文章目录

写在前面
- 需要用到的一些公式
- - 柯西公式
- 循环指数的定义
- 对称群的循环指数
- - 定理
  - 对称群循环指数的普通型母函数
  - 交错群(对称群的一个子群)的循环指数
- 循环群的循环指数
- - 应用
- 二面体群的循环指数
- Cayley表示的循环指数
- 正多面体（4，6，8，12，20）上有关群的循环指数
- - 正六面体顶点集置换群的循环指数
  - 推导
参考文献

写在前面

本节介绍循环指数的定义及其推导方法，为下一节母函数型的Pólya定理做铺垫。

需要用到的一些公式

柯西公式

对称群Sn\mathcal{S_n}Sn中格式为(λ1,λ2,⋯,λn)(\lambda_1,\ \lambda_2,\ \cdots,\ \lambda_n)(λ1, λ2, ⋯, λn)的置换个数（共轭类Sn\mathcal{S_n}Sn中元素个数）为

∣Sn(λ1,λ2,⋯,λn)∣=n!1λ12λ2⋯nλn⋅λ1!λ2!⋯λn!.|\mathcal{S_n}(\lambda_1,\ \lambda_2,\ \cdots,\ \lambda_n)|=\frac{n!}{1^{\lambda_1}2^{\lambda_2}\cdots n^{\lambda_n}\cdot\lambda_1!\lambda_2!\cdots\lambda_n!}.∣Sn(λ1, λ2, ⋯, λn)∣=1λ12λ2⋯nλn⋅λ1!λ2!⋯λn!n!.

证明^[1]：

把{1,2,⋯,n}\{1,2,\cdots,n\}{1,2,⋯,n}分成λ1\lambda_1λ1个1-子集，λ2\lambda_2λ2个2-子集，⋯\cdots⋯ ，λn\lambda_nλn个n-子集的分法数为

n!(1!)λ1(2!)λ2⋯(n!)λn⋅λ1!λ2!⋯λn!.\frac{n!}{(1!)^{\lambda_1}(2!)^{\lambda_2}\cdots (n!)^{\lambda_n}\cdot\lambda_1!\lambda_2!\cdots\lambda_n!}.(1!)λ1(2!)λ2⋯(n!)λn⋅λ1!λ2!⋯λn!n!.

因为同样大小的子集在他们自身内可以任意置换而不改变其组态，而每个k-子集中可形成(k−1)!(k-1)!(k−1)!个轮换，所以可得typ(σ)=(λ1,λ2,⋯,λn)\mathrm{typ}(\sigma)=(\lambda_1,\ \lambda_2,\ \cdots,\ \lambda_n)typ(σ)=(λ1, λ2, ⋯, λn)的置换个数为

∣Sn(λ1,λ2,⋯,λn)∣=n!1λ12λ2⋯nλn⋅λ1!λ2!⋯λn!∏k=1n((k−1)!)λk=n!1λ12λ2⋯nλn⋅λ1!λ2!⋯λn!.\begin{aligned} &|\mathcal{S_n}(\lambda_1,\ \lambda_2,\ \cdots,\ \lambda_n)| \\ =&\frac{n!}{1^{\lambda_1}2^{\lambda_2}\cdots n^{\lambda_n}\cdot\lambda_1!\lambda_2!\cdots\lambda_n!}\prod\limits_{k=1}^n((k-1)!)^{\lambda_k}\\ =&\frac{n!}{1^{\lambda_1}2^{\lambda_2}\cdots n^{\lambda_n}\cdot\lambda_1!\lambda_2!\cdots\lambda_n!}.\end{aligned}==∣Sn(λ1, λ2, ⋯, λn)∣1λ12λ2⋯nλn⋅λ1!λ2!⋯λn!n!k=1∏n((k−1)!)λk1λ12λ2⋯nλn⋅λ1!λ2!⋯λn!n!.

循环指数的定义

设GGG是nnn元集XXX上的置换群，对于σ∈G\sigma\in Gσ∈G，λk(σ)\lambda_k(\sigma)λk(σ)表示置换σ\sigmaσ的循环分解式中长度为kkk的循环个数，设x1,x2,⋯,xnx_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_nx1, x2, ⋯, xn是nnn个变元，令

CIG(x1,x2,⋯,xn)=1∣G∣∑σ∈Gx1λ1(σ)x2λ2(σ)⋯xnλn(σ)\mathrm{CI}_G(x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n)=\frac{1}{|G|}\sum\limits_{\sigma\in G}{x_1}^{\lambda_1(\sigma)}x_2^{\lambda_2(\sigma)}\cdots x_n^{\lambda_n(\sigma)}CIG(x1, x2, ⋯, xn)=∣G∣1σ∈G∑x1λ1(σ)x2λ2(σ)⋯xnλn(σ)

