写在前面

总结推广的Pólya定理，即De Bruijn定理，其推导过程和常用的解题方法。

问题引入

考虑对象置换群(G)(G)(G)、颜色置换群(H)(H)(H)共同作用下的染色方案计数问题，

需要考虑以下三个问题：

在置换群GGG和HHH的共同作用下，两个染色方案φ1,φ2∈CX\varphi_1,\,\varphi_2\in C^Xφ1,φ2∈CX等价意味着什么？
两个置换群的联合作用如何等价到集合CXC^XCX上的单个群(不妨记为HGH^GHG)上? 使得在这两置换群的意义下两个等价的染色方案φ1,φ2\varphi_1,\,\varphi_2φ1,φ2恰好位于单个群HGH^GHG的同一条轨道。
如何根据置换群GGG和HHH来定义CXC^XCX上的置换群HGH^GHG?

推导1

注意到在颜色集CCC上如果没有置换群HHH的作用，而仅由群GGG进行作用，两染色方案φ1,φ2\varphi_1,\,\varphi_2φ1,φ2等价⟺∃G,s.t.φ1(x)=φ2(σ(x)),∀x∈X\iff \exists G,\text{s.t.}\varphi_1(x)=\varphi_2(\sigma(x)),\,\forall\,x\in X⟺∃G,s.t.φ1(x)=φ2(σ(x)),∀x∈X.

现向CCC中加入置换群HHH的作用，则若存在σ∈G,τ∈H\sigma\in G,\,\tau\in Hσ∈G,τ∈H使得
τ(φ1(x))=φ2(σ(x)),∀x∈X,\tau(\varphi_1(x))=\varphi_2(\sigma(x)),\,\forall\,x\in X, τ(φ1(x))=φ2(σ(x)),∀x∈X,
则两染色方案φ1,φ2\varphi_1,\,\varphi_2φ1,φ2等价，于是上述问题转化为如何根据GGG和HHH来定义CXC^XCX上的置换群HGH^GHG, 使得上式成立当且仅当φ1,φ2\varphi_1,\,\varphi_2φ1,φ2位于群HGH^GHG的同一条轨道。下面具体分析。

对于∀σ∈G,τ∈H\forall \sigma\in G,\,\tau\in H∀σ∈G,τ∈H, 定义染色方案集CXC^XCX上的置换τσ\tau^\sigmaτσ如下：
(τσ(φ))(x)=τ(φ(σ−1(x))),∀φ∈CX,x∈X,(\tau^\sigma(\varphi))(x)=\tau(\varphi(\sigma^{-1}(x))),\quad\forall\varphi\in C^X,\,x\in X, (τσ(φ))(x)=τ(φ(σ−1(x))),∀φ∈CX,x∈X,
易得τσ\tau^\sigmaτσ是CXC^XCX上的置换。

现在令HG={τσ∣σ∈G,τ∈H}H^G=\{\tau^\sigma|\sigma\in G,\,\tau\in H\}HG={τσ∣σ∈G,τ∈H}, 则HGH^GHG在通常的置换合成运算意义下形成CXC^XCX上的置换群，且对∀τ1σ1,τ2σ2∈HG\forall \,\tau_1^{\sigma_1},\,\tau_2^{\sigma_2}\in H^G∀τ1σ1,τ2σ2∈HG，HGH^GHG上的置换合成运算满足
τ1σ1∘τ2σ2=(τ1∙τ2)(σ1∗σ2),\tau_1^{\sigma_1}\circ\tau_2^{\sigma_2}=(\tau_1\bullet\tau_2)^{(\sigma_1\ast\sigma_2)}, τ1σ1∘τ2σ2=(τ1∙τ2)(σ1∗σ2),
并称置换群(HG,∘)(H^G,\,\circ)(HG,∘)为幂群。

定理

设GGG和HHH分别是集合XXX和CCC上的置换群，对于∀φ1,φ2∈CX\forall\,\varphi_1,\,\varphi_2\in C^X∀φ1,φ2∈CX，在群GGG和HHH共同作用下φ1\varphi_1φ1和φ2\varphi_2φ2等价⟺∃σ∈G,τ∈H,s.t.对∀x∈X,τ(φ1(x))=φ2(σ(x))\,\iff\,\exists\ \sigma\in G,\tau\in H,\text{s.t.对}\forall x\in X,\,\tau(\varphi_1(x))=\varphi_2(\sigma(x))⟺∃ σ∈G,τ∈H,s.t.对∀x∈X,τ(φ1(x))=φ2(σ(x)).

