求两条轨迹间的hausdorff距离_高中数学：求轨迹方程的几种常用方法

2024-05-11 02:53:35

由已知条件求动点轨迹方程是解析几何的基本问题之一，也是解析几何的重点。轨迹方程的常用方法可归纳为以下四种。

一、普通法

例1. 求与两定点距离的比为1：2的点的轨迹方程。

分析：设动点为P，由题意，则依照点P在运动中所遵循的条件，可列出等量关系式。

解：设是所求轨迹上一点，依题意得

由两点间距离公式得：

化简得：

二、定义法

例2. 点M到点F(4，0)的距离比它到直线的距离小1，求点M的轨迹方程。

分析：点M到点F(4，0)的距离比它到直线的距离小1，意味着点M到点F(4，0)的距离与它到直线的距离相等。由抛物线标准方程可写出点M的轨迹方程。

解：依题意，点M到点F(4，0)的距离与它到直线的距离相等。则点M的轨迹是以F(4，0)为焦点、为准线的抛物线。故所求轨迹方程为。

三、坐标代换法

例3. 抛物线的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)与抛物线交于A、B两点，动点C在抛物线上，求△ABC重心P的轨迹方程。

分析：抛物线的焦点为。设△ABC重心P的坐标为，点C的坐标为。

解：因点是重心，则由分点坐标公式得：

即

由点在抛物线上，得：

将代入并化简，得：

四、参数法

例4. 当参数m随意变化时，求抛物线的顶点的轨迹方程。

分析：把所求轨迹上的动点坐标x，y分别用已有的参数m来表示，然后消去参数m，便可得到动点的轨迹方程。

解：抛物线方程可化为

它的顶点坐标为

消去参数m得：

故所求动点的轨迹方程为。

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