UA PHYS515A 电磁理论V 电磁波与辐射9 简单辐射系统

前文讨论了单个直线运动的带电粒子的辐射，但在实践中只有在实验室才能观察到这种现象，应用中遇到的情况会更加复杂，比如多个粒子做直线运动，多个粒子做圆周运动，多个粒子做运动的辐射传播路径上还有其他带电粒子影响辐射场等。这一讲我们就来讨论一下怎么处理这些更具有一般性的问题。

回顾一下在时变电磁场中讨论过的：在Lorentz gauge下
∇⋅A+1c∂Φ∂t=0\nabla \cdot \textbf A + \frac{1}{c} \frac{\partial \Phi}{\partial t} = 0∇⋅A+c1∂t∂Φ=0

potential的通解为
A=1c∫J(x′,t−∣x−x′∣c)d3x′∣x−x′∣E=∫ρ(x′,t−∣x−x′∣c)d3x′∣x−x′∣\textbf A = \frac{1}{c} \int \frac{\textbf J(\textbf x',t-\frac{|\textbf x - \textbf x'|}{c})d^3 \textbf x'}{|\textbf x - \textbf x'|} \\ \textbf E = \int \frac{\rho(\textbf x',t-\frac{|\textbf x - \textbf x'|}{c})d^3 \textbf x'}{|\textbf x - \textbf x'|}A=c1∫∣x−x′∣J(x′,t−c∣x−x′∣)d3x′E=∫∣x−x′∣ρ(x′,t−c∣x−x′∣)d3x′

通过potential可以得到电磁场
E=−1c∂∂A−∇ΦB=∇×A=n^×E∣t~\textbf E = -\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial \textbf A}-\nabla \Phi \\ \textbf B = \nabla \times \textbf A = \hat n \times \textbf E|_{\tilde t}E=−c1∂A∂−∇ΦB=∇×A=n^×E∣t~

为简化问题，我们假设所有的变量都是time harmonic，用Γ\GammaΓ表示一个物理量，即
Γ(x,t)=Γw(x)e−iwt\Gamma(\textbf x, t) = \Gamma_w(\textbf x)e^{-iwt}Γ(x,t)=Γw(x)e−iwt

www对所有涉及到的物理量都是相同的，因此所有物理量的fourier term e−iwte^{-iwt}e−iwt相同，我们可以用spatial term列方程。这样我们只需要记住四个处理简单辐射问题的最基本的方式就可以解决大部分作业题了：
∇⋅Aw−ikΦw=0,k=w/c\nabla \cdot \textbf A_{w}-ik\Phi_w=0,k=w/c∇⋅Aw−ikΦw=0,k=w/c

在time harmonic时，
A=Aw(x)e−iwtΦ=Φw(x)e−iwt\textbf A = \textbf A_w(\textbf x)e^{-iwt} \\ \Phi = \Phi_w(\textbf x)e^{-iwt}A=Aw(x)e−iwtΦ=Φw(x)e−iwt

代入∇⋅A+1c∂Φ∂t=0\nabla \cdot \textbf A + \frac{1}{c} \frac{\partial \Phi}{\partial t} = 0∇⋅A+c1∂t∂Φ=0中即可得到这个方程。

类似的，我们可以用time harmonic替换上文提到的其他几个式子：
Aw=1c∫Jw(x′)eik∣x−x′∣∣x−x′∣d3x′Ew=ik∇(∇⋅Aw)+ikAwBw=∇×Aw=n^×E\textbf A_w = \frac{1}{c}\int \textbf J_w(\textbf x') \frac{e^{ik|\textbf x - \textbf x'|}}{|\textbf x - \textbf x'|}d^3 \textbf x' \\ \textbf E_w = \frac{i}{k}\nabla(\nabla \cdot \textbf A_w)+ik\textbf A_w \\ \textbf B_w = \nabla \times \textbf A_w = \hat n \times \textbf EAw=c1∫Jw(x′)∣x−x′∣eik∣x−x′∣d3x′Ew=ki∇(∇⋅Aw)+ikAwBw=∇×Aw=n^×E

在用以上几个式子解决实际问题时，我们需要根据具体情景写出对应的Jw\textbf J_wJw，另外需要专门处理一下的是eik∣x−x′∣∣x−x′∣\frac{e^{ik|\textbf x - \textbf x'|}}{|\textbf x - \textbf x'|}∣x−x′∣eik∣x−x′∣这一项。假设观察者的位置在source以外，也就是假设∣x∣>∣x′∣|\textbf x|>|\textbf x'|∣x∣>∣x′∣，记γ\gammaγ为x\textbf xx与x′\textbf x'x′的夹角，则
k∣x−x′∣=k∣x∣1+∣x′∣2∣x∣2−2∣x′∣∣x∣cos⁡γk|\textbf x - \textbf x'| = k|\textbf x|\sqrt{1+\frac{|\textbf x'|^2}{|\textbf x|^2}-2\frac{|\textbf x'|}{|\textbf x|}\cos \gamma}k∣x−x′∣=k∣x∣1+∣x∣2∣x′∣2−2∣x∣∣x′∣cosγ