推导2

根据Burnside引理，在群G,HG,\,HG,H的共同作用下，CXC^XCX中不同染色方案数(群HGH^GHG在CXC^XCX上的轨道数)为
∣CX/HG∣=1∣HG∣∑τσ∈HGλ1(τσ)=1∣H∣∣G∣∑τ∈H∑σ∈Gλ1(τσ)=1∣H∣∑τ∈H[1∣G∣∑σ∈Gλ1(τσ)]\begin{aligned} \left|C^X/H^G\right| &=\frac1{|H^G|}\sum_{\tau^\sigma\in H^G}\lambda_1(\tau^\sigma)\\ &=\frac1{|H||G|}\sum_{\tau\in H}\sum_{\sigma\in G}\lambda_1(\tau^\sigma)\\ &=\frac1{|H|}\sum_{\tau\in H}\left[\frac1{|G|}\sum_{\sigma\in G}\lambda_1(\tau^\sigma)\right] \end{aligned} ∣∣CX/HG∣∣=∣HG∣1τσ∈HG∑λ1(τσ)=∣H∣∣G∣1τ∈H∑σ∈G∑λ1(τσ)=∣H∣1τ∈H∑[∣G∣1σ∈G∑λ1(τσ)]
对于给定的σ∈G,τ∈H\sigma\in G,\,\tau\in Hσ∈G,τ∈H, 首先计算置换τσ\tau^\sigmaτσ的111循环的个数λ1(τσ)\lambda_1(\tau^\sigma)λ1(τσ), 也就是满足τσ(φ)=φ\tau^\sigma(\varphi)=\varphiτσ(φ)=φ(φ\varphiφ是置换τσ\tau^\sigmaτσ的不动点)的映射φ\varphiφ的个数，由τσ\tau^\sigmaτσ定义显然得到
τσ(φ)=φ⟺∀x∈X,τ(φ(x))=φ(σ(x))，\tau^\sigma(\varphi)=\varphi\iff\forall x \in X,\tau(\varphi(x))=\varphi(\sigma(x))， τσ(φ)=φ⟺∀x∈X,τ(φ(x))=φ(σ(x))，
上式说明了：φ∈CX\varphi\in C^Xφ∈CX满足τσ(φ)=φ⟺φ\tau^\sigma(\varphi)=\varphi\,\iff\,\varphiτσ(φ)=φ⟺φ用τ\tauτ的同一循环中相继的颜色染色σ\sigmaσ同一循环中相继的对象。要实现这样的染色方案，颜色所在的循环(τ\tauτ的循环)的长度必须是对象所在的循环(σ\sigmaσ的循环)的长度的因子。

⋯\cdots⋯

De Bruijn定理

设(G,∗)(G,\,\ast)(G,∗)和(H,∙)(H,\,\bullet)(H,∙)分别是nnn元对象集XXX和mmm元颜色集CCC上的置换群，则幂群(HG,∘)(H^G,\,\circ)(HG,∘)在染色方案集CXC^XCX上的轨道数为
∣CX/HG∣=1∣H∣∑τ∈HCIG(m1(τ),m2(τ),⋯,mn(τ)),\left|C^X/H^G\right|=\frac1{|H|}\sum_{\tau\in H}\mathrm{CI}_G(m_1(\tau),\,m_2(\tau),\,\cdots,\,m_n(\tau)), ∣∣CX/HG∣∣=∣H∣1τ∈H∑CIG(m1(τ),m2(τ),⋯,mn(τ)),
其中CIG(m1(τ),m2(τ),⋯,mn(τ))\mathrm{CI}_G(m_1(\tau),\,m_2(\tau),\,\cdots,\,m_n(\tau))CIG(m1(τ),m2(τ),⋯,mn(τ))是置换群GGG的循环指数，mk(τ)m_k(\tau)mk(τ)是置换τ\tauτ的循环分解式中循环长度能够整除kkk的循环中所包含的元素个数，即
mk(τ)=∑d∣kdλd(τ).m_k(\tau)=\sum_{d\,|\,k}d\lambda_d(\tau). mk(τ)=d∣k∑dλd(τ).

定理的特殊情况

CCC上没有置换群

∣CX/HG∣=∣CX/G∣=1∣G∣∑σ∈Gmλ(σ).\left|C^X/H^G\right|=\left|C^X/G\right|=\frac1{|G|}\sum_{\sigma\in G}m^{\lambda(\sigma)}. ∣∣CX/HG∣∣=∣∣CX/G∣∣=∣G∣1σ∈G∑mλ(σ).

