UA OPTI570 量子力学18 量子谐振子基础

经典谐振子
量子谐振子
用创生与湮灭算符表示量子谐振子
- Hamiltonian的特征值
- Hamiltonian的特征值对应的量子态

量子谐振子（quantum harmonic oscillator, Q.H.O.）是谐振子在量子力学中的延申，也是量子力学中的一个重要模型，从这一篇开始我们介绍它的一些基础知识。

经典谐振子

考虑一维的简谐振子，在天花板上吊一根弹簧，弹簧下连接一个质量为mmm的质点，用xxx表示质点偏离初始位置的距离（向地板方向为正），在任意时刻，这个系统的总能量为
E=P22m+mw2x22E = \frac{P^2}{2m}+\frac{mw^2x^2}{2}E=2mP2+2mw2x2

其中PPP表示质点在该时刻的动量，www表示质点在该时刻的角频率（称之为简谐频率），因为
P=mv=mddtxP = mv = m \frac{d}{dt}xP=mv=mdtdx

由此在有初始条件时，根据能量守恒可以列出关于xxx的微分方程，求解微分方程就能得到质点的运动轨迹了。比如在t=0t=0t=0时，把质点往下拉x0x_0x0，则x(t)x(t)x(t)呈现余弦波形，且周期为
T=1f=2πwT = \frac{1}{f} = \frac{2 \pi }{w}T=f1=w2π

其中fff是频率。

量子谐振子

在之前介绍Ehrenfest定理的时候，我们知道了经典力学与量子力学的对应简单来说就是把经典力学中的物理量用量子力学中的算符表示，比如总能量用Hamiltonian表示，动量用动量算符表示，位置用位置算符表示，则
H^=P^22m+12mw2X^\hat H = \frac{\hat P ^2}{2m}+\frac{1}{2}mw^2 \hat XH^=2mP^2+21mw2X^

按量子力学讨论算符的方法，接下来我们：

定义一些常用的参数，比如harmonic oscillator lengthσ=ℏmw\sigma = \sqrt{\frac{\hbar}{mw}}σ=mwℏ
用harmonic oscillator length对算符与数值做scalingX~=X^σ,P~=σP^ℏ,E~n=Enℏw,H~=H^ℏw\tilde X = \frac{\hat X}{\sigma},\tilde P = \frac{\sigma \hat P}{\hbar}, \tilde E_n= \frac{E_n}{\hbar w}, \tilde H = \frac{\hat H}{\hbar w}X~=σX^,P~=ℏσP^,E~n=ℏwEn,H~=ℏwH^
写出scaling后的Hamiltonian：H~=P~2+X~22\tilde H = \frac{\tilde P^2+\tilde X^2}{2}H~=2P~2+X~2其中[X~,P~]=i[\tilde X,\tilde P]=i[X~,P~]=i
写出Hamiltonian的特征方程：H~∣ψn⟩=E~n∣ψn⟩\tilde H |\psi_n \rangle= \tilde E_n | \psi_n \rangleH~∣ψn⟩=E~n∣ψn⟩
可以用位置表象计算，也可以用动量表象计算；在这两种表象下，各个算符的对应关系为

位置表象	动量表象
X~→x~=xσP~→−i∂∂X~H~→12X~2−12∂2∂X~2\tilde X \to \tilde x = \frac{x}{\sigma} \\ \tilde P \to -i\frac{\partial}{\partial \tilde X} \\ \tilde H \to \frac{1}{2} \tilde X^2-\frac{1}{2}\frac{\partial^2}{\partial \tilde X^2}X~→x~=σxP~→−i∂X~∂H~→21X~2−21∂X~2∂2	P~→p~=pσℏX~→i∂∂P~H~→12P~2−12∂2∂P~2\tilde P \to \tilde p = \frac{p \sigma }{\hbar} \\ \tilde X \to i\frac{\partial}{\partial \tilde P} \\ \tilde H \to \frac{1}{2} \tilde P^2-\frac{1}{2}\frac{\partial^2}{\partial \tilde P^2}P~→p~=ℏpσX~→i∂P~∂H~→21P~2−21∂P~2∂2

