UA OPTI570 量子力学30 Degenerate Stationary Perturbation Theory简介

回顾：Nondegenerate Stationary Perturbation Theory
例：用Nondegenerate Stationary Perturbation Theory方法处理Degenerate Stationary Perturbation
Degenerate Stationary Perturbation Theory总结

回顾：Nondegenerate Stationary Perturbation Theory

上一讲介绍了Nondegenerate Stationary Perturbation Theory，它的作用是近似计算复杂Hamitonian的特征方程。假设H^=H0+λW^\hat H=H_0+\lambda \hat WH^=H0+λW^，W^\hat WW^是一个已知的算符，λ\lambdaλ是一个绝对值远小于1的实数，λW^\lambda \hat WλW^被称为small perturbation；H0H_0H0是一个已知的哈密顿量，特征方程为
H0∣ϕni⟩=En0∣ϕni⟩,i=1,⋯,gnH_0|\phi_n^i \rangle = E_n^0 |\phi_n^i \rangle,i=1,\cdots,g_nH0∣ϕni⟩=En0∣ϕni⟩,i=1,⋯,gn

定义H^\hat HH^的特征方程为
H^∣ψn,j⟩=En,j∣ψn,j⟩,j=1,⋯,gn\hat H |\psi_{n,j}\rangle = E_{n,j}|\psi_{n,j}\rangle,j=1,\cdots,g_nH^∣ψn,j⟩=En,j∣ψn,j⟩,j=1,⋯,gn

假设gn=1g_n=1gn=1，称这种Stationary Perturbation Theory为Nondegenerate Stationary Perturbation Theory，此时指标i,ji,ji,j可忽略，主要结论为
En≈En0+λ⟨ϕn∣W^∣ϕn⟩+λ2∑p≠n∑i=1gp∣⟨ϕpi∣W^∣ϕn⟩∣2En0−Ep0∣ψn⟩≈∣ϕn⟩+λ∑p≠n∑i=1gp⟨ϕpi∣W^∣ϕn⟩En0−Ep0∣ϕpi⟩E_n\approx E_n^0+\lambda \langle \phi_n | \hat W | \phi_n \rangle + \lambda^2 \sum_{p \ne n}\sum_{i=1}^{g_p}\frac{|\langle \phi_p^i|\hat W | \phi_n \rangle|^2}{E_n^0-E_p^0} \\ |\psi_n \rangle \approx |\phi_n \rangle + \lambda \sum_{p \ne n}\sum_{i=1}^{g_p}\frac{\langle \phi_p^i|\hat W|\phi_n \rangle}{E_n^0-E_p^0}|\phi_p^i \rangleEn≈En0+λ⟨ϕn∣W^∣ϕn⟩+λ2p=n∑i=1∑gpEn0−Ep0∣⟨ϕpi∣W^∣ϕn⟩∣2∣ψn⟩≈∣ϕn⟩+λp=n∑i=1∑gpEn0−Ep0⟨ϕpi∣W^∣ϕn⟩∣ϕpi⟩

需要注意的是，虽然H0H_0H0与本征值En0E_n^0En0对应的本征态不存在degeneracy，但是它与其他本征值Ep0,p≠nE_p^0,p \ne nEp0,p=n对应的本征态可能存在degeneracy，上式中gpg_pgp就代表index of denegeracy。

例：用Nondegenerate Stationary Perturbation Theory方法处理Degenerate Stationary Perturbation

Degenerate Stationary Perturbation Theory的思想就是用Nondegenerate Stationary Perturbation Theory分别处理i=1,⋯,gni=1,\cdots,g_ni=1,⋯,gn的degeneracy，这里用一个例子说明Degenerate Stationary Perturbation Theory的思想。

考虑2-D isotropic Q.H.O.
H0=Px2+Py22m+12mw2(X2+Y2)H_0=\frac{P_x^2+P_y^2}{2m}+\frac{1}{2}mw^2(X^2+Y^2)H0=2mPx2+Py2+21mw2(X2+Y2)

