POJ2720_Last Digits_欧拉降幂公式打表

题意

定义函数 f(x) = b^f(x-1) if x > 0, and f(0)=1。(a^b表示a的b次幂）
给定 b, i, n，求f(i) 的末n位

思路

首先末 n 位的意思就是 mod 10^n 嘛。所以这个函数就变成了一个同余意义下的递归幂运算了。当然是选择欧拉降幂公式啦。
但是应用欧拉降幂公式是由条件的：指数 e > phi(mod) 。直接套用公式的话，费了好大劲也没能想到怎么能判断这个条件，什么时候用降幂公式，什么时候不用。
打表法
把1e7以下的函数值暴力求出来，并打一个表fbx[b][x]。如果用到这些值，直接返回并取模就可以了。而剩下的没有求出来的，判断一下fbx[b][x-1]是不是大于 phi(mod) ，就可以判断是不是可以用降幂公式了。

另外，对于因为题目说是多组数据，所以每次算出答案后保存一下（mod 1e7）。

链接

http://poj.org/problem?id=2720

代码

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<iomanip>
#include<cstring>using namespace std;typedef long long LL;const int maxn = 1e7 + 10;
const int base[8] = {1, 10, 100, 1000, 10000, 100000, 1000000, 10000000};int b, x, n;
int fbx[110][110];//保存小于1e7的fb(x)
int tab[110][110];//保存mod1e7的答案//快速幂
LL quick_pow(int a, int b, int c)
{LL res = 1, t = a;while(b > 0){if(b & 1) res = (res * t) % c;t = (t * t) % c;b >>= 1;}return res;
}//计算phi(C)
LL get_phi(LL C)
{LL res = C;for(int i= 2; i * i <= C; i++){if(C % i == 0){res = res / i * (i - 1);while(C % i == 0) C /= i;}}if(C > 1) res = res / C * (C - 1);return res;
}int solve(int a, int mod){if(fbx[b][a] != -1) return fbx[b][a];//已有结果直接返回int phi = get_phi(mod);if(fbx[b][a-1] != -1 && fbx[b][a-1] <= phi)//指数较小或不满足欧拉降幂公式的条件return quick_pow(b, fbx[b][a-1], mod);//直接快速幂计算return quick_pow(b, solve(a-1, phi) + phi, mod);//运用欧拉降幂公式
}//计算小于1e7的fb(x)
int limit_pow(int a, int b){int res = 1;for(int i = 0; i < b; ++i){res *= a;if(res >= base[7]) return -1;}return res;
}//初始化 fbx 和 tab数组
void init(){memset(tab, -1, sizeof tab);memset(fbx, -1, sizeof fbx);for(int i = 1; i <= 100; ++i){for(int j = 0; j <= 100; ++j){tab[i][j] = fbx[i][j] = limit_pow(i, fbx[i][j-1]);if(tab[i][j] == -1) break;}}
}int main(){init();while(scanf("%d", &b) == 1 && b){if(b == 0) break;scanf("%d %d", &x, &n);int res;if(tab[b][x] == -1){tab[b][x] = solve(x, base[7]);//统一mod1e7计算并保存答案res = tab[b][x] % base[n];//之后再mod要求的模数}else{res = tab[b][x] % base[n];}cout << setfill('0') << setw(n) << res << endl;}return 0;
}

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