UA PHYS515A 电磁理论III 静磁学问题1 Maxwell方程与静磁学问题

静磁学的Maxwell方程
- 毕奥-萨伐尔定律
- 安培定律

静磁学的Maxwell方程

假设电场与电位移为0，B⃗\vec{B}B与H⃗\vec{H}H与时间无关，B⃗\vec{B}B是magnetic induction，H⃗\vec{H}H是magnetic field，在各向同性介质中
H⃗=μ′B⃗,μ′=1μ\vec{H}=\mu'\vec{B},\mu' = \frac{1}{\mu}H=μ′B,μ′=μ1

在上面这些设定下，我们讨论的问题就是静磁学(magnetostatics)问题；这时我们需要的是Maxwell方程组中描述磁场的两个方程：
∇⋅B⃗=0∇×H⃗=4πJ⃗\nabla \cdot \vec{B} = 0 \\ \nabla \times \vec{H} = 4\pi \vec{J}∇⋅B=0∇×H=4πJ

毕奥-萨伐尔定律

我们从比较一般的情况出发，试图导出B⃗\vec BB的积分形式，根据Biot-Savart定律，
dB⃗=Idl⃗′×(r⃗−r⃗′)c∣r⃗−r⃗′∣3d\vec B = \frac{Id\vec l' \times (\vec r - \vec r')}{c|\vec r - \vec r'|^3}dB=c∣r−r′∣3Idl′×(r−r′)

其中r⃗\vec{r}r表示观察位置，r⃗′\vec r'r′表示电流微元位置；我们对这个公式中的部分因子做一些替换，首先
r⃗−r⃗′∣r⃗−r⃗′∣3=−∇1∣r⃗−r⃗′∣\frac{\vec r - \vec r'}{|\vec r - \vec r'|^3}=-\nabla \frac{1}{|\vec r - \vec r'|}∣r−r′∣3r−r′=−∇∣r−r′∣1

然后我们把电流微元用体积上的电流密度表示
Idl⃗′=J⃗dx′dy′dz′I d\vec l'=\vec J dx'dy'dz'Idl′=Jdx′dy′dz′

因此
dB⃗=−1cJ⃗×∇1∣r⃗−r⃗′∣dx′dy′dz′d \vec B = -\frac{1}{c} \vec J \times \nabla \frac{1}{|\vec r - \vec r'|}dx'dy'dz'dB=−c1J×∇∣r−r′∣1dx′dy′dz′

下面我们使用一个场论恒等式，a⃗\vec aa是一个矢量场，bbb是一个标量场，则
∇×(ba⃗)=∇b×a⃗+b∇×a⃗\nabla \times (b \vec a) = \nabla b \times \vec a+b \nabla \times \vec a∇×(ba)=∇b×a+b∇×a

取a⃗=J⃗,b=1∣r⃗−r⃗′∣\vec a = \vec J,b=\frac{1}{|\vec r - \vec r'|}a=J,b=∣r−r′∣1，因为J⃗=J⃗(r⃗′)\vec J = \vec J(\vec r')J=J(r′)，于是∇J⃗=0\nabla \vec J = 0∇J=0，
∇×J⃗∣r⃗−r⃗′∣=∇(1∣r⃗−r⃗′∣)×J⃗\nabla \times \frac{\vec J}{|\vec r - \vec r'|}=\nabla \left( \frac{1}{|\vec r - \vec r'|} \right)\times \vec J∇×∣r−r′∣J=∇(∣r−r′∣1)×J

综上
dB⃗=1c∇×J⃗∣r⃗−r⃗′∣dx′dy′dz′B⃗=1c∇×∫VJ⃗(r⃗′)∣r⃗−r⃗′∣dx′dy′dz′d\vec B = \frac{1}{c} \nabla \times \frac{\vec J}{|\vec r - \vec r'|}dx'dy'dz' \\ \vec B = \frac{1}{c} \nabla \times \int_V \frac{\vec J(\vec r')}{|\vec r - \vec r'|}dx'dy'dz'dB=c1∇×∣r−r′∣Jdx′dy′dz′B=c1∇×∫V∣r−r′∣J(r′)dx′dy′dz′

这说明B⃗\vec BB是某个矢量场的旋度，根据守恒律，B⃗\vec BB的散度为0，于是∇⋅B⃗=0\nabla \cdot \vec B=0∇⋅B=0成立；另外这个式子还可以直接得到磁场的向量势的形式：
A⃗=1c∫VJ⃗∣r⃗−r⃗′∣dx′dy′dz′\vec A = \frac{1}{c} \int_V \frac{\vec J}{|\vec r - \vec r'|}dx'dy'dz'A=c1∫V∣r−r′∣Jdx′dy′dz′

如果没有边界条件，那么上面这两个式子就是静磁学问题的解。

安培定律

各向同性介质中，安培定律说的是
∇×B⃗=∇×μH⃗=4πμcJ⃗\nabla \times \vec B = \nabla \times \mu \vec H = \frac{4 \pi \mu}{c} \vec J∇×B=∇×μH=c4πμJ

在用Green函数法求解静磁学问题时，我们也会经常用
H⃗=B⃗−4πM⃗\vec H = \vec B - 4\pi \vec MH=B−4πM

其中M⃗\vec MM是magnetic dipole的average moment。