UA OPTI570 量子力学公式与结论总结1 角动量基础

角动量算符基础

角动量算符基础

角动量算符的定义 一个三元组J=(Jx,Jy,Jz)\textbf J=(J_x,J_y,J_z)J=(Jx,Jy,Jz)被称为角动量算符，如果
[Jx,Jy]=iℏJz[Jy,Jz]=iℏJx[Jz,Jx]=iℏJy[J_x,J_y]=i\hbar J_z \\ [J_y,J_z]=i\hbar J_x \\ [J_z,J_x]=i\hbar J_y[Jx,Jy]=iℏJz[Jy,Jz]=iℏJx[Jz,Jx]=iℏJy

角动量算符的性质 记J2=Jx2+Jy2+Jz2,J+=Jx+iJy,J−=Jx−iJy\textbf J^2=J_x^2+J_y^2+J_z^2,J_{+}=J_x+iJ_y,J_-=J_x-iJ_yJ2=Jx2+Jy2+Jz2,J+=Jx+iJy,J−=Jx−iJy

[J2,Jk]=0,k=x,y,z[\textbf J^2,J_k]=0,k=x,y,z[J2,Jk]=0,k=x,y,z
{J2,Jk}\{\textbf J^2,J_k\}{J2,Jk}是CSCO，k=x,y,zk=x,y,zk=x,y,z，通常用{J2,Jz}\{\textbf J^2,J_z\}{J2,Jz}作为CSCO
Jx=J++J−2,Jy=−i2(J+−J−)J_x=\frac{J_++J_-}{2},J_y=-\frac{i}{2}(J_+-J_-)Jx=2J++J−,Jy=−2i(J+−J−)
J2∣j,mz⟩=j(j+1)ℏ2∣j,mz⟩,Jz∣j,mz⟩=mzℏ∣j,mz⟩\textbf J^2|j,m_z \rangle=j(j+1)\hbar^2 |j,m_z\rangle,J_z|j,m_z \rangle=m_z\hbar |j,m_z \rangleJ2∣j,mz⟩=j(j+1)ℏ2∣j,mz⟩,Jz∣j,mz⟩=mzℏ∣j,mz⟩其中jjj是整数或者j+12j+\frac{1}{2}j+21是整数，给定jjj的取值，它被称为角动量的量子数，mz∈[−j,j]m_z \in [-j,j]mz∈[−j,j]且mzm_zmz也是整数；
J±∣j,mj⟩=ℏj(j+1)−mj(mj±1)∣j,mj±1⟩,J±∣j,±j⟩=0J_{\pm}|j,m_j \rangle = \hbar \sqrt{j(j+1)-m_j(m_j \pm 1)}|j,m_j \pm 1\rangle,J_{\pm}|j,\pm j \rangle=0J±∣j,mj⟩=ℏj(j+1)−mj(mj±1)∣j,mj±1⟩,J±∣j,±j⟩=0
假设u^\hat uu^表示空间中的任意标准化的方向向量，记Ju=J⋅u^J_u=\textbf J \cdot \hat uJu=J⋅u^，则Ju∣j,mu⟩=ℏmu∣j,mu⟩J_u|j,m_u \rangle=\hbar m_u|j,m_u \rangleJu∣j,mu⟩=ℏmu∣j,mu⟩

角动量的态空间与表征 角动量的态空间Ej\mathcal{E}_jEj的维数为2j+12j+12j+1，基为{∣j,mz⟩}\{|j,m_z \rangle\}{∣j,mz⟩}，基的矩阵表示从∣j,j⟩|j,j \rangle∣j,j⟩到∣j,−j⟩|j,-j \rangle∣j,−j⟩依次为e1,e2,⋯,e2j+1e_1,e_2,\cdots,e_{2j+1}e1,e2,⋯,e2j+1，其中eke_kek表示第kkk个元素为1，其余元素均为0的2j+12j+12j+1维列向量。

