写在前面

介绍De Bruijn定理的母函数形式，由此《（组合数学笔记）Pólya计数理论》系列完结。

引入

与Pólya定理的母函数形式的推导类似，首先引入模式清单(Inv)(\mathrm{Inv})(Inv)的概念，并介绍两个引理。

模式清单

假设：颜色集CCC上的权函数w(⋅)w(\cdot)w(⋅)在颜色置换群HHH的每条轨道上是常数，即若Orb(c)\mathrm{Orb}(c)Orb(c)是颜色置换群HHH在颜色集CCC上的一条轨道，则对∀c1,c2∈Orb(c)\forall\,c_1,\,c_2\in\mathrm{Orb}(c)∀c1,c2∈Orb(c)，有w(c1)=w(c2)w(c_1)=w(c_2)w(c1)=w(c2).

设方案集CXC^XCX关于幂群HGH^GHG的模式清单Inv(CX/HG)\mathrm{Inv}(C^X/H^G)Inv(CX/HG)，并假定轨道集
CX/HG={Orb(φ1),Orb(φ2),⋯,Orb(φk)},C^X/H^G=\big\{\mathrm{Orb}(\varphi_1),\,\mathrm{Orb}(\varphi_2),\,\cdots,\,\mathrm{Orb}(\varphi_k)\big\}, CX/HG={Orb(φ1),Orb(φ2),⋯,Orb(φk)},
那么有
Inv(CX/HG)=∑Orb(φ)∈CX/HGw(φ)=∑j=1kw(φj).\mathrm{Inv}\big(C^X/H^G\big)=\sum_{\mathrm{Orb}(\varphi)\in C^X/H^G} w(\varphi)=\sum_{j=1}^k w(\varphi_j). Inv(CX/HG)=Orb(φ)∈CX/HG∑w(φ)=j=1∑kw(φj).

引理1

设CCC为颜色集，XXX是染色对象集，w(⋅)w(\cdot)w(⋅)是定义在CCC上的权函数，且w(⋅)w(\cdot)w(⋅)在群HHH的每条轨道上是常数。对于给定的τσ∈HG\tau^{\sigma}\in H^{G}τσ∈HG，令Fix(τσ)={φ∣φ∈CX,τσ(φ)=φ}\mathrm{Fix}(\tau^{\sigma})=\{\varphi|\varphi\in C^X,\ \tau^{\sigma}(\varphi)=\varphi\}Fix(τσ)={φ∣φ∈CX, τσ(φ)=φ}, w(Fix(τσ))w(\mathrm{Fix(\tau^\sigma)})w(Fix(τσ))表示τσ\tau^\sigmaτσ的所有不动点的权和，则有
Inv(CX/HG)=1∣HG∣∑τσ∈HGw(Fix(τσ)).\mathrm{Inv}(C^X/H^G)=\frac{1}{|H^{G}|}\sum\limits_{\tau^{\sigma}\in H^{G}}w\big(\mathrm{Fix}(\tau^{\sigma})\big). Inv(CX/HG)=∣HG∣1τσ∈HG∑w(Fix(τσ)).

引理2

对于τσ∈HG\tau^\sigma\in H^Gτσ∈HG,Fix(τσ)\mathrm{Fix}(\tau^\sigma)Fix(τσ)表示置换τσ\tau^\sigmaτσ不动点的集合，w(Fix(τσ))w(\mathrm{Fix(\tau^\sigma)})w(Fix(τσ))表示τσ\tau^\sigmaτσ的所有不动点的权和，则有
w(Fix(τσ))=∏j=1n[∑τj(n=b)=bw(bj)]λj(σ)=∏j=1nMj(τ)λj(σ),w(\mathrm{Fix}(\tau^\sigma))=\prod_{j=1}^n\bigg[\sum_{\tau^j(n=b)=b}w(b^j)\bigg]^{\lambda_j(\sigma)}=\prod_{j=1}^nM_j(\tau)^{\lambda_j(\sigma)}, w(Fix(τσ))=j=1∏n[τj(n=b)=b∑w(bj)]λj(σ)=j=1∏nMj(τ)λj(σ),
其中
Mj(τ)=∑τj(b)=bw(b)j.M_j(\tau)=\sum_{\tau^j(b)=b}w(b)^j. Mj(τ)=τj(b)=b∑w(b)j.
Mj(τ)M_j(\tau)Mj(τ)是用τ\tauτ的所有ddd循环中的颜色循环顺序地染色σ\sigmaσ的一个jjj循环中的对象由此得到的所有染色方案的权和，其中d∣jd\,|\,jd∣j.

