Probability and Stochastic Models(1) —— 研一新课学习笔记
Probability and Stochastic Models(1)
这门课教授目前给的ppt只有四个章节，分别是
- Introduction to Probability Theory and Random Variables
- Conditional Exceptation and Conditional Exceptation
- Limit Theorems of Randoms virables
- Markov Chains
其实里面一半在概率论里面就学过，只不过现在又换成英文再学了一遍。Markov Chains之前在建模竞赛的时候接触过一点，现在是时候再踏踏实实学一遍了。
本人英语欠点火候，还拿不了英语直接写文章，就对着教授的ppt和以前的中文课本边看边写吧。
参考书目：Introduction to Probability Models, 11th edition, Sheldon, M.Ross, Academic press.
Chapter 1: Introduction to Probability Theory and Random Variables
这里是从Sample Space（样本空间）和Events（事件）的定义开始讲起，熟悉概率论的话肯定是轻车熟路了。
Sample Space的定义就是The set of all possible outcomes of an experiment（一项实验所有可能结果的集合）
而Events这里给出了大量的定义，虽然学过但是为了熟悉一遍它们还是再打一遍看比较好。（学数学 学英语）
Definition 1 (event 事件): Any subset EEE of the sample space SSS is known as an event.
教授讲了一件很有趣的事，其实我们常常用事件之间的相互组合去定义新的事件。教授称之为事件运算（the operations of events）。而这种事件运算
Definition 2 (union 并): For any two events EEE and FFF of a sample
space Ω\OmegaΩ we define the new event E∪FE \cup FE∪F, called union, to consist of all outcomes that are either in EEE or FFF occurs.
Definition 3 (intersection 交): For any two events EEE and FFF, we can also define E∩FE \cap FE∩F referred to as the intersection of EEE and FFF, E∩FE \cap FE∩F consists of all outcomes which are both in EEE and in FFF.
并是cup，交是cap，两个发音很像，说快了全凭逻辑自己想hhhh
Definition 4 (null event 空): If E={HH}E = \left \{ HH \right \}E={HH} and F={TT}F = \left \{ TT \right \}F={TT}, then the event E∩FE \cap FE∩F would not consist of any outcome and hence can not occur. To give such an event a name, we shall refer to it as the null event and denote it by ϕ\phiϕ. If E∩F=ϕE \cap F = \phiE∩F=ϕ, then we say EEE and FFF are mutually exclusive or disjoint.
教授非常强调了一件在定义上常常犯的问题，那就是不相交（disjoint）和独立（independent）完全不是一个东西，不要混淆。
Definition 5 (complement 补): For any event EEE we define the new event EcE^cEc, referred to as the complement of EEE, to consist of all outcomes in sample space SSS that are not in EEE.
这是几个基础的并交补的定义。接下来是我们整个课程学习的讨论的对象：
Definition 6 (probability 概率): Consider an experiment whose sample space is Ω\OmegaΩ. For each event EEE of the sample space Ω\OmegaΩ, we can consider a mapping P(E)P (E)P(E) which is defined on a set of events and satisfies the following three conditions:
- 0≤P(E)≤10 \le P(E) \le 10≤P(E)≤1
- P(Ω)=1P(\Omega) = 1P(Ω)=1
- For any sequence of events E1,E2,...E_1,E_2,. . .E1,E2,... that are mutually exclusive, that is, events for which Em∩En=ϕE_m \cap E_n = \phiEm∩En=ϕ when n≠mn \ne mn=m, then
P(⋃n=1∞En)=∑n=1∞P(En)P \left( \bigcup_{n=1}^{\infty}E_{n}\right) = \sum_{n=1}^{\infty}P \left( E_{n}\right) P(n=1⋃∞En)=n=1∑∞P(En)
We refer to the value P(E)P (E)P(E) as the probability of the event EEE.
这个定义，很“数学”，或者说很“集合论”。在教授眼中其实是一个很通俗的定义，那就是为每一个事件发生的可能性给出一个度量，只不过这个度量是一个[0,1]之间的映射而已。
我们有了事件，我们有了运算方法，我们有了度量概率的定义，于是我们可以用事件去定义更多的事件，用多个事件的概率去定义更多复杂事件的概率。就像是定义里的第三条，一个新事件的概率可以是几个不相交的事件的概率之和。这便是一切的开始。
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