写在前面

本文介绍Pólya定理的一些扩展，包括直和、Cartes(笛卡尔)积和2-子集上的扩展。

直和上的扩展

直和

设XXX是ppp元集，YYY是qqq元集，且X⋂Y=∅X\bigcap Y=\varnothingX⋂Y=∅, (G,∗)(G,\ \ast)(G, ∗)和(H,∙)(H,\ \bullet)(H, ∙)分别是XXX和YYY上的置换群，令Z=X⋃Y=△X⊕YZ=X\bigcup Y\stackrel{\triangle}{=}X\oplus YZ=X⋃Y=△X⊕Y，称集合ZZZ为集合XXX与集合YYY的直和.对于∀σ∈G,τ∈H\forall\ \sigma\in G,\ \tau\in H∀ σ∈G, τ∈H，定义集合ZZZ上的置换σ⊕τ\sigma\oplus\tauσ⊕τ如下：
(σ⊕τ)(z)={σ(z),z∈Xτ(z),z∈Y(\sigma\oplus\tau)(z)=\begin{cases}\sigma(z),&z\in X\\ \tau(z),&z\in Y\end{cases} (σ⊕τ)(z)={σ(z),τ(z),​z∈Xz∈Y​
显然，σ⊕τ\sigma\oplus\tauσ⊕τ是集合ZZZ上的置换。若令
G⊕H={σ⊕τ∣σ∈G,τ∈H},G\oplus H=\{\sigma\oplus\tau\ |\ \sigma\in G,\ \tau\in H\}, G⊕H={σ⊕τ ∣ σ∈G, τ∈H},
可得G⊕HG\oplus HG⊕H在通常的置换合成运算下形成Z=X⊕YZ=X\oplus YZ=X⊕Y上的置换群，且对∀σ⊕τ,σ′⊕τ′∈G⊕H\forall\ \sigma\oplus\tau,\ \sigma'\oplus\tau'\in G\oplus H∀ σ⊕τ, σ′⊕τ′∈G⊕H, G⊕HG\oplus HG⊕H上的置换合成运算满足
(σ⊕τ)∘(σ′⊕τ′)=(σ∗σ′)⊕(τ∙τ′),(\sigma\oplus\tau)\circ(\sigma'\oplus\tau')=(\sigma\ \ast\ \sigma')\oplus(\tau\ \bullet\ \tau'), (σ⊕τ)∘(σ′⊕τ′)=(σ ∗ σ′)⊕(τ ∙ τ′),
在此称群(G⊕H,∘)(G\oplus H,\ \circ)(G⊕H, ∘)为群GGG和群HHH的直和。

直和的计数性质

• ∣G⊕H∣=∣G∣∣H∣|G\oplus H|=|G||H|∣G⊕H∣=∣G∣∣H∣;
• ∣X⊕Y∣=∣X∣+∣Y∣=p+q|X\oplus Y|=|X|+|Y|=p+q∣X⊕Y∣=∣X∣+∣Y∣=p+q.

直和的循环指数

p+qp+qp+q元集X⊕YX\oplus YX⊕Y上的置换群G⊕HG\oplus HG⊕H的循环指数为
CIG⊕H(x1,x2,⋯,xp+q)=CIG(x1,x2,⋯,xp)⋅CIH(x1,x2,⋯,xq),\mathrm{CI}_{G\oplus H}(x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_{p+q})=\mathrm{CI}_G(x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_p)\,\cdot\,\mathrm{CI}_H(x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_q), CIG⊕H​(x1​, x2​, ⋯, xp+q​)=CIG​(x1​, x2​, ⋯, xp​)⋅CIH​(x1​, x2​, ⋯, xq​),
为不引起混淆，上式亦可表示为
CIG⊕H(x1,⋯,xp,y1,⋯,yq)=CIG(x1,x2,⋯,xp)⋅CIH(y1,y2,⋯,yq).\mathrm{CI}_{G\oplus H}(x_1,\ \cdots,\ x_p,\ y_1,\ \cdots,\ y_{q})=\mathrm{CI}_G(x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_p)\cdot\mathrm{CI}_H(y_1,\ y_2,\ \cdots,\ y_q). CIG⊕H​(x1​, ⋯, xp​, y1​, ⋯, yq​)=CIG​(x1​, x2​, ⋯, xp​)⋅CIH​(y1​, y2​, ⋯, yq​).

