立体几何相关公式推导理解（球体、台体体积）

2024-04-16 02:34:15

球的体积

V球=43πR3.V_{球}=\frac{4}{3}\pi R^{3} . V球=34πR3.
根据圆柱、圆锥体积进行推导理解：
V圆柱=S底面积⋅h=πR2⋅hV圆锥=13⋅S底面积⋅h=13⋅πR2⋅hV_{圆柱}=S_{底面积}\cdot h =\pi R^{2}\cdot h\\ V_{圆锥}=\frac{1}{3}\cdot S_{底面积}\cdot h=\frac{1}{3}\cdot \pi R^{2}\cdot h V圆柱=S底面积⋅h=πR2⋅hV圆锥=31⋅S底面积⋅h=31⋅πR2⋅h
在同底同高情况下，半求体积直观可见介于圆柱、圆锥之间，很容易记忆其系数介于1、1/3之间，为2/3，如下图所示：

半球的高h即为半径R，因此：
V半球=23⋅S底面积⋅h=23⋅πR2⋅RV球=43πR3V_{半球}=\frac{2}{3}\cdot S_{底面积}\cdot h=\frac{2}{3}\cdot \pi R^{2}\cdot R \\ V_{球}=\frac{4}{3}\pi R^{3} V半球=32⋅S底面积⋅h=32⋅πR2⋅RV球=34πR3

台体体积

棱台和圆台分别是棱锥、圆锥用平行于底面的平面截去一个椎体得到的.因此台体的体积可以用两个椎体体积的差来计算.（公式根据例图做推导）

棱台体积=大棱锥体积-小棱锥体积：
V台体=13S(h+x)−13S′x=13Sh+13x(S−S′).[1式]V_{台体}=\frac{1}{3}S(h+x)-\frac{1}{3}S^{'}x=\frac{1}{3}Sh+\frac{1}{3}x(S-S^{'}).\quad [1式] V台体=31S(h+x)−31S′x=31Sh+31x(S−S′).[1式]
由于大棱锥与小棱锥相似，高之比=底面积之比的平方：
h+xx=SS′hx=S−S′S′hx=S−S′S′(S+S′)x(S−S′)=h(S′S+S′).[2式]\frac{h+x}{x}=\frac{\sqrt{S} }{\sqrt{S^{'} } }\\ \frac{h}{x}=\frac{\sqrt{S}-\sqrt{S^{'} } }{\sqrt{S^{'} } } \\ \frac{h}{x}=\frac{S-S^{'} }{\sqrt{S^{'}}(\sqrt{S}+\sqrt{S^{'}}) } \\ x({S-S^{'} })=h({\sqrt{S^{'}}\sqrt{S}+S^{'} }).\quad[2式] xh+x=S′Sxh=S′S−S′xh=S′(S+S′)S−S′x(S−S′)=h(S′S+S′).[2式]
将2式代入1式得3式：
V台体=13h(S+SS′+S′).[3式]V_{台体} =\frac{1}{3} h(S+\sqrt[]{SS^{'} }+S^{'} ).\quad[3式] V台体=31h(S+SS′+S′).[3式]

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