UA OPTI570 量子力学32 参考系与绘景

Time-dependent Hamiltonian
- 薛定谔方程
- Time-dependent Reference Frame
绘景
- 薛定谔绘景（Schroedinger Picture）
- 海森堡绘景（Heisenberg Picture）
- Interaction Picture

Time-dependent Hamiltonian

薛定谔方程

在之前的笔记中，我们讨论了薛定谔方程的可解性。考虑薛定谔方程
iℏ∂∂t∣ψ(t)⟩=H^∣ψ(t)⟩i\hbar \frac{\partial}{\partial t}|\psi(t) \rangle = \hat H |\psi(t) \rangleiℏ∂t∂∣ψ(t)⟩=H^∣ψ(t)⟩

如果H^\hat HH^关于时间是常量，则U^(t,t0)=e−iH^(t−t0)/ℏ\hat U(t,t_0)=e^{-i\hat H(t-t_0)/\hbar}U^(t,t0)=e−iH^(t−t0)/ℏ
如果H^\hat HH^关于时间不是常量，但[H^(t),H^(t′)]=0[\hat H(t),\hat H(t')]=0[H^(t),H^(t′)]=0，则U^(t,t0)=e−∫t0tH^(t′)dt′/ℏ\hat U(t,t_0)=e^{-\int_{t_0}^t \hat H(t')dt'/\hbar}U^(t,t0)=e−∫t0tH^(t′)dt′/ℏ
如果H^\hat HH^关于时间不是常数，而且[H^(t),H^(t′)]≠0[\hat H(t),\hat H(t')] \ne 0[H^(t),H^(t′)]=0，我们就需要解薛定谔方程了iℏ∣ψ(t)⟩=H^(t)∣ψ(t)⟩i\hbar |\psi(t) \rangle = \hat H(t)|\psi(t) \rangleiℏ∣ψ(t)⟩=H^(t)∣ψ(t)⟩

第一个结果是第二个结果的特例，也可以直接推导得到，如果H^\hat HH^是常量，则iℏ∣ψ(t)⟩=H^∣ψ(t)⟩i\hbar |\psi(t) \rangle = \hat H|\psi(t) \rangleiℏ∣ψ(t)⟩=H^∣ψ(t)⟩就是一个很简单的常系数线性微分方程组，通解为
∣ψ(t)⟩=eH^iℏ(t−t0)∣ψ(t0)⟩=e−iH^(t−t0)/ℏ∣ψ(t0)⟩|\psi(t) \rangle = e^{\frac{\hat H}{i\hbar}(t-t_0)}|\psi(t_0)\rangle=e^{-i\hat H(t-t_0)/\hbar}|\psi(t_0)\rangle∣ψ(t)⟩=eiℏH^(t−t0)∣ψ(t0)⟩=e−iH^(t−t0)/ℏ∣ψ(t0)⟩第二个结果的证明在这一篇，现在讨论第三种情况，下面把H^\hat HH^简写为HHH。

Time-dependent Reference Frame

类比经典力学中建立适当的参考系以简化问题的思路，对特征态∣ψ(t)⟩|\psi(t) \rangle∣ψ(t)⟩引入一个参考系F(t):E→E\mathbb{F}(t):\mathcal{E} \to \mathcal{E}F(t):E→E，参考系是一个酉算符，它作用在特征态上得到的量子态也属于态空间，
∣ψE(t)⟩=F(t)∣ψ(t)⟩∈E|\psi_E(t)\rangle=\mathbb{F}(t)|\psi(t) \rangle \in \mathcal{E}∣ψE(t)⟩=F(t)∣ψ(t)⟩∈E

称∣ψE(t)⟩|\psi_E(t)\rangle∣ψE(t)⟩为Effective State；它满足的薛定谔方程为
iℏ∂∂t∣ψ(t)⟩=HE(t)∣ψ(t)⟩i\hbar \frac{\partial}{\partial t}|\psi(t) \rangle = H_E(t) |\psi(t) \rangleiℏ∂t∂∣ψ(t)⟩=HE(t)∣ψ(t)⟩

称这个薛定谔方程为Effective Schroedinger方程，称HEH_EHE为Effective Hamiltonian，它与原Hamiltonian的关系为
HE(t)=F(t)H(t)F†(t)−iℏF(t)∂∂tF†(t)H_E(t)=\mathbb{F}(t) H(t)\mathbb{F}^{\dag}(t)-i\hbar \mathbb{F}(t)\frac{\partial}{\partial t} \mathbb{F}^{\dag}(t)HE(t)=F(t)H(t)F†(t)−iℏF(t)∂t∂F†(t)