假设perturbation为
W=λW^=λmw2XYW=\lambda \hat W = \lambda mw^2 XYW=λW^=λmw2XY

定义perturbed Hamitonian为H=H0+WH=H_0+WH=H0+W，虽然HHH的特征方程可以准确推导出来，但为了说明perturbation theory，我们尝试用近似方法。

首先我们来明确一下每个算符的大小的阶，H0H_0H0是量子谐振子的哈密顿量，它的scale自然是ℏw\hbar wℏw，位置算符X,YX,YX,Y的scale自然是quantum length scale σ=ℏmw\sigma=\sqrt{\frac{\hbar}{mw}}σ=mwℏ，而mw2σ2=ℏwmw^2\sigma^2=\hbar wmw2σ2=ℏw，所以W^\hat WW^的scale也是ℏw\hbar wℏw；

接下来我们选择合适的表象，考虑哈密顿量的特征方程，最简单的表象自然就是能量表象了，在能量表象中，H0H_0H0的特征方程为
H0∣nx,ny⟩=Enx+ny0∣nx,ny⟩,Enx+ny0=ℏw(nx+ny+1)H_0|n_x,n_y \rangle=E_{n_x+n_y}^0 |n_x,n_y \rangle,E_{n_x+n_y}^0=\hbar w(n_x+n_y+1)H0∣nx,ny⟩=Enx+ny0∣nx,ny⟩,Enx+ny0=ℏw(nx+ny+1)

能量表象下态空间的基为
{∣0,0⟩,∣1,0⟩,∣0,1⟩,∣2,0⟩,∣1,1⟩,∣0,2⟩,⋯}={∣ϕ0⟩,∣ϕ11⟩,∣ϕ12⟩,∣ϕ21⟩,∣ϕ22⟩,∣ϕ23⟩,⋯}\{|0,0\rangle,|1,0 \rangle,|0,1\rangle,|2,0 \rangle,|1,1 \rangle,|0,2 \rangle,\cdots\} \\ = \{|\phi_0 \rangle,|\phi_1^1 \rangle,|\phi_1^2 \rangle,|\phi_2^1 \rangle,|\phi_2^2 \rangle,|\phi_2^3 \rangle,\cdots\}{∣0,0⟩,∣1,0⟩,∣0,1⟩,∣2,0⟩,∣1,1⟩,∣0,2⟩,⋯}={∣ϕ0⟩,∣ϕ11⟩,∣ϕ12⟩,∣ϕ21⟩,∣ϕ22⟩,∣ϕ23⟩,⋯}

其中∣ϕ0⟩|\phi_0 \rangle∣ϕ0⟩表示基态，∣ϕjkj⟩|\phi_j^{k_j} \rangle∣ϕjkj⟩中的jjj表示2维量子谐振子第jjj激发态，kjk_jkj表示表示2维量子谐振子第jjj激发态中X,YX,YX,Y方向的激发状态。在能量表象下，
H0=ℏw⋅diag(1,2,2,3,3,3,⋯)=ℏw[122333⋯]W^=12ℏw(ax†ay†+ax†ay+axay†+axay)=ℏw[0101100201202020⋯]H_0=\hbar w \cdot diag(1,2,2,3,3,3,\cdots) = \hbar w \left[ \begin{matrix} 1 \\ & 2 \\ & & 2 \\ & & & 3 \\ & & & & 3 \\ & & & & & 3 \\ & & & & & & \cdots\end{matrix} \right] \\ \hat W =\frac{1}{2}\hbar w(a_x^{\dag}a_y^{\dag}+a_x^{\dag}a_y+a_xa_y^{\dag}+a_xa_y) \\ = \hbar w \left[ \begin{matrix} 0 & & & & 1 \\ & 0 & 1 \\ & 1 & 0 \\ & & & 0 & \sqrt{2} & 0 \\ 1& & & \sqrt{2} & 0 & \sqrt{2} \\ & & & 0 & \sqrt{2} & 0 \\ & & & & & & \cdots\end{matrix} \right]H0=ℏw⋅diag(1,2,2,3,3,3,⋯)=ℏw⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡122333⋯⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤W^=21ℏw(ax†ay†+ax†ay+axay†+axay)=ℏw⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡0101100201202020⋯⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤

