文章目录

置换群及其性质
- 对称群及其性质
- - 置换的合成运算(σ∘τ\sigma\circ\tauσ∘τ)
  - 逆置换
  - 置换σ\sigmaσ的格式typ(σ)\mathrm{typ}(\sigma)typ(σ)
  - 奇偶置换
  - 交错群
  - 定理
  - - 推论
  - 定理
- 共轭置换
- - 定理
  - 共轭类及其元素的性质
- 稳定子、轨道
- - 稳定子Sta(x)
  - - 定理
  - 置换群导出的二元关系
  - - 定理
  - 轨道Orb(x)
  - 轨道集X/G
  - - 定理1
    - ★\bigstar★定理2
- 有限群的Cayley表示

置换群及其性质

对称群及其性质

设X={x1,x2,⋯,xn}X=\{x_1,\ x_2, \ \cdots,\ x_n\}X={x1, x2, ⋯, xn}, 对于σ∈S(X)\sigma\in \mathfrak{S}(X)σ∈S(X), 可将其表示为

σ=[x1x2⋯xnxi1xi2⋯xin]=[x1x2⋯xnσ(x1)σ(x2)⋯σ(xn)]\sigma=\left[ \begin{array}{cc} x_1 & x_2 &\cdots &x_n\\ x_{i_1} &x_{i_2} &\cdots &x_{i_n}\end{array}\right]=\left[ \begin{array}{cc} x_1 & x_2 &\cdots &x_n\\ \sigma(x_{1}) &\sigma(x_{2}) &\cdots &\sigma(x_{n})\end{array}\right]σ=[x1xi1x2xi2⋯⋯xnxin]=[x1σ(x1)x2σ(x2)⋯⋯xnσ(xn)]

其含义是σ(xk)=xik,k=1,2,⋯,n\sigma(x_k)=x_{i_k},\ k=1,\ 2,\ \cdots,\ nσ(xk)=xik, k=1, 2, ⋯, n，也就是说，置换σ\sigmaσ将元素xkx_kxk映射到xikx_{i_k}xik，其中i1,i2,⋯,ini_1,\ i_2,\ \cdots,\ i_ni1, i2, ⋯, in是集合Zn+\mathbb{Z_n^+}Zn+的一个排列。

约定：

nnn元集X=Zn+X=\mathbb{Z_n^+}X=Zn+;
Zn+\mathbb{Z_n^+}Zn+上的全体置换的集合S(Zn+)\mathfrak{S}(\mathbb{Z_n^+})S(Zn+)表示为Sn\mathcal{S}_nSn;

对于∀σ,τ∈Sn,Sn\forall \sigma,\ \tau\in \mathcal{S_n},\ \mathcal{S}_n∀σ, τ∈Sn, Sn上的二元运算“∘\circ∘”定义为：(σ∘τ)(x)=σ(τ(x)),x∈Zn+(\sigma\circ\tau)(x)=\sigma(\tau(x)),\ x\in\mathbb{Z_n^+}(σ∘τ)(x)=σ(τ(x)), x∈Zn+.

易知(Sn,∘)(\mathcal{S}_n,\ \circ)(Sn, ∘)是一个群，称为nnn元集Zn+\mathbb{Z_n^+}Zn+上的对称群，Sn\mathcal{S_n}Sn的子群称为nnn元集Zn+\mathbb{Z_n^+}Zn+上的置换群.

群(Sn,∘)(\mathcal{S}_n,\ \circ)(Sn, ∘)的单位元ι\iotaι是集合Zn+\mathbb{Z}_n^+Zn+上的恒等置换：

ι=[12⋯n12⋯n]=(1)(2)⋯(n)\iota=\left[ \begin{array}{cc} 1 & 2 &\cdots &n\\ {1} &{2} &\cdots &{n}\end{array}\right]=(1)(2)\cdots(n)ι=[1122⋯⋯nn]=(1)(2)⋯(n)

置换的合成运算(σ∘τ\sigma\circ\tauσ∘τ)

先将两行矩阵表示的σ\sigmaσ作列交换，使得σ\sigmaσ的第一行与τ\tauτ的第二行元素排列完全一致，然后由τ\tauτ的第一行与σ\sigmaσ的第二行构成的矩阵就是στ\sigma\tauστ.

逆置换

先进行列交换，后进行行交换。

对于一个给定的置换σ\sigmaσ，如果已经得到了σ\sigmaσ的循环分解式，只需要将σ\sigmaσ的循环分解式中每个循环反转，即得其逆置换σ−1\sigma^{-1}σ−1.