则多项式CIG(x1,x2,⋯,xn)\mathrm{CI}_G(x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n)CIG(x1, x2, ⋯, xn)称为置换群GGG的循环指数。

循环指数统计了置换群GGG中各种置换的格式。
置换群的循环指数实际上是群中置换格式计数序列的多元母函数。
其特殊形式（各变元均相等）即为Pólya计数定理。

对称群的循环指数

定理

设Λn\Lambda_nΛn是满足λ1+2λ2+⋯+nλn=n\lambda_1+2\lambda_2+\cdots+n\lambda_n=nλ1+2λ2+⋯+nλn=n的非负整数解λk\lambda_kλk构成的nnn元有序组(λ1,λ2,⋯,λn)(\lambda_1,\ \lambda_2,\ \cdots,\ \lambda_n)(λ1, λ2, ⋯, λn)的集合，则对称群Sn\mathcal{S_n}Sn的循环指数为：

CISn(x1,,x2,⋯,xn)=∑(λ1,λ2,⋯,λn)∈Λn∏k=1n1λk!(xkk)λk.\mathrm{CI}_{\mathcal{S}_n}(x_1,\ ,x_2,\ \cdots,\ x_n)=\sum\limits_{(\lambda_1,\ \lambda_2,\ \cdots,\ \lambda_n)\in\Lambda_n}\prod\limits_{k=1}^n\frac{1}{\lambda_k!} \left(\frac{x_k}{k}\right)^{\lambda_k}.CISn(x1, ,x2, ⋯, xn)=(λ1, λ2, ⋯, λn)∈Λn∑k=1∏nλk!1(kxk)λk.

针对格式划分成不同共轭类，运用分类计数原理, 以及上面推导的柯西公式求得。

对称群循环指数的普通型母函数

∑n⩾0CISn(x1,x2,⋯,xn)zn=∑n⩾0zn∑λ1+2λ2+⋯+nλn=n∏k=1n1λk!(xkk)λk=∑n⩾0∑λ1+2λ2+⋯+nλn=n1λ1!λ2!⋯λn!(zx11)λ1(z2x22)λ2⋯(znxnn)λn=∑λ11λ1!(zx11)λ1∑λ21λ2!(z2x12)λ2⋯∑λn1λn!(znxnn)λn⋯=ezx11⋅ez2x22⋯eznxnn⋯.\begin{aligned} \sum_{n\geqslant0}&\mathrm{CI}_{\mathcal{S_n}}(x_1,\,x_2,\,\cdots,\,x_n)z^n\\ &=\sum_{n\geqslant0}z^n\sum\limits_{\lambda_1+2\lambda_2+\cdots+n\lambda_n=n}\prod\limits_{k=1}^n\frac{1}{\lambda_k!} \left(\frac{x_k}{k}\right)^{\lambda_k} \\ &=\sum_{n\geqslant0}\sum\limits_{\lambda_1+2\lambda_2+\cdots+n\lambda_n=n}\frac{1}{\lambda_1!\lambda_2!\cdots\lambda_n!} \left(z\frac{x_1}{1}\right)^{\lambda_1}\left(z^2\frac{x_2}{2}\right)^{\lambda_2}\cdots\left(z^n\frac{x_n}{n}\right)^{\lambda_n} \\ &=\sum_{\lambda_1}\frac{1}{\lambda_1!}\left(z\frac{x_1}{1}\right)^{\lambda_1}\sum_{\lambda_2}\frac{1}{\lambda_2!}\left(z^2\frac{x_1}{2}\right)^{\lambda_2}\cdots\sum_{\lambda_n}\frac{1}{\lambda_n!}\left(z^n\frac{x_n}{n}\right)^{\lambda_n}\cdots \\ &=\mathrm{e}^{z\frac{x_1}{1}}\cdot\mathrm{e}^{z^2\frac{x_2}{2}}\cdots\mathrm{e}^{z^n\frac{x_n}{n}}\cdots.\\ \end{aligned} n⩾0∑CISn(x1,x2,⋯,xn)zn=n⩾0∑znλ1+2λ2+⋯+nλn=n∑k=1∏nλk!1(kxk)λk=n⩾0∑λ1+2λ2+⋯+nλn=n∑λ1!λ2!⋯λn!1(z1x1)λ1(z22x2)λ2⋯(znnxn)λn=λ1∑λ1!1(z1x1)λ1λ2∑λ2!1(z22x1)λ2⋯λn∑λn!1(znnxn)λn⋯=ez1x1⋅ez22x2⋯eznnxn⋯.