在位置表象下，需要求解
12(X~2−∂2∂X~2)ψn(X~)=E~nψn(X~)\frac{1}{2} \left( \tilde X^2-\frac{\partial^2}{\partial \tilde X^2} \right) \psi_n(\tilde X) = \tilde E_n \psi_n (\tilde X)21(X~2−∂X~2∂2)ψn(X~)=E~nψn(X~)

在动量表象下，需要求解
12(P~2−∂2∂P~2)ψˉn(P~)=E~nψˉn(P~)\frac{1}{2} \left( \tilde P^2-\frac{\partial^2}{\partial \tilde P^2} \right) \bar \psi_n(\tilde P) = \tilde E_n \bar \psi_n (\tilde P)21(P~2−∂P~2∂2)ψˉn(P~)=E~nψˉn(P~)

也就是说在这两种表象下，要求解的PDE是一样的，其中
ψˉn(P~)=FT[ψn(X~)](P~)\bar \psi_n(\tilde P) = FT[\psi_n(\tilde X)](\tilde P)ψˉn(P~)=FT[ψn(X~)](P~)

也就是说以上PDE的解做Fourier变换后的函数形式与它本身一致。

用创生与湮灭算符表示量子谐振子

在Q.H.O.中，求解Hamiltonian的特征方程指的是找到E~n\tilde E_nE~n的表达式，并得到E~n\tilde E_nE~n对应的量子态的表达式。上一篇介绍了创生算符与湮灭算符的数学基础，要在量子力学中应用这个工具需要在具体问题中构造创生算符，在Q.H.O.中，可以定义湮灭算符为
A^=12(X~+iP~)\hat A = \frac{1}{\sqrt{2}}(\tilde X+i \tilde P)A^=21(X~+iP~)

验证：
[A^,A^†]=[12(X~+iP~),12(X~−iP~)]=−i22[X~,P~]=1[\hat A,\hat A^{\dag}]=[ \frac{1}{\sqrt{2}}(\tilde X+i \tilde P), \frac{1}{\sqrt{2}}(\tilde X-i \tilde P)]=\frac{-i}{2}2[\tilde X,\tilde P]=1[A^,A^†]=[21(X~+iP~),21(X~−iP~)]=2−i2[X~,P~]=1

把所有的算符都用创生算符与湮灭算符表示：
X~=A^†+A^2,P~=A^†−A^2⇒H~=A^†A^+12=N^+12\tilde X = \frac{\hat A^{\dag}+\hat A}{\sqrt{2}},\tilde P = \frac{\hat A^{\dag}-\hat A}{\sqrt{2}} \Rightarrow \tilde H = \hat A^{\dag} \hat A+\frac{1}{2} = \hat N + \frac{1}{2}X~=2A^†+A^,P~=2A^†−A^⇒H~=A^†A^+21=N^+21

于是1-D Q.H.O.的定义可以表示为
H~∝A^†A^,[A^,A^†]∝1^\tilde H \propto \hat A^{\dag}\hat A,[\hat A,\hat A^{\dag}] \propto \hat 1H~∝A^†A^,[A^,A^†]∝1^

Hamiltonian的特征值

根据上一讲的结果，
E~n=n+12,n∈R+∩ZEn=ℏw(n+12)\tilde E_n =n+ \frac{1}{2}, n \in \mathbb{R}^+ \cap \mathbb{Z} \\ E_n = \hbar w \left( n+ \frac{1}{2} \right)E~n=n+21,n∈R+∩ZEn=ℏw(n+21)

Hamiltonian的特征值对应的量子态

现在考虑∣ψn⟩|\psi_n \rangle∣ψn⟩，NNN的特征方程为
N∣ψn⟩=n∣ψn⟩N | \psi_n \rangle = n | \psi_n \rangleN∣ψn⟩=n∣ψn⟩

上一讲介绍了NNN的特征态的公式，直接使用可得
∣ψn⟩=1n!(A^†)n∣ψ0⟩|\psi_n \rangle = \frac{1}{\sqrt{n!}}(\hat A^{\dag})^n |\psi_0 \rangle∣ψn⟩=n!1(A^†)n∣ψ0⟩