证明思路

由于对∀σ⊕τ∈G⊕H\forall \,\sigma\oplus\tau\in G\oplus H∀σ⊕τ∈G⊕H，根据直和的运算，σ⊕τ\sigma\oplus\tauσ⊕τ的格式(typ\mathrm{typ}typ)为对应项的乘积，直接根据循环指数的定义，将两部分拆分为各自对应的循环指数，即可得到直和的循环指数。

例题分析

用2种颜色对正六面体的666个面和888个顶点进行染色，求染色方案数NNN, 假定正六面体的转动使之重合的方案视为同一种方案。

方法一(直和的循环指数)

由前面的结论，可以得到
CIGv(x1,x2,⋯,x8)=124(x18+8x12x32+9x24+6x42),CIGf(x1,x2,⋯,x6)=124(x16+3x12x22+6x12x4+6x23+8x32),\begin{aligned}\mathrm{CI}_{\mathcal{G}_\mathbf{v}}(x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_8)&=\frac1{24}\left(x_1^8+8x_1^2x_3^2+9x_2^4+6x_4^2\right), \\ \mathrm{CI}_{\mathcal{G}_\mathbf{f}}(x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_6)&=\frac1{24}\left(x_1^6+3x_1^2x_2^2+6x_1^2x_4+6x_2^3+8x_3^2\right), \end{aligned} CIGv​​(x1​, x2​, ⋯, x8​)CIGf​​(x1​, x2​, ⋯, x6​)​=241​(x18​+8x12​x32​+9x24​+6x42​),=241​(x16​+3x12​x22​+6x12​x4​+6x23​+8x32​),​
于是由上述定理即可得到
CIGv⊕Gf(x1,x2,⋯,x14)=CIGv(x1,x2,⋯,x8)⋅CIGf(x1,x2,⋯,x6),\mathrm{CI}_{\mathcal{G}_\mathbf{v}\oplus\mathcal{G}_\mathbf{f}}(x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_{14})=\mathrm{CI}_{\mathcal{G}_\mathbf{v}}(x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_8)\cdot\mathrm{CI}_{\mathcal{G}_\mathbf{f}}(x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_6), CIGv​⊕Gf​​(x1​, x2​, ⋯, x14​)=CIGv​​(x1​, x2​, ⋯, x8​)⋅CIGf​​(x1​, x2​, ⋯, x6​),
最后得到方案数NNN
N=CIGv⊕Gf(2,⋯,2)=CIGv(2,⋯,2)⋅CIGf(2,⋯,2)=23×10=230\begin{aligned}N &=\mathrm{CI}_{\mathcal{G}_\mathbf{v}\oplus\mathcal{G}_\mathbf{f}}(2,\ \cdots,\ 2)\\ &=\mathrm{CI}_{\mathcal{G}_\mathbf{v}}(2,\ \cdots,\ 2)\cdot\mathrm{CI}_{\mathcal{G}_\mathbf{f}}(2,\ \cdots,\ 2)\\ &=23\times10=230 \end{aligned} N​=CIGv​⊕Gf​​(2, ⋯, 2)=CIGv​​(2, ⋯, 2)⋅CIGf​​(2, ⋯, 2)=23×10=230​

方法二(将888个顶点和666个面作为整体进行研究)

此时直接分析141414个元素作旋转置换的情况即可，共有555种置换，分别为

1. 单位置换，(1)14(1)^{14}(1)14;
2. 以相对的两个面的中心连线为轴旋转±90∘\pm 90^\circ±90∘有666个置换，(1)2(4)3(1)^2(4)^3(1)2(4)3;
3. 以相对的两个面的中心连线为轴旋转180∘180^\circ180∘有333个置换，(1)2(2)6(1)^2(2)^6(1)2(2)6;
4. 以正六面体中心对称的两个棱的中心连线为轴旋转180∘180^\circ180∘有666个置换，(2)7(2)^7(2)7;
5. 以正六面体体对角线为轴旋转±120∘\pm 120^\circ±120∘有888个置换，(1)2(3)4(1)^2(3)^4(1)2(3)4.

此时可以得到方案数NNN
N=124(214+6⋅25+3⋅28+6⋅27+8⋅26)=776.N=\frac1{24}(2^{14}+6\cdot2^5+3\cdot2^8+6\cdot2^7+8\cdot2^6)=776. N=241​(214+6⋅25+3⋅28+6⋅27+8⋅26)=776.