证明：In Schroedinger equation,
iℏ∂∂t∣ψ(t)⟩=H(t)∣ψ(t)⟩i\hbar \frac{\partial}{\partial t}|\psi(t) \rangle = H(t)|\psi(t) \rangleiℏ∂t∂∣ψ(t)⟩=H(t)∣ψ(t)⟩

Now do substitution ∣ψ(t)⟩=F†(t)∣ψE(t)⟩|\psi(t) \rangle =\mathbb{F}^{\dag}(t)|\psi_E(t) \rangle∣ψ(t)⟩=F†(t)∣ψE(t)⟩,
LHS=iℏ∂∂t(F†(t)∣ψE(t)⟩)=iℏ(∂∂tF†(t))∣ψE(t)⟩+iℏF†(t)∂∂t∣ψE(t)⟩RHS=H(t)∣ψ(t)⟩=H(t)F†(t)∣ψE(t)⟩\begin{aligned}LHS & =i\hbar \frac{\partial}{\partial t}\left( \mathbb{F}^{\dag}(t)|\psi_E(t) \rangle \right) \\ & =i\hbar \left( \frac{\partial}{\partial t} \mathbb{F}^{\dag}(t) \right)|\psi_E(t) \rangle + i\hbar \mathbb{F}^{\dag}(t) \frac{\partial}{\partial t}|\psi_E(t) \rangle \\ RHS & =H(t)|\psi(t) \rangle=H(t)\mathbb{F}^{\dag}(t)|\psi_E(t) \rangle \end{aligned}LHSRHS=iℏ∂t∂(F†(t)∣ψE(t)⟩)=iℏ(∂t∂F†(t))∣ψE(t)⟩+iℏF†(t)∂t∂∣ψE(t)⟩=H(t)∣ψ(t)⟩=H(t)F†(t)∣ψE(t)⟩

So the equation becomes
iℏ(∂∂tF†(t))∣ψE(t)⟩+iℏF†(t)∂∂t∣ψE(t)⟩=H(t)F†(t)∣ψE(t)⟩iℏF†(t)∂∂t∣ψE(t)⟩=(H(t)F†(t)−iℏ∂∂tF†(t))∣ψE(t)⟩iℏ∂∂t∣ψE(t)⟩=(F(t)H(t)F†(t)−iℏF(t)∂∂tF†(t))∣ψE(t)⟩i\hbar \left( \frac{\partial}{\partial t} \mathbb{F}^{\dag}(t) \right)|\psi_E(t) \rangle + i\hbar \mathbb{F}^{\dag}(t) \frac{\partial}{\partial t}|\psi_E(t) \rangle = H(t)\mathbb{F}^{\dag}(t)|\psi_E(t) \rangle \\ i\hbar \mathbb{F}^{\dag}(t) \frac{\partial}{\partial t}|\psi_E(t) \rangle = \left( H(t)\mathbb{F}^{\dag}(t)-i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \mathbb{F}^{\dag}(t)\right) |\psi_E(t) \rangle \\ i\hbar \frac{\partial}{\partial t}|\psi_E(t) \rangle = \left(\mathbb{F}(t) H(t)\mathbb{F}^{\dag}(t)-i\hbar \mathbb{F}(t)\frac{\partial}{\partial t} \mathbb{F}^{\dag}(t)\right) |\psi_E(t) \rangleiℏ(∂t∂F†(t))∣ψE(t)⟩+iℏF†(t)∂t∂∣ψE(t)⟩=H(t)F†(t)∣ψE(t)⟩iℏF†(t)∂t∂∣ψE(t)⟩=(H(t)F†(t)−iℏ∂t∂F†(t))∣ψE(t)⟩iℏ∂t∂∣ψE(t)⟩=(F(t)H(t)F†(t)−iℏF(t)∂t∂F†(t))∣ψE(t)⟩