称∣ψ0⟩|\psi_0 \rangle∣ψ0⟩为ground state，它对应能量最小的量子态，即能量为12ℏw\frac{1}{2}\hbar w21ℏw。这些特征态可以用三种表象：位置表象、动量表象、能量表象，位置表象我们比较熟悉了，这里先介绍一下能量表象。

能量表象
因为∣ψn⟩|\psi_n \rangle∣ψn⟩就是能量对应的量子态，所以以∣ψn⟩|\psi_n \rangle∣ψn⟩为基表示左矢、右矢、算符就是能量表象，比如算符B^\hat BB^，要计算它的能量表象可以借助closure relation
B^=1^B^1^=∑n=0+∞∣ψn⟩⟨ψn∣B^∑m=0+∞∣ψm⟩⟨ψm∣=∑n,m⟨ψn∣B^∣ψm⟩∣ψn⟩⟨ψm∣\hat B = \hat 1 \hat B \hat 1 = \sum_{n=0}^{+\infty} |\psi_n \rangle \langle \psi_n | \hat B \sum_{m=0}^{+\infty} |\psi_m \rangle \langle \psi_m | \\ = \sum_{n,m} \langle \psi_n|\hat B | \psi_m \rangle |\psi_n \rangle \langle \psi_m |B^=1^B^1^=n=0∑+∞∣ψn⟩⟨ψn∣B^m=0∑+∞∣ψm⟩⟨ψm∣=n,m∑⟨ψn∣B^∣ψm⟩∣ψn⟩⟨ψm∣

其中(⟨ψn∣B^∣ψm⟩)(\langle \psi_n|\hat B | \psi_m \rangle )(⟨ψn∣B^∣ψm⟩)是B^\hat BB^的矩阵表示，括号中的元素代表矩阵的第nnn行第mmm列的元素，∣ψn⟩⟨ψm∣|\psi_n \rangle \langle \psi_m |∣ψn⟩⟨ψm∣叫connector，它也是一个矩阵，但除了第nnn行第mmm列的元素为1外，其他元素均为0；假设B^=N^\hat B=\hat NB^=N^，则
⟨ψn∣B^∣ψm⟩=⟨ψn∣N^∣ψm⟩=mδmn\langle \psi_n|\hat B | \psi_m \rangle = \langle \psi_n|\hat N | \psi_m \rangle = m \delta_{mn}⟨ψn∣B^∣ψm⟩=⟨ψn∣N^∣ψm⟩=mδmn

所以
N^=∑n,m⟨ψn∣N^∣ψm⟩∣ψn⟩⟨ψm∣=∑n,mmδmn∣ψn⟩⟨ψm∣=∑mm∣ψm⟩⟨ψm∣\hat N = \sum_{n,m} \langle \psi_n|\hat N | \psi_m \rangle |\psi_n \rangle \langle \psi_m | = \sum_{n,m}m \delta_{mn} |\psi_n \rangle \langle \psi_m | =\sum_m m |\psi_m \rangle \langle \psi_m | N^=n,m∑⟨ψn∣N^∣ψm⟩∣ψn⟩⟨ψm∣=n,m∑mδmn∣ψn⟩⟨ψm∣=m∑m∣ψm⟩⟨ψm∣

这是主对角元分别为0,1,2,⋯,n,⋯0,1,2,\cdots,n,\cdots0,1,2,⋯,n,⋯的对角矩阵，代入到Hamiltonian中，
H^=ℏw(N^+1/2)\hat H = \hbar w (\hat N+1/2)H^=ℏw(N^+1/2)