上式也说明指数函数ezx11+z2x22+⋯+znxnn⋯\mathrm{e}^{z\frac{x_1}{1}+z^2\frac{x_2}{2}+\cdots+z^n\frac{x_n}{n}\cdots}ez1x1+z22x2+⋯+znnxn⋯的展开式中znz^nzn的系数为nnn元对称群的循环指数CISn(x1,x2,⋯,xn)\mathrm{CI}_{\mathcal{S_n}}(x_1,\,x_2,\,\cdots,\,x_n)CISn(x1,x2,⋯,xn)。

交错群(对称群的一个子群)的循环指数

∣An∣=∣Sn∣/2|\mathcal{A_n}|=|\mathcal{S_n}|/2∣An∣=∣Sn∣/2，且对σ∈Sn,typ(σ)=(λ1,λ2,⋯,λn)\sigma\in\mathcal{S_n},\ \mathrm{typ}(\sigma)=(\lambda_1,\ \lambda_2,\ \cdots,\ \lambda_n)σ∈Sn, typ(σ)=(λ1, λ2, ⋯, λn)，那么σ∈An\sigma\in\mathcal{A_n}σ∈An当且仅当λ2+λ4+⋯=\lambda_2+\lambda_4+\cdots=λ2+λ4+⋯=偶数，由此得到：

CIAn(x1,x2,⋯,xn)=CISn(x1,x2,⋯,xn)+CISn(x1,−x2,x3,−x4,⋯)=∑(λ1,λ2,⋯,λn)∈Λn[1+(−1)λ2+λ4+⋯]∏k=1n1λk!(xkk)λk\begin{aligned} &\mathrm{CI}_{\mathcal{A}_n}(x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n)\\ =&\mathrm{CI}_{\mathcal{S}_n}(x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n)+\mathrm{CI}_{\mathcal{S}_n}(x_1,\ -x_2,\ x_3,\ -x_4,\ \cdots)\\ =&\sum\limits_{(\lambda_1,\ \lambda_2,\ \cdots,\ \lambda_n)\in\Lambda_n}[1+(-1)^{\lambda_2+\lambda_4+\cdots}]\prod\limits_{k=1}^n\frac{1}{\lambda_k!} \left(\frac{x_k}{k}\right)^{\lambda_k}\end{aligned}==CIAn(x1, x2, ⋯, xn)CISn(x1, x2, ⋯, xn)+CISn(x1, −x2, x3, −x4, ⋯)(λ1, λ2, ⋯, λn)∈Λn∑[1+(−1)λ2+λ4+⋯]k=1∏nλk!1(kxk)λk

循环群的循环指数

正nnn边形的旋转

设VVV和EEE分别是正nnn边形GnG_nGn的顶点集和边集，则绕GnG_nGn的中心作平面旋转所导出的VVV和EEE上的置换群均为Cn\mathcal{C_n}Cn，且Cn\mathcal{C_n}Cn的循环指数为：

CICn(x1,x2,⋯,xn)=1n∑d∣nϕ(d)xdn/d,\mathrm{CI}_{\mathcal{C_n}}(x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n)=\frac1n\sum\limits_{d|n}\phi(d)x_d^{n/d},CICn(x1, x2, ⋯, xn)=n1d∣n∑ϕ(d)xdn/d,

其中ϕ(n)\phi(n)ϕ(n)为Euler函数。

应用

∣CX/Cn∣=CICn(m,m,⋯,m)|C^X/\mathcal{C_n}|=\mathrm{CI}_{\mathcal{C_n}}(m,\ m,\ \cdots,\ m)∣CX/Cn∣=CICn(m, m, ⋯, m)也是mmm元集CCC的手镯型圆排列nnn重复圆排列数，记为⨀b[⁣[m;n]⁣]\bigodot_b[\![m;\ n]\!]⨀b[[m; n]]，则由上述定理，有：

⨀b[⁣[m;n]⁣]=1n∑d∣nϕ(d)mn/d.\bigodot_b[\![m;\ n]\!]=\frac1n\sum\limits_{d\ |\ n}\phi(d)m^{n/d}.b⨀[[m; n]]=n1d ∣ n∑ϕ(d)mn/d.

例如2色珠子串8珠手镯，⨀b[⁣[2;8]⁣]=18∑d∣8ϕ(d)m8/d=18[ϕ(1)28+ϕ(2)24+ϕ(4)22]=18(1×256+1×16+2×4)=280/8=35\bigodot_b[\![2;\ 8]\!]=\frac18\sum\limits_{d\ |\ 8}\phi(d)m^{8/d}=\frac18[\phi(1)2^8+\phi(2)2^4+\phi(4)2^2]=\frac18(1\times256+1\times16+2\times4)=280/8=35⨀b[[2; 8]]=81d ∣ 8∑ϕ(d)m8/d=81[ϕ(1)28+ϕ(2)24+ϕ(4)22]=81(1×256+1×16+2×4)=280/8=35.

