求两条轨迹间的hausdorff距离_自动控制原理

根轨迹法 | 根轨迹方程 | 绘制根轨迹 | 动态性能分析 | 主导极点

根轨迹法

分析和设计线性定常控制系统的一种图解方法（即用非解析的手段来解决高阶问题）

根轨迹：简称根迹，是开环系统某一参数从零变到无穷时，闭环系统特征方程的根在

平面上变化的轨迹；

根轨迹方程

由于开环零、极点是已知的，建立开环零、极点与闭环零、极点之间的关系，有助于闭环系统根轨迹的绘制，并由此导出根轨迹方程

为开环极点

为开环零点

为开环系统根轨迹增益

根轨迹方程实际上是一个向量方程，可用以下两个方程描述，其中相方程是决定根轨迹的充分必要条件

绘制根轨迹的基本法则

1）根轨迹的分支数

阶系统有

条根轨迹

2）对称性

根轨迹对称于实轴

3）根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点或无穷远（

条终止于开环零点，

条终止于无穷远）

4）开环极点与开环零点实轴根的右侧，开环极点数目与开环零点数目之和必为奇数个

5）渐近线

如果

，则有

条趋近于无穷远的根轨迹，则渐近线与实轴的正方向的夹角为

，渐近线与实轴交点的坐标

6）分离点（会合点）与分离角（会合角）

两条或数条根轨迹在

平面上相遇后又分开的点，称为根轨迹的分离点（或会合点），其中坐标

的方程式为

分离角是指根轨迹离开重极点处的切线与实轴正方向的夹角；会合角是指根轨迹进入重极点处的切线与实轴正方向的夹角。若实轴上有双重极点，则其分离角或会合角为

7）根轨迹与虚轴交点

根轨迹与虚轴相交，说明系统处于临界稳定状态。解以下方程组可的

值和与其对应的临界开环增益

值

8）根之和

当

时，有

9）起始角与终止角

起始角：起始于开环极点的根轨迹在起点处的切线与水平线的正方向夹角

终止角：终止于开环零点的根轨迹在终点处的切线与水平线的正方向夹角

10）

和

利用根轨迹分析系统的动态性能

a）要求系统稳定，必须使所有闭环极点

均位于

平面左半部

b）要求系统快速性，必须使闭环极点远离虚轴

c）要求系统平稳性，复数极点最好设置在

平面中与负实轴呈

度夹角附近

d）要求动态过程尽快消失，必须使闭环极点之间的距离加大，即零点靠近极点

主导极点（离虚轴最近的闭环极点（复数或实数））

离虚轴最近且它附近没有闭环零点，对系统动态过程性能的影响最大，起着主要的、决定性作用的闭环极点。工程上把其它极点的实部绝对值比主导极点绝对值大5倍甚至大2-3倍的闭环极点忽略。

偶极子（指一对靠得很近的零点，极点）

工程上把一对零，极点间的距离比其自身的模值小一个数量级，就可认为这对零极点为偶极子。在系统中，适当设计闭环零点构成偶极子，以消弱对性能不利的极点的影响。

2019.12.30 BUAA Afternoon Lib