UA PHYS515A 电磁理论V 电磁波与辐射11 简单辐射问题电偶极子的辐射

2024-04-07 20:09:13

UA PHYS515A 电磁理论V 电磁波与辐射11 简单辐射问题电偶极子的辐射

一对带等量相反电量的点电荷构成一对电偶极子，假设电量为qqq，两个点电荷的距离为aaa，dipole moment为qaqaqa；现在考虑更一般的情况，假设电荷密度为ρ(x′)\rho(\textbf x')ρ(x′)，则dipole moment为
P=∫ρ(x′)x′d3x′\textbf P = \int \rho(\textbf x')\textbf x'd^3 \textbf x'P=∫ρ(x′)x′d3x′

考虑dipole moment的辐射，作为一种不严谨的简化，假设λ>>a\lambda>>aλ>>a，则kr′<<1kr'<<1kr′<<1，
Aw≈eikrcr∫Jwd3x′\textbf A_w \approx \frac{e^{ikr}}{cr}\int \textbf J_w d^3 \textbf x'Aw≈creikr∫Jwd3x′

根据电荷守恒，
∇⋅J+∂ρ∂t=0\nabla \cdot \textbf J + \frac{\partial \rho}{\partial t}=0 ∇⋅J+∂t∂ρ=0

在time harmonic下，
∇⋅Jw=iwρw\nabla \cdot \textbf J_w=iw\rho_w∇⋅Jw=iwρw

用分部积分，
∫Jwd3x′=∫∇⋅(x′⊗Jw)d3x′−∫x′∇⋅Jwd3x′=−∫x′∇⋅Jwd3x′=−iw∫x′ρwd3x\int \textbf J_wd^3 \textbf x' = \int \nabla \cdot(\textbf x' \otimes \textbf J_w)d^3 \textbf x'-\int \textbf x' \nabla \cdot \textbf J_wd^3 \textbf x' \\ =-\int \textbf x' \nabla \cdot \textbf J_w d^3 \textbf x' = -iw\int \textbf x' \rho_wd^3 \textbf x∫Jwd3x′=∫∇⋅(x′⊗Jw)d3x′−∫x′∇⋅Jwd3x′=−∫x′∇⋅Jwd3x′=−iw∫x′ρwd3x

其中∫x′ρwd3x\int \textbf x' \rho_wd^3 \textbf x∫x′ρwd3x的物理含义是time harmonic dipole moment，记为Pw\textbf P_wPw，于是
Aw≈−eikrriwPw\textbf A_w \approx -\frac{e^{ikr}}{r}iw\textbf P_wAw≈−reikriwPw

电场为
E=−ik[r^(r^⋅Aw)−Aw]=k2eikrr[r^(r^⋅Pw)−Pw]=k2eikrrPw⊥\textbf E = -ik[\hat r (\hat r \cdot \textbf A_w)-\textbf A_w] \\ = k^2 \frac{e^{ikr}}{r}[\hat r (\hat r \cdot \textbf P_w)-\textbf P_w]= k^2 \frac{e^{ikr}}{r} \textbf P_w^{\perp}E=−ik[r^(r^⋅Aw)−Aw]=k2reikr[r^(r^⋅Pw)−Pw]=k2reikrPw⊥

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