从这两个矩阵表示中，我们很容易就能看出分块的模式的，W^\hat WW^第一块就是0，对应基态下W^\hat WW^的矩阵表示，第二块是[0110]\left[ \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0\end{matrix} \right][0110]，记为W^(1)\hat W^{(1)}W^(1)，表示第一激发态对应的W^\hat WW^的矩阵表示，依次类推，第nnn个分块矩阵记为W^(n)\hat W^{(n)}W^(n)，表示第n=nx+nyn=n_x+n_yn=nx+ny个激发态下W^\hat WW^的矩阵表示。用类似的分块方法也可以对H0H_0H0的矩阵表示做分块，第nnn个分块矩阵记为H0(n)H_0^{(n)}H0(n)，表示第nnn个激发态下H0H_0H0的矩阵表示。

进行分块以后，在每个激发态下，我们都可以使用Nondegenerate Stationary Perturbation Theory近似计算H(n)=H0(n)+W^(n)H^{(n)}=H_0^{(n)}+\hat W^{(n)}H(n)=H0(n)+W^(n)的特征方程。先计算基态的近似，
E0=E00+λ⟨0,0∣W^∣0,0⟩+λ2∑px,py≠0∣⟨px,py∣W^∣0,0⟩∣2E00−(px+py+1)ℏw=ℏw+0+(λ2ℏw)2−2ℏw=ℏw(1−λ28)∣ψ0⟩=∣0,0⟩−λ4∣1,1⟩⇒Normalization∣0,0⟩−λ4∣1,1⟩1+λ216\begin{aligned}E_0 & = E_0^0+\lambda \langle 0,0|\hat W |0,0 \rangle + \lambda^2 \sum_{p_x,p_y \ne 0} \frac{|\langle p_x,p_y |\hat W |0,0\rangle|^2}{E_0^0-(p_x+p_y+1)\hbar w} \\ & = \hbar w+0+\frac{(\frac{\lambda}{2}\hbar w)^2}{-2 \hbar w} = \hbar w\left(1-\frac{\lambda^2}{8}\right)\end{aligned} \\ \begin{aligned} |\psi_0 \rangle = |0,0\rangle-\frac{\lambda}{4}|1,1\rangle \Rightarrow_{Normalization} \frac{ |0,0\rangle-\frac{\lambda}{4}|1,1\rangle}{\sqrt{1+\frac{\lambda^2}{16}}} \end{aligned}E0=E00+λ⟨0,0∣W^∣0,0⟩+λ2px,py=0∑E00−(px+py+1)ℏw∣⟨px,py∣W^∣0,0⟩∣2=ℏw+0+−2ℏw(2λℏw)2=ℏw(1−8λ2)∣ψ0⟩=∣0,0⟩−4λ∣1,1⟩⇒Normalization1+16λ2∣0,0⟩−4λ∣1,1⟩

然后计算第一激发态，第一激发态有两种量子态，分别表示XXX激发与YYY激发，所以对应两种能量本征值，E1,1,E1,2E_{1,1}, E_{1,2}E1,1,E1,2，它们等于E10E_1^0E10加上W(1)W^{(1)}W(1)的本征值，其中W=λℏw/2[0110]W=\lambda \hbar w/2 \left[ \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0\end{matrix} \right]W=λℏw/2[0110]，本征值为±λℏw2\pm \frac{\lambda \hbar w}{2}±2λℏw，本征态为∣1,0⟩±∣0,1⟩2\frac{|1,0 \rangle \pm |0,1 \rangle}{\sqrt{2}}2∣1,0⟩±∣0,1⟩，所以
E1,1=2ℏw−12λℏw,∣ψ1,1⟩=∣1,0⟩−∣0,1⟩2E1,2=2ℏw+12λℏw,∣ψ1,2⟩=∣1,0⟩+∣0,1⟩2E_{1,1}=2\hbar w-\frac{1}{2}\lambda \hbar w,|\psi_{1,1} \rangle=\frac{|1,0 \rangle - |0,1 \rangle}{\sqrt{2}} \\ E_{1,2}=2\hbar w+\frac{1}{2}\lambda \hbar w,|\psi_{1,2} \rangle=\frac{|1,0 \rangle+ |0,1 \rangle}{\sqrt{2}}E1,1=2ℏw−21λℏw,∣ψ1,1⟩=2∣1,0⟩−∣0,1⟩E1,2=2ℏw+21λℏw,∣ψ1,2⟩=2∣1,0⟩+∣0,1⟩

