UA PHYS515A 电磁理论V 电磁波与辐射8 单个粒子的辐射匀速运动与匀加速运动的情况

单个粒子的辐射场满足：
E=q((n^−β⃗)(1−β⃗2)(1−n^⋅β⃗)3R2+n^×[n^−β⃗]×β⃗˙c(1−n^⋅β⃗)3R)t~B=n^×E\textbf E = q \left( \frac{(\hat n-\vec \beta)(1-\vec \beta^2)}{(1-\hat n \cdot \vec \beta)^3R^2}+\frac{\hat n \times [\hat n - \vec \beta] \times \dot{\vec \beta}}{c(1-\hat n \cdot \vec \beta)^3R}\right)_{\tilde t} \\ \textbf B = \hat n \times \textbf EE=q((1−n^⋅β)3R2(n^−β)(1−β2)+c(1−n^⋅β)3Rn^×[n^−β]×β˙)t~B=n^×E

第一项被称为velocity term或者Coulomb term，它只与速度有关且形式与库仑field的形式一致，并且当β⃗→0\vec \beta \to 0β→0，也就是点电荷运动速度相比光速可以忽略时，这一项退化为库仑field；如果点电荷的运动没有加速度，那么第二项为0；如果点电荷的运动存在加速度，第二项不为0，称其为radiation field；

匀速运动
某个带电粒子在x^\hat xx^方向以β⃗c\vec\beta cβc的速度匀速运动，运动之初的时刻为t~\tilde tt~，此时观察者相对粒子的位移为R(t~)\textbf R(\tilde t)R(t~)，这个位移与wave vector的方向k^(t~)\hat k(\tilde t)k^(t~)相同，与x^\hat xx^的夹角为α\alphaα；一段时间后，当前时刻为ttt，此时观察者相对粒子的位移为R(t)\textbf R(t)R(t)，这个位移的方向也与粒子在当前位置放出的电磁波wave vector方向k^(t)\hat k(t)k^(t)一致，与x^\hat xx^的夹角为θ\thetaθ，粒子在这段时间的位移为β⃗R(t~)\vec \beta R(\tilde t)βR(t~)。

因为粒子运动不存在加速度，所以电场仅来源于库仑场
E=q(n^−β⃗)(1−β⃗2)(1−n^⋅β⃗)3R2∣t~\textbf E = q\frac{(\hat n-\vec \beta)(1-\vec \beta^2)}{(1-\hat n \cdot \vec \beta)^3R^2}|_{\tilde t}E=q(1−n^⋅β)3R2(n^−β)(1−β2)∣t~

其中
n^−β⃗=R(t~)R(t~)−β⃗R(t~)R(t~)=1R(t~)(R(t~)−β⃗R(t~))=R(t)R(t~)\hat n - \vec \beta = \frac{\textbf R(\tilde t)}{R(\tilde t)}-\vec \beta \frac{R(\tilde t)}{R(\tilde t)} = \frac{1}{R(\tilde t)}(\textbf R(\tilde t)-\vec\beta R(\tilde t))=\frac{\textbf R(t)}{R(\tilde t)}n^−β=R(t~)R(t~)−βR(t~)R(t~)=R(t~)1(R(t~)−βR(t~))=R(t~)R(t)

这一项决定了匀速直线运动的带电粒子产生的电磁场的方向，令人惊讶的是当观察者观察到它产生的电磁场时，观察者会发现电磁场的方向是由当前带电粒子的位置而不是由被观测到的电磁场激发时带电粒子的位置决定的。一种比较直观的理解方式是电场线总是从粒子指向四面八方的，粒子运动时电场线的起点也在运动。
(1−n^⋅β⃗)∣t~=1−βcos⁡αR(t~)(1−n^⋅β⃗)∣t~=R2(t)−β2R2(t~)sin⁡2α=R2(t)−β2R2(t)sin⁡2θ(1-\hat n \cdot \vec \beta)|_{\tilde t} = 1- \beta\cos \alpha \\ R(\tilde t) (1-\hat n \cdot \vec \beta)|_{\tilde t} =\sqrt{ R^2(t)-\beta^2R^2(\tilde t)\sin ^2 \alpha} \\ = \sqrt{R^2(t)-\beta^2R^2( t)\sin ^2 \theta}(1−n^⋅β)∣t~=1−βcosαR(t~)(1−n^⋅β)∣t~=R2(t)−β2R2(t~)sin2α=R2(t)−β2R2(t)sin2θ

所以
E=qR(t)R(t~)(1−β2)R2(t~)R3(t~)(R2(t)−β2R2(t)sin⁡2θ)3/2=qR(t)(1−β2)R3(t)(1−β2sin⁡2θ)3/2\textbf E = q \frac{\textbf R(t)}{R(\tilde t)} \frac{(1-\beta^2)}{R^2(\tilde t)} \frac{R^3(\tilde t)}{(R^2(t)-\beta^2R^2( t)\sin ^2 \theta)^{3/2}} \\ = \frac{q\textbf R(t)(1-\beta^2)}{R^3(t)(1-\beta^2 \sin^2 \theta)^{3/2}}E=qR(t~)R(t)R2(t~)(1−β2)(R2(t)−β2R2(t)sin2θ)3/2R3(t~)=R3(t)(1−β2sin2θ)3/2qR(t)(1−β2)

简单观察这个式子我们就能知道，当观察者观察到运动粒子的电磁场时，这个被观察到的电磁场完全由这一时刻的粒子的性质所决定，并且此时场的形式已经不再是库仑场了（静止电荷的场），但如果β→0\beta \to 0β→0，也就是粒子几乎静止，这时
E=qR(t)R3(t)\textbf E = \frac{q\textbf R(t)}{R^3(t)}E=R3(t)qR(t)

这与库仑定律一致。

匀加速运动

考虑与上例完全一致的设定，但假设β⃗˙=a/c\dot{\vec \beta}=a/cβ˙=a/c为常数，并且β<<1\beta<<1β<<1
E=q(n^×[(n^−β⃗)×β⃗˙]c(1−n^⋅β⃗)3R)t~→q(n^×(n^×β⃗˙)cR)t~=qac2sin⁡θRθ^\textbf E = q \left(\frac{\hat n \times [(\hat n - \vec \beta)\times \dot{\vec \beta}]}{c(1-\hat n \cdot \vec \beta)^3R}\right)_{\tilde t} \\\to q \left(\frac{\hat n \times (\hat n \times \dot{\vec \beta})}{cR}\right)_{\tilde t}=\frac{qa}{c^2}\frac{\sin \theta}{R}\hat \thetaE=q(c(1−n^⋅β)3Rn^×[(n^−β)×β˙])t~→q(cRn^×(n^×β˙))t~=c2qaRsinθθ^

Poyting vector的模为
∣S∣=c4π∣E∣2=q2a2sin⁡2θ4πc3R2|\textbf S|= \frac{c}{4\pi}|\textbf E|^2 = \frac{q^2a^2 \sin^2 \theta}{4 \pi c^3R^2}∣S∣=4πc∣E∣2=4πc3R2q2a2sin2θ

这和我们熟悉的dipole的∣S∣|\textbf S|∣S∣是一致的。