二面体群的循环指数

设VVV和EEE分别是正nnn边形GnG_nGn的顶点集和边集，则绕GnG_nGn的中心作平面旋转和空间翻转所导出的VVV和EEE傻瓜的置换群均为Dn\mathcal{D_n}Dn（称为二面体群），且其循环指数为

CIDn(x1,x2,⋯,xn)=12n∑d∣nϕ(d)xdn/d+{12x1x2(n−1)/2,n为奇数14(x12x2n/2−1+x2n/2),n为偶数\begin{aligned} &\mathrm{CI}_\mathcal{D_n}(x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n)\\ &=\frac1{2n}\sum\limits_{d\ |\ n}\phi(d)x_d^{n/d}+\left\{\begin{aligned}&\frac12x_1x_2^{(n-1)/2},\quad\quad\quad\quad n为奇数\\&\frac14(x_1^2x_2^{n/2-1}+x_2^{n/2}) ,\ \ \ n为偶数\end{aligned}\right.\end{aligned}CIDn(x1, x2, ⋯, xn)=2n1d ∣ n∑ϕ(d)xdn/d+⎩⎪⎨⎪⎧21x1x2(n−1)/2,n为奇数41(x12x2n/2−1+x2n/2), n为偶数

针对轴线，需要考虑奇数顶点或偶数顶点的情况，奇数顶点只有一种翻转方法，偶数顶点有两种翻转方法（考虑对应顶点连线为轴线和对边中点连线为轴线）。

Cayley表示的循环指数

设GGG是一个nnn阶群，HHH是其Cayley表示，则HHH的循环指数为：

CIH(x1,x2,⋯,xn)=1n∑d∣nν(d)xdn/d,\mathrm{CI}_H(x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n)=\frac1n\sum\limits_{d\ |\ n}\nu(d)x_d^{n/d},CIH(x1, x2, ⋯, xn)=n1d ∣ n∑ν(d)xdn/d,

其中ν(d)\nu{(d)}ν(d)是有限群GGG中周期（阶）为ddd的元素个数。

正多面体（4，6，8，12，20）上有关群的循环指数

常见正多面体空间刚体运动产生的顶点集、边集、面集重合的置换群的循环指数。
由此可以统计顶点、面、边进行染色的染色方案数。
需要具体分析轴线旋转的几种情况（过顶点，过边的中点，过面的中心）在此以正六面体（正方形） 的顶点集为例进行简单分析。

正六面体顶点集置换群的循环指数

设Gv\mathcal{G}_\mathbf{v}Gv为由正六面体HhH_hHh的空间刚体运动所导出的顶点集VVV上的置换群，则其循环指数为
CIGv(x1,x2,⋯,x8)=124(x18+8x12x32+9x24+6x42)\mathrm{CI}_{\mathcal{G}_\mathbf{v}}(x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_8)=\frac1{24}\left(x_1^8+8x_1^2x_3^2+9x_2^4+6x_4^2\right)CIGv(x1, x2, ⋯, x8)=241(x18+8x12x32+9x24+6x42)

推导

设V={1,2,⋯,8}V=\{1,2,\cdots,8\}V={1,2,⋯,8}是正六面体HhH_hHh的顶点集，其能产生顶点集VVV上置换的刚体运动有三种类型，分别是

绕相对的两平面的中心连线(3条)逆时针旋转，此时可旋转0∘,90∘,180∘,270∘0^{\circ},\ 90^{\circ},\ 180^{\circ},\ 270^{\circ}0∘, 90∘, 180∘, 270∘，将产生VVV上的1个(1)8(1)^8(1)8型置换(恒等置换)，1个(2)4(2)^4(2)4型置换，以及2个(4)2(4)^2(4)2型置换；
绕面对角线平移至体中心位置的直线(6条)翻转，将产生VVV上的1个(2)4(2)^4(2)4型置换；
绕体对角线(4条)旋转，此时可旋转0∘,120∘,240∘0^{\circ},\ 120^{\circ},\ 240^{\circ}0∘, 120∘, 240∘，将产生VVV上的1个(1)8(1)^8(1)8型置换(恒等置换)和2个(1)2(3)2(1)^2(3)^2(1)2(3)2型置换。
综上，共有24个顶点集上的置换，其中(1)8(1)^8(1)8型置换(恒等置换)1个，(1)2(3)2(1)^2(3)^2(1)2(3)2型置换8个，2个(4)2(4)^2(4)2型置换9个，(4)2(4)^2(4)2型置换6个。由循环指数定义，得到：
CIGv(x1,x2,⋯,x8)=124(x18+8x12x32+9x24+6x42)\mathrm{CI}_{\mathcal{G}_\mathbf{v}}(x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_8)=\frac1{24}\left(x_1^8+8x_1^2x_3^2+9x_2^4+6x_4^2\right) CIGv(x1, x2, ⋯, x8)=241(x18+8x12x32+9x24+6x42)

参考文献

[1] 冯荣权,宋春伟.组合数学.北京：北京大学出版社,2015.123页

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