Burnside引理

Burnside引理（轨道计数定理，等价类计数定理）

设GGG是nnn元集XXX上的置换群，X/GX/GX/G表示GGG的轨道集，则：

∣X/G∣=1∣G∣∑σ∈Gλ1(σ),|X/G|=\frac{1}{|G|}\sum_{\sigma\in G}\lambda_1(\sigma),∣X/G∣=∣G∣1σ∈G∑λ1(σ),

其中λ1(σ)\lambda_{1}(\sigma)λ1(σ)是置换σ\sigmaσ的循环分解式中111循环的个数，即置换σ\sigmaσ的不动点的个数。

证明

（殊途同归原理）

轨道计数示例

一般称G‾\overline{G}G为由XXX上的置换群GGG所导出的CXC^XCX上的置换群。
易证：G≅G‾G\cong \overline{G}G≅G（同构），映射f(σ)=σ‾f(\sigma)=\overline{\sigma}f(σ)=σ就是群GGG到群G‾\overline{G}G的同构映射。

定理

设XXX是对象集，CCC是颜色集，GGG是XXX上的置换群，G‾\overline{G}G是由GGG导出的CXC^XCX上的置换群，对于φ1,φ2∈CX\varphi_1,\ \varphi_2\in C^Xφ1, φ2∈CX，∃σ∈G\exists\sigma\in G∃σ∈G使得

φ1(x)=φ2(σ(x)),∀x∈X⟺σ‾(φ1)=φ2\varphi_1(x)=\varphi_2(\sigma(x)),\ \forall x\in X\iff \overline{\sigma}(\varphi_1)=\varphi_2φ1(x)=φ2(σ(x)), ∀x∈X⟺σ(φ1)=φ2

其中σ‾\overline{\sigma}σ是由σ\sigmaσ导出的CXC^XCX上的置换。

推论

根据上面的定理，若令
R={(φ1,φ2)∣φ1,φ2∈CX,∃σ∈G,s.t.φ1(x)=φ2(x),∀x∈X}R=\{(\varphi_1,\ \varphi_2)|\varphi_1,\ \varphi_2\in C^X,\ \exists\sigma\in G,s.t.\varphi_1(x)=\varphi_2(x),\ \forall x\in X\} R={(φ1, φ2)∣φ1, φ2∈CX, ∃σ∈G,s.t.φ1(x)=φ2(x), ∀x∈X}
则易知RRR也是CXC^XCX上的等价关系，记为∼G\stackrel{G}{\sim}∼G，其不同等价类的集合仍以CX/GC^X/GCX/G表示。由于∼G=∼G‾\stackrel{G}{\sim}=\stackrel{\overline{G}}{\sim}∼G=∼G，所以显然有CX/G=CX/G‾C^X/G=C^X/\overline{G}CX/G=CX/G

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（组合数学笔记）Pólya计数理论_Part.4_Burnside引理

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Burnside引理

Burnside引理（轨道计数定理，等价类计数定理）

证明

轨道计数示例

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