UA PHYS515A 电磁理论III 静磁学问题2 标量势方法与向量势方法简介

标量势方法
向量势方法
Hard Ferromagnets

标量势方法

当空间中不存在电流密度时（J⃗=0\vec J=0J=0），可以用标量势方法求解静磁学问题，根据安培定律
∇×H⃗=4πcJ⃗=0\nabla \times \vec H = \frac{4 \pi }{c} \vec J = 0∇×H=c4πJ=0

于是我们可以引入ΦM\Phi_MΦM作为磁场的标量势，使得
H⃗=−∇ΦM\vec H = -\nabla \Phi_MH=−∇ΦM

因为标量场散度的旋度为0，所以这个构造可以使安培定律在J⃗=0\vec J=0J=0时自然成立，此时（在均匀介质中）
∇⋅B⃗∝∇2ΦM=0\nabla \cdot \vec B \propto \nabla^2 \Phi_M = 0∇⋅B∝∇2ΦM=0

这样我们就把静磁学问题化归为Laplace方程求解的问题了。

向量势方法

引入向量势A⃗\vec AA使得B⃗=∇×A⃗\vec B = \nabla \times \vec AB=∇×A，这个构造使得B⃗\vec BB的散度一定为0，因此我们只需要代入安培定律中解A⃗\vec AA:
∇×(∇×A⃗)=∇(∇⋅A⃗)−∇2A⃗=4πμcJ⃗\nabla \times (\nabla \times \vec A) = \nabla(\nabla \cdot \vec A)-\nabla^2 \vec A = \frac{4 \pi \mu}{c} \vec J∇×(∇×A)=∇(∇⋅A)−∇2A=c4πμJ

与标量势方法不同的是，向量势方法并不要求J⃗=0\vec J = 0J=0；使用Coulomb gauge，我们应用使得∇⋅A⃗=0\nabla \cdot \vec A=0∇⋅A=0的参考点，于是
∇2A⃗=−4πμcJ⃗\nabla^2 \vec A = -\frac{4 \pi \mu}{c} \vec J∇2A=−c4πμJ

这样我们就可以把静磁学问题化归为三个Poisson方程的求解了。

Hard Ferromagnets

假设J⃗=0,M⃗≠0\vec J = 0,\vec M \ne 0J=0,M=0，即H⃗,B⃗\vec H,\vec BH,B并不相等，也不一定成正比，但我们知道

B⃗=H⃗+4πM⃗\vec B = \vec H + 4 \pi \vec MB=H+4πM

所以
∇⋅B⃗=∇⋅(H⃗+4πM⃗)=0∇⋅(−∇ΦM)+4π∇⋅M⃗=0∇2ΦM=4π∇⋅M⃗\nabla \cdot \vec B = \nabla \cdot ( \vec H+4\pi \vec M) = 0 \\ \nabla \cdot (-\nabla \Phi_M)+4 \pi \nabla \cdot \vec M = 0 \\ \nabla^2 \Phi_M = 4 \pi \nabla \cdot \vec M∇⋅B=∇⋅(H+4πM)=0∇⋅(−∇ΦM)+4π∇⋅M=0∇2ΦM=4π∇⋅M

这样就得到了一个Poisson方程，我们可以把−∇⋅M⃗-\nabla \cdot \vec M−∇⋅M看作是磁场的source，记为ρM\rho_MρM，则
∇2ΦM=−4πρM\nabla^2 \Phi_M = -4 \pi \rho_M∇2ΦM=−4πρM

这就与我们处理过的静电学问题非常相似了，所以即使是一般介质中的静磁学问题，也是可以用Green函数法、正交函数法之类的方法求解的。

另外，我们还需要根据安培定律求解B⃗\vec BB，
∇×H⃗=∇×(B⃗−4πM⃗)=∇×∇×A⃗−4π∇×M⃗=0⇒∇2A⃗=−4πcJ⃗M,J⃗M=c∇×M⃗\nabla \times \vec H = \nabla \times (\vec B - 4 \pi \vec M) \\ = \nabla \times \nabla \times \vec A - 4 \pi \nabla \times \vec M = 0 \\ \Rightarrow \nabla^2 \vec A = -\frac{4 \pi}{c}\vec J_M, \vec J_M = c\nabla \times \vec M∇×H=∇×(B−4πM)=∇×∇×A−4π∇×M=0⇒∇2A=−c4πJM,JM=c∇×M

这就是向量势方法中得到的方程。

总结静磁学的常用方程（缺的那个空也有公式的，但感觉关联不是很大）

微分形式	积分形式
∇⋅B⃗=0\nabla \cdot \vec B = 0∇⋅B=0	∮SB⃗⋅dS⃗=0\oint_S \vec B \cdot d\vec S = 0∮SB⋅dS=0
∇×B⃗=4πcJ⃗\nabla \times \vec B = \frac{4 \pi}{c} \vec J∇×B=c4πJ	∮CB⃗⋅dl⃗=4πcI\oint_C \vec B \cdot d\vec l = \frac{4 \pi}{c}I∮CB⋅dl=c4πI
∇2ΦM=0\nabla^2 \Phi_M=0∇2ΦM=0
∇2A⃗=−4πcJ⃗M\nabla^2 \vec A=-\frac{4 \pi }{c}\vec J_M∇2A=−c4πJM	A⃗=1c∫VJ⃗(r⃗′)dx′dy′dz′∥r⃗−r⃗′∥\vec A = \frac{1}{c}\int_V \frac{\vec J(\vec r')dx'dy'dz'}{\\|\vec r - \vec r'\\|}A=c1∫V∥r−r′∥J(r′)dx′dy′dz′