第二讲 线段型路径轨迹

上一讲：

• 【中考专题】瓜豆原理|第一讲 什么是瓜豆原理？

例1：

如图，等边ΔABC的边长为4，点D是边AC上的一个动点，连接BD，以BD为斜边向上作RtΔBDE，其中∠DBE=30°，连接AE，随着点D从点C运动到点A的过程中，AE的最小值为_____.[题目来源于网络]

分析：

动点类问题主要要分析清楚点的运动轨迹，根据题目分析，我们可以发现E点(从动点)是跟着D点(主动点)的运动而运动的，并且保持∠DBE=30°约束条件不变，B点不动。这符合瓜豆原理(传送阵：瓜豆原理第一讲)。

按瓜豆原理，可以理解为ΔBDE的一个顶点D在线段AC上面运动时，求另一个顶点E的运动轨迹，由瓜豆原理可以知道E点的运动轨迹和D点的运动轨迹相似，点D的运动轨迹是一条线段，点E的运动轨迹也是一条线段。如下动图演示：

如何确定其轨迹呢？找到特殊点——起点、终点，连接则可。如下图，当点D运动与点C重合时，E是AC的中点，当点D与点重合时BD与AB重合。连接两个特殊点的线段就是E点的运动轨迹。

知道E点的轨迹，求AE的最小值就容易了，很明显，当AE⊥FG时，AE可以取得最小值。

当AE⊥FG时，点E在AB上，∠A=60°，因为ΔABC的边长为4，所以AD=2，AE=1。

探求本质：

如上图，△BED∽△BFA，旋转相似模型(点这里可查看：【中考专题】手拉手模型(二)—旋缩变换，相似成双)。根据旋转相似的条件，瓜豆原理使用的条件：两动点，一主动，一从动，一定点，约束条件(定角，定比)，定点是必须的，“无定点，不瓜豆”。瓜豆原理在确定两动点运动轨迹时很方便。在确定模型时，判断模型是否符合瓜豆原理的使用条件是前提。

例2：

如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝4，CD⊥AB于D，P是CD上一个动点，以P为直角顶点向下作等腰直角△PBE，连接DE，求DE的最小值．[题目来源于网络]

分析：

动点的问题，只要找到了轨迹就容易了。然后把求最值的问题转化为点到点，点到线的问题。前面介绍了瓜豆原理(传送阵：瓜豆原理初探)，瓜豆原理，解决了两个动点，一个主动点(在某个轨迹上面运动的点)，一个从动点(根据某种约束条件，跟着主动点动)，当主动点运动时，从动点的轨迹问题。上文主要从线段一个端点固定，一个端点运动，然后线段上的点的从动情况，还有三角形的一个顶点固定，一个顶点运动，另一个顶点从动的情况(这个时候三角形只能满足少数的约束条件，并不一定保持形状不变)，本题里面在△PEB中，点P运动时，当B点不动，E点的轨迹就可以用瓜豆原理来确定。当P在线段CD上面运动时，E点的轨迹是一条线段。知道E点的轨迹是一条线段，那是怎么样的一条线段，和其它固定的线段是什么关系呢？

如上图，红色的线段就是E点的运动轨迹。当点P与点C重合时，△PEB是等腰直角三角形，所以E与A点重合，当点P运动到D点时，很明显C、P、E三点共线，且PE=PB，确定两个端点的位置，两点确定一条直线，连接一下，就可以得到轨迹AF。

然后问题就转化为D到线段AF最短距离的的问题，很明显，当DE⊥AF时距离最小。当距离最小时，△AED是等腰直角三角形，所以最小DE=2，如下图：

探求本质：

如下图，连接BF，很明显△BDC∽△BFA,这不正是旋转相似模型吗？

有没有感觉到四边形AFBC是正方形，很多熟悉的条件是不是一下子就出来了？透过现象看本质，挖掘题目背后的本质，分析清楚里面的关系，才能以不变应万变。