文章目录

Pólya定理
- 一般形式
- - 证明
- 一些定义
- - 图HHH的自同构
  - 图HHH的自同构群
  - 图H1H_1H1和H2H_2H2同构
- 例题

Pólya定理

一般形式

设XXX是nnn元对象集，CCC是mmm元颜色集，用CCC中的颜色对XXX中的对象进行染色，则在XXX上的置换群GGG的作用下不同的染色方案数：

∣CX/G∣=1∣G∣∑σ∈G∣C∣λ(σ)=1∣G∣∑σ∈Gmλ(σ),|C^X/G|=\frac{1}{|G|}\sum\limits_{\sigma\in G}|C|^{\lambda(\sigma)}=\frac1{|G|}\sum\limits_{\sigma\in G}m^{\lambda(\sigma)},∣CX/G∣=∣G∣1σ∈G∑∣C∣λ(σ)=∣G∣1σ∈G∑mλ(σ),

其中λ(σ)\lambda(\sigma)λ(σ)是置换σ\sigmaσ的循环分解式中循环的个数。

证明

由Burnside引理，不同染色方案数为

∣CX/G∣=∣CX/G‾∣=1∣G‾∣∑σ‾∈G‾λ1(σˉ)=1∣G∣∑σ‾∈G‾λ1(σˉ),|C^X/G|=|C^X/\overline{G}|=\frac{1}{|\overline{G}|}\sum\limits_{\overline{\sigma}\in \overline{G}}{\lambda_1(\bar{\sigma})}=\frac1{|G|}\sum\limits_{\overline{\sigma}\in \overline{G}}{\lambda_1(\bar{\sigma})},∣CX/G∣=∣CX/G∣=∣G∣1σ∈G∑λ1(σˉ)=∣G∣1σ∈G∑λ1(σˉ),

对∀x∈X\forall x\in X∀x∈X，有：

σˉ(φ)=φ⟺φ(σ−1(x))=φ(x)⟺φ(x)=φ(σ(x)),\bar{\sigma}(\varphi)=\varphi\iff\varphi(\sigma^{-1}(x))=\varphi(x)\iff\varphi(x)=\varphi(\sigma(x)),σˉ(φ)=φ⟺φ(σ−1(x))=φ(x)⟺φ(x)=φ(σ(x)),

所以

∣CX/G∣=1∣G∣∑σ‾∈G‾∣C∣λ(σˉ)=1∣G∣∑σ∈Gmλ(σ).|C^X/G|=\frac{1}{|G|}\sum\limits_{\overline{\sigma}\in \overline{G}}|C|^{\lambda(\bar{\sigma})}=\frac1{|G|}\sum\limits_{\sigma\in G}m^{\lambda(\sigma)}.∣CX/G∣=∣G∣1σ∈G∑∣C∣λ(σˉ)=∣G∣1σ∈G∑mλ(σ).

一些定义

图HHH的自同构

顶点集V(H)V(H)V(H)上的一个置换σ\sigmaσ，且满足：

{u,v}∈E(H)⟹{σ(u),σ(v)}∈E(H).\{u,\ v\}\in E(H)\Longrightarrow\{\sigma(u),\ \sigma(v)\}\in E(H).{u, v}∈E(H)⟹{σ(u), σ(v)}∈E(H).

图HHH的自同构群

图HHH的所有自同构在置换合成运算"∘""\circ""∘"的意义下形成的群。记为Aut(H)\mathcal{A}ut(H)Aut(H).

图H1H_1H1和H2H_2H2同构

如果两图H1H_1H1和H2H_2H2共享同样的顶点集VVV，且存在顶点集VVV上的一个置换σ\sigmaσ使得

{u,v}∈E(H1)⟺{σ(u),σ(v)}∈E(H2),\{u,\ v\}\in E(H_1)\iff \{\sigma(u),\ \sigma(v)\}\in E(H_2),{u, v}∈E(H1)⟺{σ(u), σ(v)}∈E(H2),

则称图H1H_1H1和H2H_2H2同构。记为H1≅H2H_1\cong H_2H1≅H2

注：即使两个图的顶点集不同，但只要两个顶点集的大小相同，也可以定义同构的概念。

例题

以V=Zn+V=\mathbb{Z}_n^+V=Zn+作为顶点集的简单无向图的个数，假定两个同构的图被视为同一个图。
考虑以下的问题：
- 如何将图的问题看成染色方案问题？这样的图计数问题就是一个染色方案的计数问题。
- 颜色集CCC和染色对象集XXX分别是什么？
- 同构的图对应等价的染色方案，对象集XXX上的置换群GGG是什么？

考虑以Zn+\mathbb{Z_n^+}Zn+作为顶点集的完全图KnK_nKn，则每个以Zn+\mathbb{Z_n^+}Zn+作为顶点集的图均可以看成是从完全图KnK_nKn中去掉一些边得到的。

不妨设为黑白两色，则有：

C={0,1},X=E(Kn)={1ˉ,2ˉ,⋯,mˉ},m=(n2),C=\{0,\ 1\},\quad X=E(K_n)=\{\bar{1},\ \bar{2},\ \cdots,\ \bar{m}\},\quad m=\binom{n}{2},C={0, 1},X=E(Kn)={1ˉ, 2ˉ, ⋯, mˉ},m=(2n),

下面考虑XXX上的置换群GGG：

对φ1,φ2∈CX\varphi_1,\ \varphi_2\in C^Xφ1, φ2∈CX，φ1∼Gφ2\varphi_1\stackrel{G}{\sim}\varphi_2φ1∼Gφ2当且仅当∃σˉ∈G\exists \bar{\sigma}\in G∃σˉ∈G使得φ1(x)=φ2(σˉ(x)),x∈X\varphi_1(x)=\varphi_{2}(\bar{\sigma}(x)),\ x\in Xφ1(x)=φ2(σˉ(x)), x∈X.