接下来是第二激发态，操作方法与计算第一激发态类似。

Degenerate Stationary Perturbation Theory总结

第一步：在确定了问题的Hamiltonian与perturbation后，在能量表象
{∣0,0⟩,∣1,0⟩,∣0,1⟩,∣2,0⟩,∣1,1⟩,∣0,2⟩,⋯}={∣ϕ0⟩,∣ϕ11⟩,∣ϕ12⟩,∣ϕ21⟩,∣ϕ22⟩,∣ϕ23⟩,⋯}\{|0,0\rangle,|1,0 \rangle,|0,1\rangle,|2,0 \rangle,|1,1 \rangle,|0,2 \rangle,\cdots\} \\ = \{|\phi_0 \rangle,|\phi_1^1 \rangle,|\phi_1^2 \rangle,|\phi_2^1 \rangle,|\phi_2^2 \rangle,|\phi_2^3 \rangle,\cdots\}{∣0,0⟩,∣1,0⟩,∣0,1⟩,∣2,0⟩,∣1,1⟩,∣0,2⟩,⋯}={∣ϕ0⟩,∣ϕ11⟩,∣ϕ12⟩,∣ϕ21⟩,∣ϕ22⟩,∣ϕ23⟩,⋯}

下写出Hamiltonian与perturbation的矩阵表示，并找出分块的模式H0(n)H_0^{(n)}H0(n)与W(n)W^{(n)}W(n)；

第二步：用Stationary Perturbation Theory近似基态及其本征值，
E0=E00+λ⟨0,0∣W^∣0,0⟩+λ2∑px,py≠0∣⟨px,py∣W^∣0,0⟩∣2E00−Ep0∣ψ0⟩=∣0,0⟩−λ∑px,py≠0⟨px,py∣W^∣0,0⟩E00−Ep0∣px,py⟩E_0 = E_0^0+\lambda \langle 0,0|\hat W |0,0 \rangle + \lambda^2 \sum_{p_x,p_y \ne 0} \frac{|\langle p_x,p_y |\hat W |0,0\rangle|^2}{E_0^0-E_p^0} \\ |\psi_0 \rangle = |0,0 \rangle-\lambda \sum_{p_x,p_y \ne 0}\frac{\langle p_x,p_y|\hat W|0,0 \rangle}{E_0^0-E_p^0}|p_x,p_y\rangleE0=E00+λ⟨0,0∣W^∣0,0⟩+λ2px,py=0∑E00−Ep0∣⟨px,py∣W^∣0,0⟩∣2∣ψ0⟩=∣0,0⟩−λpx,py=0∑E00−Ep0⟨px,py∣W^∣0,0⟩∣px,py⟩

第三步：计算W(n)W^{(n)}W(n)的本征值与本征态，
W(n)∣vn,j⟩=ϵn,j∣vn,j⟩W^{(n)}|v_{n,j} \rangle = \epsilon_{n,j}|v_{n,j} \rangleW(n)∣vn,j⟩=ϵn,j∣vn,j⟩

用下面的公式做近似En,j≈En0+ϵn,j∣ψn,j⟩=∣vn,j⟩E_{n,j} \approx E_n^0+\epsilon_{n,j} \\ |\psi_{n,j} \rangle = |v_{n,j} \rangleEn,j≈En0+ϵn,j∣ψn,j⟩=∣vn,j⟩