用二项式定理展开且只保留前三项：
k∣x−x′∣≈k∣x∣[1+12(∣x′∣2∣x∣2−∣x′∣∣x∣cos⁡γ)−18(∣x′∣2∣x∣2−∣x′∣∣x∣cos⁡γ)2]k|\textbf x - \textbf x'| \approx k |\textbf x|\left[1+\frac{1}{2}\left( \frac{|\textbf x'|^2}{|\textbf x|^2}-\frac{|\textbf x'|}{|\textbf x|}\cos \gamma \right)-\frac{1}{8}\left( \frac{|\textbf x'|^2}{|\textbf x|^2}-\frac{|\textbf x'|}{|\textbf x|}\cos \gamma \right)^2 \right]k∣x−x′∣≈k∣x∣[1+21(∣x∣2∣x′∣2−∣x∣∣x′∣cosγ)−81(∣x∣2∣x′∣2−∣x∣∣x′∣cosγ)2]

所以
eik∣x−x′∣≈eik∣x∣eik∣x′∣22∣x∣−ik∣x′∣cos⁡γe^{ik|\textbf x - \textbf x'|}\approx e^{ik|\textbf x|}e^{ik\frac{|\textbf x'|^2}{2|\textbf x|}-ik|\textbf x'|\cos \gamma}eik∣x−x′∣≈eik∣x∣eik2∣x∣∣x′∣2−ik∣x′∣cosγ

我们考虑一种特殊情况，∣x∣>>∣x′∣|\textbf x|>>|\textbf x'|∣x∣>>∣x′∣ (in the radiation zone)，此时
eik∣x−x′∣∣x−x′∣≈eik∣x∣∣x∣e−ik∣x′∣cos⁡γ\frac{e^{ik|\textbf x - \textbf x'|}}{|\textbf x - \textbf x'|}\approx \frac{e^{ik|\textbf x|}}{|\textbf x|}e^{-ik|\textbf x'|\cos \gamma}∣x−x′∣eik∣x−x′∣≈∣x∣eik∣x∣e−ik∣x′∣cosγ

代入到向量势的表达式中
Aw=eik∣x∣∣x∣∫Jwe−ik∣x′∣cos⁡γd3x′∇⋅Aw=(−x∣x∣eik∣x∣∣x∣2+ikeik∣x∣∣x∣x∣x∣)1c∫Jwe−ik∣x′∣cos⁡γd3x′\textbf A_w = \frac{e^{ik|\textbf x|}}{|\textbf x|}\int \textbf J_w e^{-ik|\textbf x'|\cos \gamma}d^3 \textbf x' \\ \nabla \cdot \textbf A_w = \left( - \frac{\textbf x}{|\textbf x|}\frac{e^{ik|\textbf x|}}{|\textbf x|^2}+\frac{ike^{ik|\textbf x|}}{|\textbf x|} \frac{\textbf x}{|\textbf x|}\right) \frac{1}{c} \int \textbf J_w e^{-ik|\textbf x'|\cos \gamma}d^3\textbf x'Aw=∣x∣eik∣x∣∫Jwe−ik∣x′∣cosγd3x′∇⋅Aw=(−∣x∣x∣x∣2eik∣x∣+∣x∣ikeik∣x∣∣x∣x)c1∫Jwe−ik∣x′∣cosγd3x′

按理说这里也需要对cos⁡γ\cos \gammacosγ求导，但因为∣x∣>>∣x′∣|\textbf x|>>|\textbf x'|∣x∣>>∣x′∣，所以cos⁡γ\cos \gammacosγ的变化可以忽略不计。另外，我们把1/∣x∣21/|\textbf x|^21/∣x∣2项也忽略，则
∇⋅Aw≈ikx∣x∣⋅Aw\nabla \cdot \textbf A_w \approx \frac{ik \textbf x}{|\textbf x|}\cdot \textbf A_w∇⋅Aw≈∣x∣ikx⋅Aw

基于这个近似：
∇(∇⋅Aw)≈ikx∣x∣(∇⋅Aw)=(ik)2x∣x∣(x∣x∣⋅Aw)\nabla(\nabla \cdot \textbf A_w) \approx \frac{ik \textbf x}{|\textbf x|}(\nabla \cdot \textbf A_w) = (ik)^2 \frac{ \textbf x}{|\textbf x|} \left( \frac{ \textbf x}{|\textbf x|}\cdot \textbf A_w \right) ∇(∇⋅Aw)≈∣x∣ikx(∇⋅Aw)=(ik)2∣x∣x(∣x∣x⋅Aw)

记r^=x/∣x∣,r=∣x∣\hat r = \textbf x/|\textbf x|,r=|\textbf x |r^=x/∣x∣,r=∣x∣，则
Ew=−ik[r^(r^⋅Aw)−Aw]=ikAw⊥\textbf E_w =- ik[\hat r (\hat r \cdot \textbf A_w)-\textbf A_w]=ik\textbf A^{\perp}_wEw=−ik[r^(r^⋅Aw)−Aw]=ikAw⊥

把Aw\textbf A_wAw按矢量的平行四边形法则分解，−[r^(r^⋅Aw)−Aw]- [\hat r (\hat r \cdot \textbf A_w)-\textbf A_w]−[r^(r^⋅Aw)−Aw]是他在垂直于r^\hat rr^方向的分量。

另外Poynting矢量可以表示为
S=c8πRe(Ew×Bw∗)=k28πcr2[∫Jw⊥(x′)e−ik∣x′∣cos⁡γd3x′]2r^\textbf S = \frac{c}{8 \pi}Re(\textbf E_w \times \textbf B^*_w) = \frac{k^2}{8 \pi cr^2}\left[ \int \textbf J_w^{\perp}(\textbf x')e^{-ik|\textbf x'|\cos \gamma}d^3 \textbf x' \right]^2 \hat rS=8πcRe(Ew×Bw∗)=8πcr2k2[∫Jw⊥(x′)e−ik∣x′∣cosγd3x′]2r^

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