一个由三角形引出的乘积恒等式

故事背景

故事发生在我考完试后的第二天，我正躺在床上悠闲着耍着我的最右，突然一个神秘的黑色图片映入我的眼帘。我盯着看了一段时间，发现这明显是在挑衅我啊，我好歹也是经历过高考的人的，你就拿这种题愚弄我？不过，十几分钟下来，我不得不承认我的九年义务教育似乎并不是很成功…
如图：
没错兄弟们，我躺在床上辗转反侧，迟迟没有心情去刷下一个视频，没办法，只好拿出了我的杀手锏，没错，就是建系，把坐标都写出来，斜率一算，交点坐标一求，这题稳稳地就是在交智商税啊。但是啊，当我嘴角微微一扬，准备着再刷个小视频奖励一下自己的时候，我才发现，这另有玄机…

问题抽象

我们换个图来看:

对于这种在三角形中有一个点，连接三个顶点到中间这个点，所形成的A,B,C,D,E,FA,B,C,D,E,FA,B,C,D,E,F之间有什么关系嘛，这就来分析一下。
我们在高中学过正弦定理，那么我们就以这个为切入点。
由正弦定理我们可以知道:asin(B)=bsin(A)\frac{a}{sin(B)} = \frac{b}{sin(A)}sin(B)a=sin(A)b,asin(E)=csin(F)\frac{a}{sin(E)} = \frac{c}{sin(F)}sin(E)a=sin(F)c,两个等式，我们可以知道：b∗sin(B)sin(A)=c∗sin(E)sin(F)b*\frac{sin(B)}{sin(A)} = c*\frac{sin(E)}{sin(F)}b∗sin(A)sin(B)=c∗sin(F)sin(E)。在最下面那个三角形中，我们可以得出：csin(C)=bsin(D)\frac{c}{sin(C)} = \frac{b}{sin(D)}sin(C)c=sin(D)b,可以得出：bc=sin(D)sin(C)\frac{b}{c} = \frac{sin(D)}{sin(C)}cb=sin(C)sin(D),并且由上面的式子我们已经得到: bc=sin(A)sin(E)sin(B)sin(F)\frac{b}{c} = \frac{sin(A)sin(E)}{sin(B)sin(F)}cb=sin(B)sin(F)sin(A)sin(E), 将两个式子联立到一起，可以得到: sin(D)sin(B)sin(F)=sin(A)sin(E)sin(C)sin(D)sin(B)sin(F) = sin(A)sin(E)sin(C)sin(D)sin(B)sin(F)=sin(A)sin(E)sin(C), 可以看出，对这个大三角形分割后的小三角形，假如我们中间的点看成一个旋转点，当小三角形进行旋转时，A,E,CandB，D，FA,E,C and B，D，FA,E,CandB，D，F这两组是在同一位置上，即三角形的左底角和右底角。

延申

那么我们可不可以把这个发现延伸一下，即是不是n边形都有这个性质呢？答案是肯定的。我们以四边形为例，阐述一下如何从三角形演推到四边形。如图：
由三角形的例子，我们知道，三角形是简单的把ccc看作为零而已,并且sin(D)=sin(E)sin(D) = sin(E)sin(D)=sin(E)。从这个四边形中，我们可以得出: bsin(D)=csin(C)\frac{b}{sin(D)} = \frac{c}{sin(C)}sin(D)b=sin(C)c,csin(F)=dsin(E)\frac{c}{sin(F)} = \frac{d}{sin(E)}sin(F)c=sin(E)d, 可以得出; b∗sin(C)sin(D)=d∗sin(F)sin(E)b*\frac{sin(C)}{sin(D)} = d*\frac{sin(F)}{sin(E)}b∗sin(D)sin(C)=d∗sin(E)sin(F), 由于sin(D)=sin(E)sin(D) = sin(E)sin(D)=sin(E)，得出bd=sin(F)sin(C)\frac{b}{d} = \frac{sin(F)}{sin(C)}db=sin(C)sin(F), 这和我们上面所说的三角形的公式是相同的，说明，三角形是四边形的简化。而四边形中，这个关系的完整形态是: bd=sin(D)sin(F)sin(E)sin(C)\frac{b}{d} = \frac{sin(D)sin(F)}{sin(E)sin(C)}db=sin(E)sin(C)sin(D)sin(F), 仅仅比三角形中的关系式多了一个: sin(D)sin(E)\frac{sin(D)}{sin(E)}sin(E)sin(D), 再将这个公式代入上述: bd=sin(A)sin(G)sin(B)sin(H)\frac{b}{d} = \frac{sin(A)sin(G)}{sin(B)sin(H)}db=sin(B)sin(H)sin(A)sin(G), 代入得: sin(A)sin(G)sin(E)sin(C)=sin(B)sin(H)sin(D)sin(F)sin(A)sin(G)sin(E)sin(C) = sin(B)sin(H)sin(D)sin(F)sin(A)sin(G)sin(E)sin(C)=sin(B)sin(H)sin(D)sin(F)。五边形，也可以由四边形如此推出。接下来，一次次得推演可以推到n边形，均满足这个恒等式。