⟩|\psi(0) \rangle=|\phi_i \rangle∣ψ(0)⟩=∣ϕi⟩并且Resonant Approximation的条件成立，求状态转移概率Pi→f(t,w)\mathbb P_{i \to f}(t,w)Pi→f(t,w)。

方法一 2-level System Approximation：假设除了∣ϕi⟩|\phi_i \rangle∣ϕi⟩与∣ϕf⟩|\phi_f \rangle∣ϕf⟩之外的其他能量本征态都可以忽略，则这个复杂系统就退化成了2-level system，用Rabi Oscillator的方法
Pi→f(t,w)=∣Ω0∣2Ωsin⁡2(Ωt/2)\mathbb P_{i \to f}(t,w)= \frac{|\Omega_0|^2}{\Omega}\sin^2(\Omega t/2)Pi→f(t,w)=Ω∣Ω0∣2sin2(Ωt/2)

其中Ω0=Wfiℏ\Omega_0=\frac{W_{fi}}{\hbar}Ω0=ℏWfi；

方法二 Time-dependent Perturbation Theory：上文已经推导了，在Resonant Approximation下，
Pi→f(t,w)=∣Ω0∣2Δfi2sin⁡2(Δfit/2)\mathbb{P}_{i \to f}(t,w) = \frac{|\Omega_0|^2}{\Delta_{fi}^2} \sin^2(\Delta_{fi}t/2)Pi→f(t,w)=Δfi2∣Ω0∣2sin2(Δfit/2)

这两种方法等价，如果

Large Detuning：Δfi2>>∣Ω0∣2\Delta_{fi}^2>>|\Omega_0|^2Δfi2>>∣Ω0∣2
Weak Coupling：Ω0\Omega_0Ω0非常小

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