由Pólya定理，有：

∣CX/G∣=1∣G∣∑σˉ∈G2λ(σˉ).|C^X/G|=\frac{1}{|G|}\sum\limits_{\bar{\sigma}\in G}2^{\lambda(\bar{\sigma})}.∣CX/G∣=∣G∣1σˉ∈G∑2λ(σˉ).

当顶点数n=3n=3n=3时，Aut(K3)={σ0,σ1,σ2,σ3,σ4,σ5}=S3\mathcal{A}ut(K_3)=\{\sigma_0,\ \sigma_1,\ \sigma_2,\ \sigma_3,\ \sigma_4,\ \sigma_5\}=\mathcal{S}_3Aut(K3)={σ0, σ1, σ2, σ3, σ4, σ5}=S3，并使其对应完全图K3K_3K3的边集E(K3)={{2,3},{1,3},{1,2}}≜{1ˉ,2ˉ,3ˉ}=X,E(K_3)=\{\{2,\ 3\},\ \{1,\ 3\},\ \{1,\ 2\}\} \triangleq \{\bar{1},\ \bar{2},\ \bar{3}\}=X,E(K3)={{2, 3}, {1, 3}, {1, 2}}≜{1ˉ, 2ˉ, 3ˉ}=X,由Aut(K3)\mathcal{A}ut(K_3)Aut(K3)导出的XXX上的置换群G={σˉ0,σˉ1,σˉ2,σˉ3,σˉ4,σˉ5}G=\{\bar{\sigma}_0,\ \bar{\sigma}_1,\ \bar{\sigma}_2,\ \bar{\sigma}_3,\ \bar{\sigma}_4,\ \bar{\sigma}_5\}G={σˉ0, σˉ1, σˉ2, σˉ3, σˉ4, σˉ5}, 所以由Pólya定理，得

∣CX/G∣=1∣G∣∑σˉ∈G2λ(σˉ)=16(23+22+22+22+21+21)=4.|C^X/G|=\frac{1}{|G|}\sum\limits_{\bar{\sigma}\in G}2^{\lambda(\bar{\sigma})}=\frac16(2^3+2^2+2^2+2^2+2^1+2^1)=4.∣CX/G∣=∣G∣1σˉ∈G∑2λ(σˉ)=61(23+22+22+22+21+21)=4.

同理可得n=4n=4n=4时，∣CX/G∣=11|C^X/G|=11∣CX/G∣=11.

(Fermat小定理，组合证明) 设ppp为素数，则对于任意的正整数aaa有p∣ap\ |\ ap ∣ a，或者p∣ap−1−1p\ |\ a^{p-1}-1p ∣ ap−1−1.

可以考虑aaa元集的手镯型ppp重复圆排列的计数问题（亦等价于：用aaa种颜色对正ppp边形的顶点进行染色，如果绕正ppp边形的中心作平面旋转重合的两种染色方案视为同一种染色方案，求不同的染色方案数）。

设X=Zp+X=\mathbb{Z}_p^+X=Zp+是ppp边形的顶点集，C=Za+C=\mathbb{Z}_a^+C=Za+表示颜色集.绕正ppp边形的中心旋转有ppp种方式，分别是旋转k⋅360∘p,k=0,1,⋯,p−1k\ \cdot\ \frac{360^{\circ}}{p},\ k=0,\ 1,\ \cdots,\ p-1k ⋅ p360∘, k=0, 1, ⋯, p−1，且每个旋转都产生顶点集XXX上的一个置换，不妨设该置换为σk\sigma_kσk，则有（考虑循环移位）：

σ0=(1)(2)⋯(p)σ1=(123⋯p)σ2=(135⋯p24⋯p−1‾)⋯σp−1=(1pp−1‾⋯32)\begin{aligned} &\sigma_0=(1)(2)\cdots(p)\\ &\sigma_1=(123\cdots p)\\ &\sigma_2=(135\cdots p24\cdots\underline{p-1})\\ &\cdots\\ &\sigma_{p-1}=(1p\underline{p-1}\cdots32) \end{aligned}σ0=(1)(2)⋯(p)σ1=(123⋯p)σ2=(135⋯p24⋯p−1)⋯σp−1=(1pp−1⋯32)

易知G={σ0,σ1,⋯,σp−1}G=\{\sigma_0,\ \sigma_1,\cdots,\ \sigma_{p-1}\}G={σ0, σ1,⋯, σp−1}是顶点集XXX上的置换群。由Pólya定理，得：
∣CX/G∣=1∣G∣∑σ∈Gaλ(σ)=1p[ap+(p−1)a]=a+a(ap−1−1)p,|C^X/G|=\frac{1}{|G|}\sum\limits_{{\sigma}\in G}a^{\lambda({\sigma})}=\frac 1p[a^p+(p-1)a]=a+\frac{a(a^{p-1}-1)}{p},∣CX/G∣=∣G∣1σ∈G∑aλ(σ)=p1[ap+(p−1)a]=a+pa(ap−1−1),
由于∣CX/G∣|C^X/G|∣CX/G∣为整数，所以p∣ap\ |\ ap ∣ a或p∣ap−1−1p\ |\ a^{p-1}-1p ∣ ap−1−1成立，证毕。

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