由上述引理1，2可以得到下面的定理。

母函数型的De Bruijn定理

设(G,∗)(G,\,\ast)(G,∗)和(H,∙)(H,\,\bullet)(H,∙)分别是nnn元对象集XXX和mmm元颜色集CCC上的置换群，w(⋅)w(\cdot)w(⋅)是定义在CCC上的权函数，且w(⋅)w(\cdot)w(⋅)在群HHH的每条轨道上是常数，则
Inv(CX/HG)=1∣H∣∑τ∈HCIG(M1(τ),M2(τ),⋯,Mn(τ)),\mathrm{Inv}\left(C^X/H^G\right)=\frac1{|H|}\sum_{\tau\in H}\mathrm{CI}_G(M_1(\tau),\,M_2(\tau),\,\cdots,\,M_n(\tau)), Inv(CX/HG)=∣H∣1τ∈H∑CIG(M1(τ),M2(τ),⋯,Mn(τ)),
其中CIG(x1,x2,⋯,xn)\mathrm{CI}_G(x_1,\,x_2,\,\cdots,\,x_n)CIG(x1,x2,⋯,xn)是置换群GGG的循环指数，Mj(τ)=∑τj(b)=bw(b)jM_j(\tau)=\sum\limits_{\tau^j(b)=b}w(b)^jMj(τ)=τj(b)=b∑w(b)j.

定理的特殊情况

XXX上没有置换群

即置换群GGG只包含单位元ι\iotaι, 此时有CIG(x1,x2,⋯,xn)=x1n\mathrm{CI}_G(x_1,\,x_2,\,\cdots,\,x_n)=x_1^nCIG(x1,x2,⋯,xn)=x1n.
Inv(CX/HG)=Inv(CX/H)=1∣H∣∑τ∈H[w(Fix(τ))]n.\mathrm{Inv}\left(C^X/H^G\right) =\mathrm{Inv}\left(C^X/H \right) =\frac1{|H|}\sum_{\tau\in H} \bigg[w\big(\mathrm{Fix}(\tau)\big)\bigg]^n. Inv(CX/HG)=Inv(CX/H)=∣H∣1τ∈H∑[w(Fix(τ))]n.

YYY上没有置换群

即置换群HHH只包含单位元ι\iotaι.

Inv(CX/HG)=Inv(CX/G)=CIG(w1(C),w2(C),⋯,wn(C)),\mathrm{Inv}\left(C^X/H^G\right)=\mathrm{Inv}\left(C^X/G\right)=\mathrm{CI}_G\big(w_1(C),\,w_2(C),\,\cdots,\,w_n(C)\big), Inv(CX/HG)=Inv(CX/G)=CIG(w1(C),w2(C),⋯,wn(C)),

上式即为母函数型的Pólya定理(Pólya基本定理)。

X,YX,\,YX,Y上均没有置换群

即置换群G,HG,\,HG,H均只包含单位元ι\iotaι.

