数学--数论--欧拉降幂和广义欧拉降幂（实用好理解）

2024-04-26 08:00:15

一般大佬会给你证明，而菜鸟会教你怎么使用。

先摆上公式：

ab≡{abmodϕ(p)gcd(a,p)=1abgcd(a,p)≠1,b<ϕ(p)abmodϕ(p)+ϕ(p)gcd(a,p)≠1,b≥ϕ(p)(modp)a^{b} \equiv \begin{cases} a^{bmod\phi (p)} & \text gcd(a,p)=1 \\ a^b & \text gcd(a,p)\neq 1,b<\phi (p)\\ a^{bmod\phi (p)+\phi (p)} & \text gcd(a,p)\neq 1,b\geq \phi (p) \end{cases} \ \ \ \ (modp)ab≡⎩⎪⎨⎪⎧abmodϕ(p)ababmodϕ(p)+ϕ(p)gcd(a,p)=1gcd(a,p)=1,b<ϕ(p)gcd(a,p)=1,b≥ϕ(p) (modp)

欧拉降幂：

ab≡abmodϕ(p)gcd(a,p)=1a^{b} \equiv a^{bmod\phi (p)} \ \ gcd(a,p)=1ab≡abmodϕ(p) gcd(a,p)=1
适用范围：
当底与取模的数互质，且b较大的时侯，我这句话用不到，直接扩展欧拉降幂就好了，时间复杂度差不了多少。

扩展欧拉定理：

ab≡{abgcd(a,p)≠1,b<ϕ(p)abmodϕ(p)+ϕ(p)gcd(a,p)≠1,b≥ϕ(p)(modp)a^{b} \equiv \begin{cases} a^b & \text gcd(a,p)\neq 1,b<\phi (p)\\ a^{bmod\phi (p)+\phi (p)} & \text gcd(a,p)\neq 1,b\geq \phi (p) \end{cases} \ \ \ \ \ (modp)ab≡{ababmodϕ(p)+ϕ(p)gcd(a,p)=1,b<ϕ(p)gcd(a,p)=1,b≥ϕ(p) (modp)

总结：

用的时候我们只考虑扩展的就可以了，因为bmodϕ(p)≡bmodϕ(p)+ϕ(p)bmod\phi (p)≡bmod\phi (p)+\phi (p)bmodϕ(p)≡bmodϕ(p)+ϕ(p)

代码：

这个代码的优点是，如果b太大，不能读入的话也是可以处理的。
如果代码需要多次计算的话，可以使用线性筛法，获得欧拉函数的值。

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
ll a,m,b;inline ll read(ll m){register ll x=0,f=0;char ch=getchar();while(!isdigit(ch)) ch=getchar();while(isdigit(ch)){x=x*10+ch-'0';if(x>=m) f=1;x%=m;ch=getchar();}return x+(f==1?m:0);
}ll phi(ll n){ll ans=n,m=sqrt(n);for(ll i=2;i<=m;i++){if(n%i==0){ans=ans/i*(i-1);while(n%i==0) n/=i; }}if(n>1) ans=ans/n*(n-1);return ans;
}ll fast_pow(ll a,ll b,ll p){ll ret=1;for(;b;b>>=1,a=a*a%p)if(b&1) ret=ret*a%p;return ret;
}int main()
{scanf("%lld%lld",&a,&m);b=read(phi(m));printf("%lld\n",fast_pow(a,b,m));return 0;
}

题目：
洛谷模板题

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