UA PHYS515A 电磁理论V 电磁波与辐射10 简单辐射问题一根通电电线的辐射

2024-04-08 00:45:42

UA PHYS515A 电磁理论V 电磁波与辐射10 简单辐射问题一根通电电线的辐射

假设zzz轴上放了一根电线，观察者位移的单位向量为r^\hat rr^，用I\textbf II表示电线中的电流，θ\thetaθ表示从z^\hat zz^到r^\hat rr^的夹角，则观察者观测到的电场为
Ew=ikAw⊥Aw⊥=eikrr∫Jw⊥e−ik∣x′∣cos⁡γd3x′\textbf E_w =ik\textbf A^{\perp}_w \\ \textbf A_w^{\perp} = \frac{e^{ikr}}{r}\int \textbf J_w^{\perp} e^{-ik|\textbf x'|\cos \gamma}d^3 \textbf x'Ew=ikAw⊥Aw⊥=reikr∫Jw⊥e−ik∣x′∣cosγd3x′

在这个问题中，
Jw⊥d3x′=Iw⊥(z′)dz′\textbf J_w^{\perp}d^3 \textbf x' = \textbf I_w^{\perp}(z')dz' Jw⊥d3x′=Iw⊥(z′)dz′

其中Iw⊥\textbf I_w^{\perp}Iw⊥的方向为−θ^-\hat \theta−θ^，大小为∣Iw∣sin⁡θ|\textbf I_w| \sin \theta∣Iw∣sinθ，所以
Iw⊥(z′)dz′=−θ^∣Iw∣sin⁡θdr′\textbf I_w^{\perp}(z')dz' = -\hat \theta |\textbf I_w| \sin \theta dr'Iw⊥(z′)dz′=−θ^∣Iw∣sinθdr′

于是电场为
Ew=−ikeikrcrsin⁡θ∫Iw(z′)e−ikz′cos⁡θdz′θ^\textbf E_w = -ik\frac{e^{ikr}}{cr}\sin \theta \int I_w(z')e^{-ikz'\cos \theta}dz' \hat \thetaEw=−ikcreikrsinθ∫Iw(z′)e−ikz′cosθdz′θ^

另外
B=r^×Ew=−∣Ew∣(r^×θ^)\textbf B = \hat r \times \textbf E_w = -|\textbf E_w|(\hat r \times \hat \theta)B=r^×Ew=−∣Ew∣(r^×θ^)

现在我们再引入一些关于电流的假设，比如
Iw(z′)=I0,−L≤z′≤LI_w(z')=I_0,-L \le z' \le LIw(z′)=I0,−L≤z′≤L

则
Ew=−ikI0eikrsin⁡θcr2kcos⁡θsin⁡(kLcos⁡θ)θ^\textbf E_w = -\frac{ikI_0e^{ikr}\sin \theta}{cr} \frac{2}{k \cos \theta} \sin (kL \cos \theta)\hat \thetaEw=−crikI0eikrsinθkcosθ2sin(kLcosθ)θ^

Poynting矢量的长度为
∣S∣=k28πcr2sin⁡2θI024k2cos⁡2θsin⁡2(kLcos⁡θ)|\textbf S|=\frac{k^2}{8 \pi c r^2} \sin^2 \theta I_0^2 \frac{4}{k^2 \cos ^2 \theta}\sin^2(kL \cos \theta)∣S∣=8πcr2k2sin2θI02k2cos2θ4sin2(kLcosθ)

辐射的波长为λ=2π/k,k=w/c\lambda = 2 \pi/ k,k = w/cλ=2π/k,k=w/c，如果L=mλL = m\lambdaL=mλ，则
∣S∣∝sin⁡2(2πmcos⁡θ)|\textbf S| \propto \sin^2(2 \pi m \cos \theta)∣S∣∝sin2(2πmcosθ)

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