《高等数学》总结导数、微分、不定积分

2024-05-01 08:15:47

必须掌握各个概念的定义。从定义中，深入的理解概念，以及发掘概念之间的相互联系。

导数&微分

微积分有两种定义：
1、古典微积分
这是一种直观、便于理解的定义。首先定义微分是微小变化量。比如函数y=f(x)中dx是x的微小变化量，那么dy就是dx对应的y的微小变化。导数也就从中得到了定义：是两个微小变量的比值=dy/dx。所以导数也被称为微商。这是古典定义，可以看出是非常容易理解的。

2、基于极限的微积分。
古典微积分虽然直观但是不够严谨，因此全新的微积分定义被发明了，这就是基于极限的微积分。导数首先被严格的定义为了一种极限：

然后微分在导数的基础上得到了定义：（来源于维基）

从定义可以看出，微分dy被定义为了一个函数，这个函数是y真实变化量Δy\Delta y的一个线性近似。Δy\Delta y和Δx\Delta x是非线性关系，但是dy和Δx\Delta x是线性关系。那么在点x处，且Δx\Delta x趋近于0时，线性关系中的A值就是函数在x处的导数。所以有：

可以看出这里dy也可以像古典微积分定义的微分那样被理解为一个微小变化量，只不过其中的含义更深刻了。

不定积分

不定积分的定义
首先明确一点，一定要区分不定积分和定积分。从概念上说，这是两个定义完全不同的东西。
不定积分是给定一个函数，求该函数的带有一个常数项的原函数的过程。所以不定积分的结果是一个函数。相比之下，定积分得到的结果是一个数值。

计算不定积分的方法：
1、基本积分表
2、不定积分满足加性、齐性。（线性映射的两个性质！）
3、第一换元法

暂时把这个定积分看成不定积分。严格的讲，积分表达式中dx这个符号是整体的一部分，并不表示微分的概念。然而，如果把dx当做微分，根据微分的定义，进行第一换元法中的变化就是合情合理的了，因为这个过程其实是将一个微分替换为另一个微分。
4、第二换元法
第二换元法是第一换元法的相反过程。把dx分解，x可以看做是一个函数，然而x可以被变换为任何的函数，所以第二换元法更加灵活和困难。
5、分部积分法

这是由导数的乘法法则来的。

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