分析

产生两种方法所得结果不一致的原因是: 方法一利用群G⊕HG\oplus HG⊕H对染色问题进行求解，而方案二直接对群G‾\overline{G}G进行分析求解，两群并不同构，所以导致方案数出现差异。

Cartes积上的扩展

Cartes积

仍按照上面对集合XXX和YYY的定义，考虑集合XXX与YYY以及GGG与HHH的Cartes积:
X×Y={(x,y)∣x∈X,y∈Y},G×H={(σ,τ)∣σ∈G,τ∈H},X\times Y=\{(x,\,y)\,|\,x\in X,\,y\in Y\}, \\ G\times H=\{(\sigma,\,\tau)\,|\,\sigma\in G,\,\tau\in H\}, X×Y={(x,y)∣x∈X,y∈Y},G×H={(σ,τ)∣σ∈G,τ∈H},
对于(σ,τ)∈G×H(\sigma,\,\tau)\in G\times H(σ,τ)∈G×H，按如下方式将(σ,τ)(\sigma,\,\tau)(σ,τ)定义为集合X×YX\times YX×Y到自身的一个映射：
(σ,τ)((x,y))=(σ(x),τ(y)),∀(x,y)∈X×Y,(\sigma,\,\tau)\big((x,\,y)\big)=\big(\sigma(x),\,\tau(y)\big),\quad\forall\,(x,\,y)\in X\times Y, (σ,τ)((x,y))=(σ(x),τ(y)),∀(x,y)∈X×Y,
显然，这样定义的映射(σ,τ)(\sigma,\,\tau)(σ,τ)是X×YX\times YX×Y集合上的置换。

易证G×HG\times HG×H在通常的置换合成运算"∘\circ∘"下形成的集合X×YX\times YX×Y上的置换群，且G×HG\times HG×H上的置换合成满足
(σ1,τ1)∘(σ2,τ2)=(σ1σ2,τ1τ2),∀(σ1,τ1),(σ2,τ2)∈G×H(\sigma_1,\,\tau_1)\circ(\sigma_2,\,\tau_2)=(\sigma_1\sigma_2,\,\tau_1\tau_2),\ \forall\ (\sigma_1,\,\tau_1),\,(\sigma_2,\,\tau_2)\in G\times H (σ1​,τ1​)∘(σ2​,τ2​)=(σ1​σ2​,τ1​τ2​), ∀ (σ1​,τ1​),(σ2​,τ2​)∈G×H

定理

设σ∈G,τ∈H\sigma\in G,\,\tau\in Hσ∈G,τ∈H, 如果σ\sigmaσ的循环分解式中有λk(σ)\lambda_k(\sigma)λk​(σ)个长度为kkk的循环，τ\tauτ的循环分解式中有λl(τ)\lambda_l(\tau)λl​(τ)个长度为lll的循环，则(σ,τ)(\sigma,\,\tau)(σ,τ)的循环分解式中有gcd⁡(k,l)λk(σ)λl(τ)\gcd(k,\,l)\lambda_k(\sigma)\lambda_l(\tau)gcd(k,l)λk​(σ)λl​(τ)个长度为lcm(k,l)\mathrm{lcm}(k,\,l)lcm(k,l)的循环。

G×HG\times HG×H的循环指数

设GGG是ppp元集XXX上的置换群，HHH是qqq元集YYY上的置换群，则pqpqpq元集X×YX\times YX×Y上的置换群G×HG\times HG×H的循环指数为
CIG×H(x1,⋯,xpq)=1∣G∣∣H∣∑σ∈G∑τ∈H[∏k=1p∏l=1qxlcm(k,l)gcd⁡(k,l)λk(σ)λl(τ)].\mathrm{CI}_{G\times H}(x_1,\cdots,x_{pq})=\frac1{|G||H|}\sum_{\sigma\in G}\sum_{\tau\in H}\left[\prod_{k=1}^p\prod_{l=1}^qx_{\mathrm{lcm}(k,\,l)}^{\gcd(k,\,l)\lambda_k(\sigma)\lambda_l(\tau)}\right]. CIG×H​(x1​,⋯,xpq​)=∣G∣∣H∣1​σ∈G∑​τ∈H∑​[k=1∏p​l=1∏q​xlcm(k,l)gcd(k,l)λk​(σ)λl​(τ)​].