直接由De Bruijn定理，可以得到

Inv(CX/HG)=Inv(CX)=1∣H∣∑τ∈H[w(Fix(τ))]n=[∑c∈Cw(c)]n=(x1+x2+⋯+xm)n=∑ni⩾0,i=1,2,⋯,m(n1+n2+⋯+nmn1,n2,⋯,nm)x1n1x2n2⋯xmnm\begin{aligned} \mathrm{Inv}\left(C^X/H^G\right) &=\mathrm{Inv}\left(C^X\right) =\frac1{|H|}\sum_{\tau\in H} \left[w\big(\mathrm{Fix}(\tau)\big)\right]^n\\ &=\left[\sum_{c \in C}w(c)\right]^n =(x_1+x_2+\cdots+x_m)^n\\ &=\sum_{n_i\geqslant0,\,i=1,\,2,\,\cdots,\,m} \binom{n_1+n_2+\cdots+n_m}{n_1,\,n_2,\,\cdots,\,n_m}x_1^{n_1}x_2^{n_2}\cdots x_m^{n_m} \end{aligned} Inv(CX/HG)=Inv(CX)=∣H∣1τ∈H∑[w(Fix(τ))]n=[c∈C∑w(c)]n=(x1+x2+⋯+xm)n=ni⩾0,i=1,2,⋯,m∑(n1,n2,⋯,nmn1+n2+⋯+nm)x1n1x2n2⋯xmnm
此即在没有任何群的作用下nnn元集到mmm元集的所有映射方案的枚举，亦即nnn个不同的球放入mmm个不同的盒子且允许空盒的放入方案数的枚举。

例题

将3个白球和1个黑球放入2个方形盒子和1个圆形盒子且允许空盒的模式清单(假定3个白球、2个方形盒子均不可区分)。

分析

令X={b,w1,w2,w3}X=\{b,\,w_1,\,w_2,\,w_3\}X={b,w1,w2,w3}为对象集，C={r,s1,s2}C=\{r,\,s_1,\,s_2\}C={r,s1,s2}为颜色集。显然XXX与CCC上的置换群分别为G=S1⊕S3,H=S1⊕S2G=\mathcal{S_1}\oplus\mathcal{S_3},\ H=\mathcal{S_1}\oplus\mathcal{S_2}G=S1⊕S3, H=S1⊕S2.即
H={(r)(s1)(s2),(r)(s1s2)}≜{τ1,τ2}G={(b)(w1)(w2)(w3),(b)(w1w2w3),(b)(w1w3w2),(b)(w1)(w2w3),(b)(w2)(w1w3),(b)(w3)(w1w2)}\begin{aligned} H=\{&(r)(s_1)(s_2),\,(r)(s_1s_2)\}\triangleq\{\tau_1,\,\tau_2\}\\ G=\{&(b)(w_1)(w_2)(w_3),\,(b)(w_1w_2w_3),\,(b)(w_1w_3w_2),\\ &(b)(w_1)(w_2w_3),\,(b)(w_2)(w_1w_3),\,(b)(w_3)(w_1w_2)\} \end{aligned} H={G={(r)(s1)(s2),(r)(s1s2)}≜{τ1,τ2}(b)(w1)(w2)(w3),(b)(w1w2w3),(b)(w1w3w2),(b)(w1)(w2w3),(b)(w2)(w1w3),(b)(w3)(w1w2)}
所以
CIG(x1,x2,x3,x4)=16(x14+2x1x3+3x12x2),\mathrm{CI}_G(x_1,\,x_2,\,x_3,\,x_4)=\frac16(x_1^4+2x_1x_3+3x_1^2x_2), CIG(x1,x2,x3,x4)=61(x14+2x1x3+3x12x2),
定义CCC上的权函数为
w(r)=x,w(s1)=w(s2)=y,w(r)=x,\ w(s_1)=w(s_2)=y, w(r)=x, w(s1)=w(s2)=y,
显然满足权函数在HHH的每一条轨道上是常数。