例1：Ej=3/2\mathcal{E}_{j=3/2}Ej=3/2的维数是444，基为{∣3/2,3/2⟩,∣3/2,1/2⟩,∣3/2,−1/2⟩,∣3/2,−3/2⟩}\{|3/2,3/2 \rangle,|3/2,1/2 \rangle,|3/2,-1/2 \rangle,|3/2,-3/2 \rangle\}{∣3/2,3/2⟩,∣3/2,1/2⟩,∣3/2,−1/2⟩,∣3/2,−3/2⟩}，基的矩阵表示为
[1000],[0100],[0010],[0001]\left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right],\left[ \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right],\left[ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} \right],\left[ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right]⎣⎢⎢⎡1000⎦⎥⎥⎤,⎣⎢⎢⎡0100⎦⎥⎥⎤,⎣⎢⎢⎡0010⎦⎥⎥⎤,⎣⎢⎢⎡0001⎦⎥⎥⎤根据角动量的性质4，如果测量J2\textbf J^2J2，只有可能得到j(j+1)ℏ2=154ℏ2j(j+1)\hbar^2=\frac{15}{4}\hbar^2j(j+1)ℏ2=415ℏ2，于是角动量的大小为154ℏ\sqrt{\frac{15}{4}}\hbar415ℏ；如果测量JzJ_zJz可能得到32ℏ,12ℏ,−12ℏ,−32ℏ\frac{3}{2}\hbar,\frac{1}{2}\hbar,-\frac{1}{2}\hbar,-\frac{3}{2}\hbar23ℏ,21ℏ,−21ℏ,−23ℏ；如果在某次测量中得到JzJ_zJz为12ℏ\frac{1}{2}\hbar21ℏ，说明此时量子态为∣j=3/2,mz=1/2⟩|j=3/2,m_z=1/2 \rangle∣j=3/2,mz=1/2⟩。

例2：用{J2,Jz}\{\textbf J^2,J_z\}{J2,Jz}作为CSCO，考虑态空间Ej=1\mathcal{E}_{j=1}Ej=1，基为{∣j=1,mz=1⟩,∣j=1,mz=0⟩,∣j=1,mz=−1⟩}\{|j=1,m_z=1 \rangle,|j=1,m_z=0\rangle,|j=1,m_z=-1 \rangle\}{∣j=1,mz=1⟩,∣j=1,mz=0⟩,∣j=1,mz=−1⟩}，简记为{∣+⟩,∣0⟩,∣−⟩}\{|+\rangle,|0\rangle,|-\rangle\}{∣+⟩,∣0⟩,∣−⟩}，它们的矩阵表示为
[100],[010],[001]\left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right],\left[ \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} \right],\left[ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1\end{matrix} \right]⎣⎡100⎦⎤,⎣⎡010⎦⎤,⎣⎡001⎦⎤

用性质4计算，比如⟨+∣J2∣+⟩=2ℏ2⟨+∣+⟩=2ℏ2\langle+|\textbf J^2 | + \rangle=2\hbar^2 \langle + | + \rangle = 2\hbar^2⟨+∣J2∣+⟩=2ℏ2⟨+∣+⟩=2ℏ2，所以J2\textbf J^2J2的矩阵表示为
[⟨+∣J2∣+⟩⟨+∣J2∣0⟩⟨+∣J2∣−⟩⟨0∣J2∣+⟩⟨0∣J2∣0⟩⟨0∣J2∣−⟩⟨−∣J2∣+⟩⟨−∣J2∣0⟩⟨−∣J2∣−⟩]=2ℏ2[100010001]\begin{matrix} \left[ \begin{matrix} \langle+|\textbf J^2 | + \rangle & \langle+|\textbf J^2 | 0 \rangle & \langle+|\textbf J^2 | - \rangle \\ \langle0|\textbf J^2 | + \rangle & \langle0|\textbf J^2 | 0 \rangle & \langle0|\textbf J^2 | - \rangle \\ \langle-|\textbf J^2 | + \rangle & \langle-|\textbf J^2 | 0 \rangle & \langle-|\textbf J^2 | - \rangle\end{matrix} \right] \end{matrix} = 2\hbar^2 \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{matrix} \right]⎣⎡⟨+∣J2∣+⟩⟨0∣J2∣+⟩⟨−∣J2∣+⟩⟨+∣J2∣0⟩⟨0∣J2∣0⟩⟨−∣J2∣0⟩⟨+∣J2∣−⟩⟨0∣J2∣−⟩⟨−∣J2∣−⟩⎦⎤=2ℏ2⎣⎡100010001⎦⎤