Define effective Hamiltonian,
HE(t)=F(t)H(t)F†(t)−iℏF(t)∂∂tF†(t)H_E(t)=\mathbb{F}(t) H(t)\mathbb{F}^{\dag}(t)-i\hbar \mathbb{F}(t)\frac{\partial}{\partial t} \mathbb{F}^{\dag}(t)HE(t)=F(t)H(t)F†(t)−iℏF(t)∂t∂F†(t)

and the equation becomes effective Shroedinger equation,
iℏ∂∂t∣ψE(t)⟩=HE(t)∣ψE(t)⟩i\hbar \frac{\partial}{\partial t}|\psi_E(t) \rangle = H_E(t)|\psi_E(t) \rangleiℏ∂t∂∣ψE(t)⟩=HE(t)∣ψE(t)⟩

绘景

绘景（Picture）的含义是在不同参考系F(t)\mathbb{F}(t)F(t)下得到的不同effective Shroedinger equation及其导出的量子系统的性质。薛定谔绘景、海森堡绘景与Interaction Picture就是在不同参考系下的结果。

薛定谔绘景（Schroedinger Picture）

在薛定谔绘景中，位置与动量算符不随时间变化，其他算符可以随时间变化，但是这种它们的变化规律具有一些相通的性质。用∣ψS⟩|\psi_S \rangle∣ψS⟩表示薛定谔绘景下的一个量子态，ASA_SAS表示薛定谔绘景下的任意算符，它的均值是
⟨AS⟩=⟨ψS∣AS∣ψS⟩\langle A_S \rangle = \langle \psi_S |A_S |\psi_S \rangle⟨AS⟩=⟨ψS∣AS∣ψS⟩

并且满足微分方程：
ddt⟨AS⟩=1iℏ⟨[AS,HS]⟩+⟨∂AS∂t⟩\frac{d}{dt}\langle A_S \rangle = \frac{1}{i\hbar} \langle [A_S,H_S] \rangle + \langle \frac{\partial A_S}{\partial t} \rangledtd⟨AS⟩=iℏ1⟨[AS,HS]⟩+⟨∂t∂AS⟩

证明：直接计算微分
ddt⟨AS⟩=ddt⟨ψS∣AS∣ψS⟩=(ddt⟨ψS∣)AS∣ψS⟩+⟨ψS∣AS∣(ddtψS⟩)+⟨ψS∣∂∂tAS∣ψS⟩=−1iℏ⟨ψS∣HSAS∣ψS⟩+1iℏ⟨ψS∣ASHS∣ψS⟩+⟨ψS∣∂∂tAS∣ψS⟩=1iℏ⟨[AS,HS]⟩+⟨∂AS∂t⟩\begin{aligned} \frac{d}{dt}\langle A_S \rangle &=\frac{d}{dt}\langle \psi_S |A_S |\psi_S \rangle \\& =(\frac{d}{dt}\langle \psi_S |)A_S |\psi_S \rangle +\langle \psi_S |A_S | (\frac{d}{dt} \psi_S \rangle)+\langle \psi_S |\frac{\partial}{\partial t} A_S |\psi_S \rangle \\ & = -\frac{1}{i\hbar} \langle \psi_S |H_S A_S|\psi_S \rangle +\frac{1}{i\hbar} \langle \psi_S |A_SH_S |\psi_S \rangle+\langle \psi_S |\frac{\partial}{\partial t} A_S |\psi_S \rangle \\ & = \frac{1}{i\hbar} \langle [A_S,H_S] \rangle + \langle \frac{\partial A_S}{\partial t} \rangle\end{aligned}dtd⟨AS⟩=dtd⟨ψS∣AS∣ψS⟩=(dtd⟨ψS∣)AS∣ψS⟩+⟨ψS∣AS∣(dtdψS⟩)+⟨ψS∣∂t∂AS∣ψS⟩=−iℏ1⟨ψS∣HSAS∣ψS⟩+iℏ1⟨ψS∣ASHS∣ψS⟩+⟨ψS∣∂t∂AS∣ψS⟩=iℏ1⟨[AS,HS]⟩+⟨∂t∂AS⟩

基于这个结果，分别取AS=R,PA_S=\textbf R,\textbf PAS=R,P，可得
ddt⟨R⟩=⟨P⟩mddt⟨P⟩=−⟨∇V(R)⟩\frac{d}{dt} \langle \textbf R \rangle = \frac{\langle \textbf P \rangle}{m} \\ \frac{d}{dt}\langle \textbf P \rangle = - \langle \nabla V(\textbf R) \rangledtd⟨R⟩=m⟨P⟩dtd⟨P⟩=−⟨∇V(R)⟩