置换σ\sigmaσ的格式typ(σ)\mathrm{typ}(\sigma)typ(σ)

令λk\lambda_kλk为置换σ\sigmaσ的循环分解式中长度为kkk的循环的个数，则：

typ(σ)=(λ1,λ2,,⋯,λn)∈Λn.\mathrm{typ}(\sigma)=(\lambda_1,\ \lambda_2,\ ,\cdots,\ \lambda_n)\in \Lambda_n.typ(σ)=(λ1, λ2, ,⋯, λn)∈Λn.

奇偶置换

可表为奇数个对换乘积的置换：奇置换

可表为偶数个对换乘积的置换：偶置换

交错群

Sn\mathcal{S_n}Sn中全体偶置换的集合An\mathcal{A_n}An：交错群, 且有∣An∣=∣Sn∣/2|\mathcal{A_n}|=|\mathcal{S_n}|/2∣An∣=∣Sn∣/2.

定理

设σ∈Sn\sigma\in \mathcal{S}_nσ∈Sn, CkC_kCk是σ\sigmaσ的循环分解式中第kkk个循环（CkC_kCk也表示第kkk个循环中所包含的元素之集），∣Ck∣|C_k|∣Ck∣表示循环CkC_kCk的长度，则有：

σ∣Ck∣(x)=x,∀x∈Ck\sigma^{|C_k|}(x)=x,\ \forall x\in C_kσ∣Ck∣(x)=x, ∀x∈Ck

推论

设σ∈Sn\sigma\in \mathcal{S}_nσ∈Sn, CkC_kCk是σ\sigmaσ的循环分解式中第kkk个循环（CkC_kCk也表示第kkk个循环中所包含的元素之集），则对于∀l∈Z+\forall l\in \mathbb{Z}^+∀l∈Z+有σl∣Ck=σlmod∣Ck∣∣Ck\sigma^l\big |_{C_k}=\sigma^{l \mod |C_k|}\big |_{C_k}σl∣∣Ck=σlmod∣Ck∣∣∣Ck.
设σ=C1C2⋯Cm∈Sn\sigma=C_1C_2\cdots C_m\in\mathcal{S}_nσ=C1C2⋯Cm∈Sn, 并令λ\lambdaλ是σ\sigmaσ的各循环长度的最小公倍数，即λ=lcm(∣C1,∣C2∣,⋯,∣Cm∣)\lambda=\mathrm{lcm} (|C_1,\ |C_2|,\ \cdots,\ |C_m|)λ=lcm(∣C1, ∣C2∣, ⋯, ∣Cm∣), 则有σλ=ι\sigma^\lambda=\iotaσλ=ι.

定理

置换与其逆置换具有相同的格式，即∀σ∈Sn\forall\ \sigma\in\mathcal{S_n}∀ σ∈Sn, 有typ(σ)=typ(σ−1)\mathrm{typ}(\sigma)=\mathrm{typ}(\sigma^{-1})typ(σ)=typ(σ−1).

共轭置换

对于∀σ,τ∈Sn\forall\ \sigma,\ \tau\in \mathcal{S_n}∀ σ, τ∈Sn，如果∃π∈Sn\exists \pi\in \mathcal{S_n}∃π∈Sn，使得σ=πτπ−1\sigma=\pi\tau\pi^{-1}σ=πτπ−1，则称置换σ\sigmaσ和τ\tauτ是互相共轭的置换。

定理

互相共轭与相同格式等价，即对∀σ,τ∈Sn,σ\forall \ \sigma,\ \tau\in \mathcal{S_n},\ \sigma∀ σ, τ∈Sn, σ和τ\tauτ共轭，当且仅当typ(σ)=typ(τ)\mathrm{typ}(\sigma)=\mathrm{typ}(\tau)typ(σ)=typ(τ).

置换之间的共轭关系是Sn\mathcal{S_n}Sn上的等价关系，该等价关系将Sn\mathcal{S_n}Sn拆分成不同的等价类，同一等价类的置换具有同样的格式。若定义：
Sn(λ1,λ2,⋯,λn)={σ∣σ∈Sn,typ(σ)=(1)λ1(2)λ2⋯(n)λn}\mathcal{S_n}(\lambda_1,\ \lambda_2,\ \cdots,\ \lambda_n)=\{\sigma|\sigma \in \mathcal{S_n},\ \mathrm{typ}(\sigma)=(1)^{\lambda_1}(2)^{\lambda_2}\cdots(n)^{\lambda_n}\} Sn(λ1, λ2, ⋯, λn)={σ∣σ∈Sn, typ(σ)=(1)λ1(2)λ2⋯(n)λn}
由组合的定义，共轭类中元素（置换）个数为
∣Sn(λ1,λ2,⋯,λn)∣=n!1λ12λ2⋯nλn⋅λ1!λ2!⋯λn!|\mathcal{S_n}(\lambda_1,\ \lambda_2,\ \cdots,\ \lambda_n)|=\frac{n!}{1^{\lambda_1}2^{\lambda_2}\cdots n^{\lambda_n}\cdot\lambda_1!\lambda_2!\cdots\lambda_n!} ∣Sn(λ1, λ2, ⋯, λn)∣=1λ12λ2⋯nλn⋅λ1!λ2!⋯λn!n!
这个结论在Pólya定理一章习题中会用到。