同样用性质4计算，比如⟨−∣Jz∣−⟩=−ℏ⟨−∣−⟩=−ℏ\langle-|J_z | - \rangle=-\hbar \langle - | - \rangle = -\hbar⟨−∣Jz∣−⟩=−ℏ⟨−∣−⟩=−ℏ，所以JzJ_zJz的矩阵表示为
[⟨+∣Jz∣+⟩⟨+∣Jz∣0⟩⟨+∣Jz∣−⟩⟨0∣Jz∣+⟩⟨0∣Jz∣0⟩⟨0∣Jz∣−⟩⟨−∣Jz∣+⟩⟨−∣Jz∣0⟩⟨−∣Jz∣−⟩]=ℏ[10000000−1]\begin{matrix} \left[ \begin{matrix} \langle+|J_z | + \rangle & \langle+|J_z | 0 \rangle & \langle+|J_z | - \rangle \\ \langle0|J_z | + \rangle & \langle0|J_z | 0 \rangle & \langle0|J_z | - \rangle \\ \langle-|J_z | + \rangle & \langle-|J_z | 0 \rangle & \langle-|J_z | - \rangle\end{matrix} \right] \end{matrix} = \hbar \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 &0 & 0 \\0 & 0 &- 1 \end{matrix} \right]⎣⎡⟨+∣Jz∣+⟩⟨0∣Jz∣+⟩⟨−∣Jz∣+⟩⟨+∣Jz∣0⟩⟨0∣Jz∣0⟩⟨−∣Jz∣0⟩⟨+∣Jz∣−⟩⟨0∣Jz∣−⟩⟨−∣Jz∣−⟩⎦⎤=ℏ⎣⎡10000000−1⎦⎤

要得到JxJ_xJx与JyJ_yJy的矩阵表示，根据性质3，可以先得到J+J_+J+与J−J_-J−的矩阵表示，为此我们用性质5计算，比如⟨+∣J+∣0⟩=2ℏ⟨+∣+⟩=2ℏ,⟨−∣J−∣0⟩=2ℏ⟨−∣−⟩=2ℏ\langle +|J_+|0\rangle=\sqrt{2}\hbar \langle + |+\rangle=\sqrt{2}\hbar,\langle -|J_-|0\rangle=\sqrt{2}\hbar \langle - |-\rangle=\sqrt{2}\hbar⟨+∣J+∣0⟩=2ℏ⟨+∣+⟩=2ℏ,⟨−∣J−∣0⟩=2ℏ⟨−∣−⟩=2ℏ，可得
[⟨+∣J+∣+⟩⟨+∣J+∣0⟩⟨+∣J+∣−⟩⟨0∣J+∣+⟩⟨0∣J+∣0⟩⟨0∣J+∣−⟩⟨−∣J+∣+⟩⟨−∣J+∣0⟩⟨−∣J+∣−⟩]=2ℏ[010001000][⟨+∣J−∣+⟩⟨+∣J−∣0⟩⟨+∣J−∣−⟩⟨0∣J−∣+⟩⟨0∣J−∣0⟩⟨0∣J−∣−⟩⟨−∣J−∣+⟩⟨−∣J−∣0⟩⟨−∣J−∣−⟩]=2ℏ[000100010]\begin{matrix} \left[ \begin{matrix} \langle+|J_+ | + \rangle & \langle+|J_+| 0 \rangle & \langle+|J_+ | - \rangle \\ \langle0|J_+| + \rangle & \langle0|J_+| 0 \rangle & \langle0|J_+ | - \rangle \\ \langle-|J_+| + \rangle & \langle-|J_+ | 0 \rangle & \langle-|J_+ | - \rangle\end{matrix} \right] \end{matrix} =\sqrt{2} \hbar \left[ \begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 &0 & 1 \\0 & 0 &0 \end{matrix} \right] \\ \begin{matrix} \left[ \begin{matrix} \langle+|J_- | + \rangle & \langle+|J_- | 0 \rangle & \langle+|J_- | - \rangle \\ \langle0|J_- | + \rangle & \langle0|J_- | 0 \rangle & \langle0|J_- | - \rangle \\ \langle-|J_-| + \rangle & \langle-|J_- | 0 \rangle & \langle-|J_- | - \rangle\end{matrix} \right] \end{matrix} =\sqrt{2} \hbar \left[ \begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 1&0 & 0 \\0 & 1 &0 \end{matrix} \right]⎣⎡⟨+∣J+∣+⟩⟨0∣J+∣+⟩⟨−∣J+∣+⟩⟨+∣J+∣0⟩⟨0∣J+∣0⟩⟨−∣J+∣0⟩⟨+∣J+∣−⟩⟨0∣J+∣−⟩⟨−∣J+∣−⟩⎦⎤=2ℏ⎣⎡000100010⎦⎤⎣⎡⟨+∣J−∣+⟩⟨0∣J−∣+⟩⟨−∣J−∣+⟩⟨+∣J−∣0⟩⟨0∣J−∣0⟩⟨−∣J−∣0⟩⟨+∣J−∣−⟩⟨0∣J−∣−⟩⟨−∣J−∣−⟩⎦⎤=2ℏ⎣⎡010001000⎦⎤