也就是说Hamiltonian是主对角元分别为12ℏw,32ℏw,52ℏw,⋯,2n+12ℏw,⋯\frac{1}{2}\hbar w,\frac{3}{2}\hbar w,\frac{5}{2}\hbar w,\cdots,\frac{2n+1}{2}\hbar w,\cdots21ℏw,23ℏw,25ℏw,⋯,22n+1ℏw,⋯的对角矩阵。同样的也可以写出湮灭算符的能量表象：
A^†∣ψm⟩=m+1∣ψm+1⟩⟨ψm∣A^=m+1⟨ψm+1∣⟨ψm∣A^∣ψn⟩=m+1⟨ψm+1∣ψn⟩=m+1δm+1,n\hat A^{\dag}|\psi_m \rangle = \sqrt{m+1}|\psi_{m+1} \rangle \\ \langle \psi_m| \hat A = \sqrt{m+1}\langle \psi_{m+1}| \\ \langle \psi_m| \hat A | \psi_n \rangle = \sqrt{m+1}\langle \psi_{m+1}| \psi_n \rangle = \sqrt{m+1} \delta_{m+1,n}A^†∣ψm⟩=m+1∣ψm+1⟩⟨ψm∣A^=m+1⟨ψm+1∣⟨ψm∣A^∣ψn⟩=m+1⟨ψm+1∣ψn⟩=m+1δm+1,n

所以它的矩阵表示为主对角线上的第nnn个元素同一行右边第一个的元素为n\sqrt{n}n，其他所有元素均为0的矩阵。创生算符A^†\hat A^{\dag}A^†的矩阵表示就是主对角线上的第nnn个元素同一列下面第一个的元素为n\sqrt{n}n，其他所有元素均为0的矩阵。X^\hat XX^的矩阵表示就是主对角元全为0，主对角线两侧元素分别为1/2,2/2,⋯,n/2,⋯\sqrt{1}/\sqrt{2},\sqrt{2}/\sqrt{2},\cdots,\sqrt{n}/\sqrt{2},\cdots1/2,2/2,⋯,n/2,⋯的三对角矩阵。

位置表象
从ground state开始，
⟨x∣A^∣ψ0⟩=12⟨x∣X^σ+iP^ℏ∣ψ0⟩=0⇐A^∣ψ0⟩=0\langle x|\hat A | \psi_0 \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \langle x| \frac{\hat X}{\sigma}+\frac{i \hat P}{\hbar}|\psi_0 \rangle = 0 \Leftarrow \hat A |\psi_0 \rangle = 0⟨x∣A^∣ψ0⟩=21⟨x∣σX^+ℏiP^∣ψ0⟩=0⇐A^∣ψ0⟩=0

代入P^=−iℏ∂∂x\hat P=-i\hbar \frac{\partial }{\partial x}P^=−iℏ∂x∂，
(xσ+σ∂∂x)ψ0(x)=0⇒ψ0(x)=(1πσ2)1/4e−x22σ2\left( \frac{x}{\sigma}+\sigma \frac{\partial }{\partial x} \right) \psi_0(x)=0 \Rightarrow \psi_0(x)=\left( \frac{1}{\pi \sigma^2} \right)^{1/4}e^{-\frac{x^2}{2 \sigma^2}}(σx+σ∂x∂)ψ0(x)=0⇒ψ0(x)=(πσ21)1/4e−2σ2x2

因此ground state中粒子的位置分布服从正态分布。接下来用上一讲的公式
ψn(x)=⟨x∣(A^†)nn!∣ψ0⟩=1n!12n(xσ−σ∂∂x)nψ0(x)\psi_n(x)=\langle x | \frac{(\hat A^{\dag})^n}{\sqrt{n!}}|\psi_0 \rangle = \frac{1}{\sqrt{n!}}\frac{1}{\sqrt{2^n}}\left( \frac{x}{\sigma}-\sigma\frac{\partial}{\partial x} \right)^n \psi_0(x)ψn(x)=⟨x∣n!(A^†)n∣ψ0⟩=n!12n1(σx−σ∂x∂)nψ0(x)

这个通项公式可以生成一个一维的正交函数列，属于这个函数列的正交函数被称为Hermit-Gaussian函数：
ψn(x)=1n!12nHn(x/σ)ψ0(x)\psi_n(x) = \frac{1}{\sqrt{n!}}\frac{1}{\sqrt{2^n}}H_n(x/\sigma)\psi_0(x)ψn(x)=n!12n1Hn(x/σ)ψ0(x)

其中HnH_nHn被称为Hermit多项式。