由定义Mj(τ)=∑τj(b)=bw(b)jM_j(\tau)=\sum\limits_{\tau^j(b)=b}w(b)^jMj(τ)=τj(b)=b∑w(b)j, 得到
{M1(τ1)=x+2y,M2(τ1)=x2+2y2,M3(τ1)=x3+2y3,M4(τ1)=x4+2y4,{M1(τ2)=x,M2(τ2)=x2+2y2,M3(τ2)=x3,M4(τ2)=x4+2y4.\begin{cases} M_1(\tau_1)=x+2y,\\ M_2(\tau_1)=x^2+2y^2,\\ M_3(\tau_1)=x^3+2y^3,\\ M_4(\tau_1)=x^4+2y^4,\\ \end{cases}\qquad \begin{cases} M_1(\tau_2)=x,\\ M_2(\tau_2)=x^2+2y^2,\\ M_3(\tau_2)=x^3,\\ M_4(\tau_2)=x^4+2y^4. \end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧M1(τ1)=x+2y,M2(τ1)=x2+2y2,M3(τ1)=x3+2y3,M4(τ1)=x4+2y4,⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧M1(τ2)=x,M2(τ2)=x2+2y2,M3(τ2)=x3,M4(τ2)=x4+2y4.
由此得到
CIG(M1(τ1),M2(τ1),M3(τ1),M4(τ1))=16[(x+2y)4+2(x+2y)(x3+2y3)+3(x+2y)2(x2+2y2)]=x4+4x3y+7x2y2+10xy3+8y4,CIG(M1(τ2),M2(τ2),M3(τ2),M4(τ2))=16[x4+2x4+3x2(x2+2y2)]=x4+x2y2,\begin{aligned} &\mathrm{CI}_G(M_1(\tau_1),\,M_2(\tau_1),\,M_3(\tau_1),\,M_4(\tau_1))\\ =&\frac16\left[(x+2y)^4+2(x+2y)(x^3+2y^3)+3(x+2y)^2\big(x^2+2y^2\big)\right]\\ =&x^4 + 4 x^3 y + 7 x^2 y^2 + 10 x y^3 + 8 y^4, \\ \\ \\ &\mathrm{CI}_G(M_1(\tau_2),\,M_2(\tau_2),\,M_3(\tau_2),\,M_4(\tau_2))\\ =&\frac16\left[x^4+2x^4+3x^2\big(x^2+2y^2\big)\right]\\ =&x^4+x^2y^2, \end{aligned} ====CIG(M1(τ1),M2(τ1),M3(τ1),M4(τ1))61[(x+2y)4+2(x+2y)(x3+2y3)+3(x+2y)2(x2+2y2)]x4+4x3y+7x2y2+10xy3+8y4,CIG(M1(τ2),M2(τ2),M3(τ2),M4(τ2))61[x4+2x4+3x2(x2+2y2)]x4+x2y2,
于是根据母函数型的De Bruijn定理，有
Inv(CX/HG)=1∣H∣∑τ∈HCIG(M1(τ),M2(τ),M3(τ),M4(τ))=12(x4+4x3y+7x2y2+10xy3+8y4+x4+x2y2)=x4+2x3y+4x2y2+5xy3+4y4.\begin{aligned} \mathrm{Inv}\left(C^X/H^G\right) &=\frac1{|H|}\sum_{\tau\in H}\mathrm{CI}_G(M_1(\tau),\,M_2(\tau),\,M_3(\tau),\,M_4(\tau))\\ &=\frac12\left(x^4 + 4 x^3 y + 7 x^2 y^2 + 10 x y^3 + 8 y^4+x^4+x^2y^2\right)\\ &=x^4 + 2 x^3 y + 4 x^2 y^2 + 5 x y^3 + 4 y^4. \end{aligned} Inv(CX/HG)=∣H∣1τ∈H∑CIG(M1(τ),M2(τ),M3(τ),M4(τ))=21(x4+4x3y+7x2y2+10xy3+8y4+x4+x2y2)=x4+2x3y+4x2y2+5xy3+4y4.

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