共轭类及其元素的性质

设Sn\mathcal{S_n}Sn是nnn元集Zn+\mathbb{Z_n^+}Zn+上的对称群，则有：

Sn\mathcal{S_n}Sn中同一共轭类的每个元素具有同样的周期；
如果σ\sigmaσ与τ\tauτ共轭，则σk\sigma^kσk与τk\tau^kτk共轭;
单位元ι\iotaι（恒等置换）所在的共轭类为{ι}\{\iota\}{ι};
Sn\mathcal{S_n}Sn中不同共轭类的个数等于正整数nnn的拆分数p(n)p(n)p(n)，也等于方程λ1+2λ2+⋯+nλn\lambda_1+2\lambda_2+\cdots+n\lambda_nλ1+2λ2+⋯+nλn非负整数解的个数∣Λn∣|\Lambda_n|∣Λn∣.

稳定子、轨道

稳定子Sta(x)

设GGG是nnn元集XXX上的置换群，对于给定的x∈Xx\in Xx∈X, 令

Sta(x)={σ∣σ∈G,σ(x)=x}\mathrm{Sta}(x)=\{\sigma|\sigma\in G,\ \sigma(x)=x\}Sta(x)={σ∣σ∈G, σ(x)=x}

则称Sta(x)\mathrm{Sta}(x)Sta(x)是xxx的不动置换类或xxx的稳定子。

定理

稳定子是子群.

设GGG是nnn元集XXX上的置换群，则对于∀x∈X,Sta(x)⩽G\forall x\in X,\ \mathrm{Sta}(x)\leqslant G∀x∈X, Sta(x)⩽G.

置换群导出的二元关系

R={(a,b)∣a,b∈X且∃σ∈G使得σ(a)=b}R=\left\{(a,\ b)|a,\ b\in X且\exists \ \sigma\in G使得\sigma(a)=b \right\}R={(a, b)∣a, b∈X且∃ σ∈G使得σ(a)=b}

定理

置换群导出的二元关系是等价关系。

记：nnn元集XXX上由置换群GGG导出的等价关系RRR：∼G\mathbf{\stackrel{G}{\thicksim}}∼G.

轨道Orb(x)

XXX 上由等价关系∼G\mathbf{\stackrel{G}{\thicksim}}∼G所确定的等价类称为置换群GGG的轨道。

对∀x∈X\forall x\in X∀x∈X, xxx所在的等价类或轨道，记为Orb(x)\mathbf{Orb(x)}Orb(x).

轨道集X/G

设GGG是nnn元集XXX上的置换群，则GGG的所有不同轨道形成的集合称为GGG的轨道集，记为X/GX/GX/G，即X/G={Orb(x)∣x∈X}X/G=\{\mathrm{Orb(x)|x\in X}\}X/G={Orb(x)∣x∈X}.

GGG的轨道集是XXX的子集，且有：X=⋃Orb(x)∈X/GOrb(x)X=\bigcup_{\mathrm{Orb}(x)\in X/G}\mathrm{Orb}(x)X=⋃Orb(x)∈X/GOrb(x).

轨道集是集合XXX的一个无序拆分，即X/G∈Π(X)X/G\in \Pi(X)X/G∈Π(X).

定理1

设GGG是nnn元集XXX上的置换群，x∈Xx\in Xx∈X,Orb(x)\mathrm{Orb}(x)Orb(x)是GGG的一条包含xxx的轨道，则对∀a,b∈Orb(x)\forall a,\ b\in \mathrm{Orb}(x)∀a, b∈Orb(x), 有∣Sta(a)∣=∣Sta(b)∣|\mathrm{Sta}(a)|=|\mathrm{Sta}(b)|∣Sta(a)∣=∣Sta(b)∣.

★\bigstar★定理2

子群Sta(x)\mathrm{Sta}(x)Sta(x)在群GGG中的指数满足：

[G:Sta(x)]=∣Orb(x)∣[G:\mathrm{Sta}(x)]=|\mathrm{Orb}(x)|[G:Sta(x)]=∣Orb(x)∣
或者记为：
∣G∣=∣Sta(x)∣∣Orb(x)∣|G|=|\mathrm{Sta}(x)|\ |\mathrm{Orb}(x)|∣G∣=∣Sta(x)∣ ∣Orb(x)∣

有限群的Cayley表示

设(G,∗)(G,\ \ast)(G, ∗)是一个有限群，则其与GGG上的一个置换群(H,∘)(H,\ \circ)(H, ∘)同构。

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