这两个方程被称为Ehrenfest方程，它们说明在薛定谔绘景下，位移与动量算符的均值满足的微分方程与经典力学中位移与动量满足的方程具有完全相同的形式。

海森堡绘景（Heisenberg Picture）

在海森堡绘景中，参考系就是薛定谔时间演化算符
F(t)=U†(t,t0)\mathbb{F}(t)=U^{\dag}(t,t_0)F(t)=U†(t,t0)

所以同一个算符在海森堡绘景与薛定谔绘景中满足
AH=FASF†=U†(t,t0)ASU(t,t0)A_H = \mathbb{F}A_S \mathbb{F}^{\dag} = U^{\dag}(t,t_0) A_S U(t,t_0)AH=FASF†=U†(t,t0)ASU(t,t0)

根据Effective Hamiltonian的公式，
HE(t)=F(t)H(t)F†(t)−iℏF(t)∂∂tF†(t)=U†(t,t0)H(t)U(t,t0)−iℏU†(t,t0)H(t)U(t,t0)iℏ=0\begin{aligned}H_E(t) & =\mathbb{F}(t) H(t)\mathbb{F}^{\dag}(t)-i\hbar \mathbb{F}(t)\frac{\partial}{\partial t} \mathbb{F}^{\dag}(t) \\ & = U^{\dag}(t,t_0) H(t)U(t,t_0)-i\hbar U^{\dag}(t,t_0) \frac{H(t)U(t,t_0)}{i\hbar}=0\end{aligned}HE(t)=F(t)H(t)F†(t)−iℏF(t)∂t∂F†(t)=U†(t,t0)H(t)U(t,t0)−iℏU†(t,t0)iℏH(t)U(t,t0)=0

所以ddt∣ψE⟩=0\frac{d}{dt}|\psi_E \rangle = 0dtd∣ψE⟩=0，∣ψE(t)⟩=∣ψS(t0)⟩=F(t)∣ψ(t)⟩|\psi_E(t) \rangle=|\psi_S(t_0) \rangle=\mathbb{F}(t)|\psi(t) \rangle∣ψE(t)⟩=∣ψS(t0)⟩=F(t)∣ψ(t)⟩。这说明海森堡绘景中的算符与薛定谔绘景中的算符相比只是多了一个时间演化的因子。

下表总结了海森堡绘景中的一些规律：

Interaction Picture

假设薛定谔绘景中的Hamiltonian满足
HS(t)=H0+W(t)H_S(t)=H_0+W(t)HS(t)=H0+W(t)

也就是和时间无关的项H0H_0H0与和时间有关的项W(t)W(t)W(t)可以分开，称W(t)W(t)W(t)是time-dependent perturbation，基于H0H_0H0的时间演化算符为
U(t,t0)=e−iH0(t−t0)/ℏU(t,t_0)=e^{-iH_0(t-t_0)/\hbar}U(t,t0)=e−iH0(t−t0)/ℏ

Interaction Picture的参考系满足
F=U†(t,t0)=eiH0(t−t0)/ℏ\mathbb{F}=U^{\dag}(t,t_0)=e^{iH_0(t-t_0)/\hbar}F=U†(t,t0)=eiH0(t−t0)/ℏ

则在Interaction Picture中，有如下性质，

∣ψI(t)⟩=eiH0(t−t0)/ℏ∣ψS(t)⟩|\psi_I(t) \rangle=e^{iH_0(t-t_0)/\hbar} |\psi_S(t) \rangle∣ψI(t)⟩=eiH0(t−t0)/ℏ∣ψS(t)⟩
AI(t)=eiH0(t−t0)/ℏAS(t)e−iH0(t−t0)/ℏA_I(t)=e^{iH_0(t-t_0)/\hbar} A_S(t)e^{-iH_0(t-t_0)/\hbar}AI(t)=eiH0(t−t0)/ℏAS(t)e−iH0(t−t0)/ℏ
iℏ∂∂t∣ψI(t)⟩=HI(t)∣ψI(t)⟩i\hbar \frac{\partial}{\partial t}|\psi_I(t) \rangle = H_I(t)|\psi_I(t) \rangleiℏ∂t∂∣ψI(t)⟩=HI(t)∣ψI(t)⟩，其中HI(t)=eiH0(t−t0)/ℏW(t)e−iH0(t−t0)/ℏH_I(t)=e^{iH_0(t-t_0)/\hbar} W(t)e^{-iH_0(t-t_0)/\hbar}HI(t)=eiH0(t−t0)/ℏW(t)e−iH0(t−t0)/ℏ