例题

设(V,E)(V,\,E)(V,E)为一个二部图，其中V=X⊕Y,∣X∣=3,∣Y∣=2V=X\oplus Y,\ |X|=3,\ |Y|=2V=X⊕Y, ∣X∣=3, ∣Y∣=2, 试求以V=X⊕YV=X\oplus YV=X⊕Y作为顶点集的二部图的数目NNN, 假定两个同构的图视为一个图。

令X={1,2,3},Y={4,5}X=\{1,2,3\},\ Y=\{4,5\}X={1,2,3}, Y={4,5}, 并记X‾=E(K3,2)=X×Y\overline{X}=E(K_{3,\,2})=X\times YX=E(K3,2​)=X×Y, 则X‾\overline{X}X为染色对象集。取G‾=G×H\overline{G}=G\times HG=G×H为置换群，其循环指数为
CIG‾(x1,⋯,x6)=1∣G∣∣H∣∑σ∈G∑τ∈H[∏k=13∏l=12xlcm(k,l)gcd⁡(k,l)λk(σ)λl(τ)]=112(x16+3x12x22+4x23+2x32+2x6)\begin{aligned} \mathrm{CI}_{\overline{G}}(x_1,\cdots,x_{6}) &=\frac1{|G||H|}\sum_{\sigma\in G}\sum_{\tau\in H}\left[\prod_{k=1}^3\prod_{l=1}^2x_{\mathrm{lcm}(k,\,l)}^{\gcd(k,\,l)\lambda_k(\sigma)\lambda_l(\tau)}\right]\\ &=\frac1{12}\big(x_1^6+3x_1^2x_2^2+4x_2^3+2x_3^2+2x_6\big) \end{aligned} CIG​(x1​,⋯,x6​)​=∣G∣∣H∣1​σ∈G∑​τ∈H∑​[k=1∏3​l=1∏2​xlcm(k,l)gcd(k,l)λk​(σ)λl​(τ)​]=121​(x16​+3x12​x22​+4x23​+2x32​+2x6​)​
所以，以V=X⊕YV=X\oplus YV=X⊕Y作为顶点集的二部图的数目为
∣C‾X‾/G‾∣=CIG‾(2,⋯,2)=112(26+3⋅24+25+23+22)=13.\begin{aligned} \left|\overline{C}^{\overline{X}}/\overline{G}\right| &=\mathrm{CI}_{\overline{G}}(2,\cdots,2)\\ &=\frac1{12}(2^6+3\cdot 2^4+2^5+2^3+2^2)=13. \end{aligned} ∣∣∣∣​CX/G∣∣∣∣​​=CIG​(2,⋯,2)=121​(26+3⋅24+25+23+22)=13.​

2-子集上的扩展

由XXX上的置换群GGG所导出的X(2)X^{(2)}X(2)上的置换群G(2)G^{(2)}G(2), 称为对群或偶群。

对群Sn(2)\mathcal{S}_n^{(2)}Sn(2)​的循环指数

CISn(2)(x1,⋯,x(n2))=∑(λ1,⋯,λn)∈Λn∏k=1n1λk!kλk∏k=1nλ(x,k)⋅∏1⩽k<l⩽nxlcm(k,l)λkλlgcd⁡(k,l)\mathrm{CI}_{\mathcal{S}_n^{(2)}}(x_1,\cdots,x_{\binom{n}2})=\\ \sum_{(\lambda_1,\cdots,\lambda_n)\in\Lambda_n}\prod_{k=1}^n\frac{1}{\lambda_k!k^{\lambda_k}}\prod_{k=1}^n\lambda(x,\,k)\,\cdot\,\prod_{1\leqslant k<l\leqslant n}x_{\mathrm{lcm}(k,\,l)}^{\lambda_k\lambda_l\gcd(k,\,l)} CISn(2)​​(x1​,⋯,x(2n​)​)=(λ1​,⋯,λn​)∈Λn​∑​k=1∏n​λk​!kλk​1​k=1∏n​λ(x,k)⋅1⩽k<l⩽n∏​xlcm(k,l)λk​λl​gcd(k,l)​

其中
λ(x,k)={xkk−12λk+k(λk2),k为奇数xk2λkxk(k2−1)λk+(λk2),k为偶数\lambda(x,\,k) =\begin{cases} x_k^{\frac{k-1}2\lambda_k+k\binom{\lambda_k}2}, &k\text{为奇数}\\ x_{\frac k2}^{\lambda_k}x_k^{\left(\frac k2-1\right)\lambda_k+\binom{\lambda_k}2}, &k\text{为偶数} \end{cases} λ(x,k)=⎩⎪⎨⎪⎧​xk2k−1​λk​+k(2λk​​)​,x2k​λk​​xk(2k​−1)λk​+(2λk​​)​,​k为奇数k为偶数​

根据上述定理，对群S3(2)\mathcal{S}_3^{(2)}S3(2)​的循环指数为
CIS3(2)(x1,x2,x3)=16(x13+3x1x2+2x3).\mathrm{CI}_{\mathcal{S}_3^{(2)}}(x_1,x_2,x_3) =\frac16(x_1^3+3x_1x_2+2x_3). CIS3(2)​​(x1​,x2​,x3​)=61​(x13​+3x1​x2​+2x3​).

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