上式即为Pólya定理。

HHH上没有置换群

∣CX/HG∣=∣CX/H∣=1∣H∣∑τ∈H[λ1(τ)]n.\left|C^X/H^G\right|=\left|C^X/H\right|=\frac1{|H|}\sum_{\tau\in H}[\lambda_1(\tau)]^n. ∣∣CX/HG∣∣=∣∣CX/H∣∣=∣H∣1τ∈H∑[λ1(τ)]n.

C,HC,\,HC,H上均没有置换群

直接由De Bruijn定理，可以得到
∣CX/HG∣=∣CX∣=mn,\left|C^X/H^G\right|=|C^X|=m^n, ∣∣CX/HG∣∣=∣CX∣=mn,
此即在没有任何群的作用下nnn元集到mmm元集的所有映射的个数。

例题

将3个白球和1个黑球放入2个方形盒子和1个圆形盒子且允许空盒的方案数(假定3个白球、2个方形盒子均不可区分)。

分析

令X={b,w1,w2,w3}X=\{b,\,w_1,\,w_2,\,w_3\}X={b,w1,w2,w3}为对象集，C={r,s1,s2}C=\{r,\,s_1,\,s_2\}C={r,s1,s2}为颜色集。显然XXX与CCC上的置换群分别为G=S1⊕S3,H=S1⊕S2G=\mathcal{S_1}\oplus\mathcal{S_3},\ H=\mathcal{S_1}\oplus\mathcal{S_2}G=S1⊕S3, H=S1⊕S2.即
H={(r)(s1)(s2),(r)(s1s2)}≜{τ1,τ2}G={(b)(w1)(w2)(w3),(b)(w1w2w3),(b)(w1w3w2),(b)(w1)(w2w3),(b)(w2)(w1w3),(b)(w3)(w1w2)}\begin{aligned} H=\{&(r)(s_1)(s_2),\,(r)(s_1s_2)\}\triangleq\{\tau_1,\,\tau_2\}\\ G=\{&(b)(w_1)(w_2)(w_3),\,(b)(w_1w_2w_3),\,(b)(w_1w_3w_2),\\ &(b)(w_1)(w_2w_3),\,(b)(w_2)(w_1w_3),\,(b)(w_3)(w_1w_2)\} \end{aligned} H={G={(r)(s1)(s2),(r)(s1s2)}≜{τ1,τ2}(b)(w1)(w2)(w3),(b)(w1w2w3),(b)(w1w3w2),(b)(w1)(w2w3),(b)(w2)(w1w3),(b)(w3)(w1w2)}
所以
CIG(x1,x2,x3,x4)=16(x14+2x1x3+3x12x2),\mathrm{CI}_G(x_1,\,x_2,\,x_3,\,x_4)=\frac16(x_1^4+2x_1x_3+3x_1^2x_2), CIG(x1,x2,x3,x4)=61(x14+2x1x3+3x12x2),
对于τ∈H\tau\in Hτ∈H, 根据公式
mk(τ)=∑d∣kdλd(τ),m_k(\tau)=\sum_{d\,|\,k}d\lambda_d(\tau), mk(τ)=d∣k∑dλd(τ),
有
m1(τ1)=3,m2(τ1)=3,m3(τ1)=3,m4(τ1)=3,m1(τ2)=1,m2(τ2)=3,m3(τ1)=1,m4(τ2)=3.\begin{array}{cccc} m_1(\tau_1)=3,&m_2(\tau_1)=3,&m_3(\tau_1)=3,&m_4(\tau_1)=3,\\ m_1(\tau_2)=1,&m_2(\tau_2)=3,&m_3(\tau_1)=1,&m_4(\tau_2)=3. \end{array} m1(τ1)=3,m1(τ2)=1,m2(τ1)=3,m2(τ2)=3,m3(τ1)=3,m3(τ1)=1,m4(τ1)=3,m4(τ2)=3.
于是根据De Bruijn定理，有
N=∣CX/HG∣=1∣H∣∑τ∈HCIG(m1(τ),m2(τ),m3(τ),m4(τ))=12[16(34+2×32+34)+16(14+2×12+3×12×3)]=16.\begin{aligned} N &=\left|C^X/H^G\right|\\ &=\frac1{|H|}\sum_{\tau\in H}\mathrm{CI}_G(m_1(\tau),\,m_2(\tau),\,m_3(\tau),\,m_4(\tau))\\ &=\frac12\left[\frac16 \left(3^4+2\times3^2+3^4\right)+\frac16 \big(1^4+2\times1^2+3\times1^2\times3\big) \right]\\ &=16. \end{aligned} N=∣∣CX/HG∣∣=∣H∣1τ∈H∑CIG(m1(τ),m2(τ),m3(τ),m4(τ))=21[61(34+2×32+34)+61(14+2×12+3×12×3)]=16.

其方案数为161616.

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