根据性质3可得JxJ_xJx与JyJ_yJy的矩阵表示，下标给出了Jx,Jy,JzJ_x,J_y,J_zJx,Jy,Jz的矩阵表示及其特征值：

例3：同样考虑态空间E1\mathcal{E}_1E1，但考虑两组基，{∣j=1,mz=1⟩,∣j=1,mz=0⟩,∣j=1,mz=−1⟩}\{|j=1,m_z=1 \rangle,|j=1,m_z=0\rangle,|j=1,m_z=-1 \rangle\}{∣j=1,mz=1⟩,∣j=1,mz=0⟩,∣j=1,mz=−1⟩}与{∣j=1,mx=1⟩,∣j=1,mx=0⟩,∣j=1,mx=−1⟩}\{|j=1,m_x=1 \rangle,|j=1,m_x=0\rangle,|j=1,m_x=-1 \rangle\}{∣j=1,mx=1⟩,∣j=1,mx=0⟩,∣j=1,mx=−1⟩}，简记为{∣z+⟩,∣z0⟩,∣z−⟩}\{|z+ \rangle,|z0\rangle,|z- \rangle\}{∣z+⟩,∣z0⟩,∣z−⟩}与{∣x+⟩,∣x0⟩,∣x−⟩}\{|x+ \rangle,|x0\rangle,|x- \rangle\}{∣x+⟩,∣x0⟩,∣x−⟩}，记这两组基下角动量算符的矩阵表示为{Jx(z),Jy(z),Jz(z)}\{J_x^{(z)},J_y^{(z)},J_z^{(z)}\}{Jx(z),Jy(z),Jz(z)}与{Jx(x),Jy(x),Jz(x)}\{J_x^{(x)},J_y^{(x)},J_z^{(x)}\}{Jx(x),Jy(x),Jz(x)}，例2中我们讨论了第一组矩阵表示，现在我们计算第二组矩阵表示。

第一步，计算Jx(z)J_x^{(z)}Jx(z)的特征值与特征向量（见上表）；

第二步，给∣x+⟩,∣x0⟩,∣x−⟩|x+ \rangle,|x0 \rangle,|x- \rangle∣x+⟩,∣x0⟩,∣x−⟩引入global phase factor α,β,γ\alpha,\beta,\gammaα,β,γ并根据特征向量写出变换矩阵S=12[eiα2eiβeiγ2eiα0−2eiγeiα−2eiβeiγ]S =\frac{1}{2} \left[ \begin{matrix} e^{i \alpha} & \sqrt{2}e^{i \beta} & e^{i \gamma} \\ \sqrt{2}e^{i\alpha} & 0 & -\sqrt{2}e^{i \gamma} \\ e^{i \alpha}&-\sqrt{2}e^{i \beta} & e^{i \gamma} \end{matrix} \right]S=21⎣⎡eiα2eiαeiα2eiβ0−2eiβeiγ−2eiγeiγ⎦⎤

第三步，计算
Jx(x)=S†Jx(z)S=ℏ[10000000−1]Jy(x)=S†Jy(z)S=ℏ2[0ie−i(α−β)0−iei(α−β)0iei(γ−β)0−ie−i(γ−β)0]Jz(x)=S†Jz(z)S=ℏ2[0e−i(α−β)0ei(α−β)0ei(γ−β)0e−i(γ−β)0]J_x^{(x)}=S^{\dag}J_x^{(z)}S = \hbar \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 &0 & 0 \\0 & 0 &- 1 \end{matrix} \right] \\ J_y^{(x)}=S^{\dag}J_y^{(z)}S =\frac{\hbar}{\sqrt 2} \left[ \begin{matrix} 0 & i e^{-i(\alpha-\beta)} & 0 \\ -i e^{i(\alpha-\beta)} & 0 & ie^{i(\gamma-\beta)} \\ 0 & -ie^{-i(\gamma-\beta)} & 0 \end{matrix} \right] \\ J_z^{(x)}=S^{\dag}J_z^{(z)}S=\frac{\hbar}{\sqrt 2} \left[ \begin{matrix} 0 & e^{-i(\alpha-\beta)} & 0 \\ e^{i(\alpha-\beta)} & 0 & e^{i(\gamma-\beta)} \\ 0 & e^{-i(\gamma-\beta)} & 0 \end{matrix} \right] Jx(x)=S†Jx(z)S=ℏ⎣⎡10000000−1⎦⎤Jy(x)=S†Jy(z)S=2ℏ⎣⎡0−iei(α−β)0ie−i(α−β)0−ie−i(γ−β)0iei(γ−β)0⎦⎤Jz(x)=S†Jz(z)S=2ℏ⎣⎡0ei(α−β)0e−i(α−β)0e−i(γ−β)0ei(γ−β)0⎦⎤