数据结构与算法

1 算法

算法：是指解题方案的准确而完整的描述。

算法不等于程序，也不等计算机方法，程序的编制不可能优于算法的设计。

算法的基本特征：是一组严谨地定义运算顺序的规则，每一个规则都是有效的，是明确的，此顺序将在有限的次数下终止。特征包括：

(1)可行性；

(2)确定性，算法中每一步骤都必须有明确定义，不充许有模棱两可的解释，不允许有多义性；

(3)有穷性，算法必须能在有限的时间内做完，即能在执行有限个步骤后终止，包括合理的执行时间的含义；

(4)拥有足够的情报。

算法的基本要素：一是对数据对象的运算和操作；二是算法的控制结构。

指令系统：一个计算机系统能执行的所有指令的集合。

基本运算和操作包括：算术运算、逻辑运算、关系运算、数据传输。

算法的控制结构：顺序结构、选择结构、循环结构。

算法基本设计方法：列举法、归纳法、递推、递归、减斗递推技术、回溯法。

算法复杂度：算法时间复杂度和算法空间复杂度。

算法时间复杂度是指执行算法所需要的计算工作量。

算法空间复杂度是指执行这个算法所需要的内存空间。

2 数据结构的基本基本概念

数据结构研究的三个方面：

(1)数据集合中各数据元素之间所固有的逻辑关系，即数据的逻辑结构；

(2)在对数据进行处理时，各数据元素在计算机中的存储关系，即数据的存储结构；

(3)对各种数据结构进行的运算。

数据结构是指相互有关联的数据元素的集合。

数据的逻辑结构包含：

(1)表示数据元素的信息；

(2)表示各数据元素之间的前后件关系。

数据的存储结构有顺序、链接、索引等。

线性结构条件：

(1)有且只有一个根结点；

(2)每一个结点多有一个前件，也多有一个后件。

非线性结构：不满足线性结构条件的数据结构。

3 线性表及其顺序存储结构

线性表由一组数据元素构成，数据元素的位置只取决于自己的序号，元素之间的相对位置是线性的。

在复杂线性表中，由若干项数据元素组成的数据元素称为记录，而由多个记录构成的线性表又称为文件。

非空线性表的结构特征：

(1)且只有一个根结点a1，它无前件；

(2)有且只有一个终端结点an，它无后件；

(3)除根结点与终端结点外，其他所有结点有且只有一个前件，也有且只有一个后件。结点个数n称为线性表的长度，当n=0时，称为空表。

线性表的顺序存储结构具有以下两个基本特点：

(1)线性表中所有元素的所占的存储空间是连续的；

(2)线性表中各数据元素在存储空间中是按逻辑顺序依次存放的。

ai的存储地址为：adr(ai)=adr(a1)+(i-1)k,，adr(a1)为个元素的地址，k代表每个元素占的字节数。

顺序表的运算：插入、删除。

4 栈和队列

栈是限定在一端进行插入与删除的线性表，允许插入与删除的一端称为栈顶，不允许插入与删除的另一端称为栈底。

栈按照“先进后出”(filo)或“后进先出”(lifo)组织数据，栈具有记忆作用。用top表示栈顶位置，用bottom表示栈底。

栈的基本运算：(1)插入元素称为入栈运算；(2)删除元素称为退栈运算；(3)读栈顶元素是将栈顶元素赋给一个指定的变量，此时指针无变化。

队列是指允许在一端(队尾)进入插入，而在另一端(队头)进行删除的线性表。rear指针指向队尾，front指针指向队头。

队列是“先进行出”(fifo)或“后进后出”(lilo)的线性表。

队列运算包括(1)入队运算：从队尾插入一个元素；(2)退队运算：从队头删除一个元素。

循环队列：s=0表示队列空，s=1且front=rear表示队列满

5 线性链表

数据结构中的每一个结点对应于一个存储单元，这种存储单元称为存储结点，简称结点。

结点由两部分组成：(1)用于存储数据元素值，称为数据域；(2)用于存放指针，称为指针域，用于指向前一个或后一个结点。在链式存储结构中，存储数据结构的存储空间可以不连续，各数据结点的存储顺序与数据元素之间的逻辑关系可以不一致，而数据元素之间的逻辑关系是由指针域来确定的。

链式存储方式即可用于表示线性结构，也可用于表示非线性结构。

线性链表，head称为头指针，head=null(或0)称为空表，如果是两指针：左指针(llink)指向前件结点，右指针(rlink)指向后件结点。

线性链表的基本运算：查找、插入、删除。

6 树与二叉树

树是一种简单的非线性结构，所有元素之间具有明显的层次特性。

在树结构中，每一个结点只有一个前件，称为父结点，没有前件的结点只有一个，称为树的根结点，简称树的根。每一个结点可以有多个后件，称为该结点的子结点。没有后件的结点称为叶子结点。

在树结构中，一个结点所拥有的后件的个数称为该结点的度，所有结点中的度称为树的度。树的层次称为树的深度。

二叉树的特点：(1)非空二叉树只有一个根结点；(2)每一个结点多有两棵子树，且分别称为该结点的左子树与右子树。

二叉树的基本性质：

(1)在二叉树的第k层上，多有2k-1(k≥1)个结点；

(2)深度为m的二叉树多有2m-1个结点；

(3)度为0的结点(即叶子结点)总是比度为2的结点多一个；

(4)具有n个结点的二叉树，其深度至少为[log2n]+1,其中[log2n]表示取log2n的整数部分；

(5)具有n个结点的完全二叉树的深度为[log2n]+1；

(6)设完全二叉树共有n个结点。如果从根结点开始，按层序(每一层从左到右)用自然数1，2，….n给结点进行编号(k=1,2….n)，有以下结论：

①若k=1，则该结点为根结点，它没有父结点；若k>1，则该结点的父结点编号为int(k/2)；

②若2k≤n，则编号为k的结点的左子结点编号为2k；否则该结点无左子结点(也无右子结点)；

③若2k+1≤n，则编号为k的结点的右子结点编号为2k+1；否则该结点无右子结点。

满二叉树是指除后一层外，每一层上的所有结点有两个子结点，则k层上有2k-1个结点深度为m的满二叉树有2m-1个结点。

完全二叉树是指除后一层外，每一层上的结点数均达到值，在后一层上只缺少右边的若干结点。

二叉树存储结构采用链式存储结构，对于满二叉树与完全二叉树可以按层序进行顺序存储。

二叉树的遍历：

(1)前序遍历(dlr)，首先访问根结点，然后遍历左子树，后遍历右子树；

(2)中序遍历(ldr)，首先遍历左子树，然后访问根结点，后遍历右子树；

(3)后序遍历(lrd)首先遍历左子树，然后访问遍历右子树，后访问根结点。

7 查找技术

顺序查找的使用情况：

(1)线性表为无序表；

(2)表采用链式存储结构。

二分法查找只适用于顺序存储的有序表，对于长度为n的有序线性表，坏情况只需比较log2n次。

8 排序技术

排序是指将一个无序序列整理成按值非递减顺序排列的有序序列。

交换类排序法：(1)冒泡排序法，需要比较的次数为n(n-1)/2； (2)快速排序法。

插入类排序法：(1)简单插入排序法，坏情况需要n(n-1)/2次比较；(2)希尔排序法，坏情况需要o(n1.5)次比较。

选择类排序法：(1)简单选择排序法,

坏情况需要n(n-1)/2次比较；(2)堆排序法，坏情况需要o(nlog2n)次比较。