AI笔记: 数学基础之矩阵运算与行列式

方阵行列式

1 ) 简单的方阵行列式

行列式是数学的一个函数，可以看做是几何空间中，一个线性变换对"面积"或"体积"的影响
方阵行列式，n阶方阵A的行列式表示为∣A∣|A|∣A∣ 或者 det(A)
- 1×1的方阵，其行列式等于该元素本身. A=(a11)∣A∣=a11A = (a_{11}) \ \ \ |A|= a_{11}A=(a11) ∣A∣=a11
- 2×2的方阵, 其行列式用主对角线元素乘积减去次对角线元素的乘积
可见，行列式是一个数值，可正，可负

A=(a11a12a21a22)A = \left ( \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} \right ) A=(a11a21a12a22)

∣A∣=a11∗a22−a12∗a21|A| = a_{11} * a_{22} - a_{12} * a_{21} ∣A∣=a11∗a22−a12∗a21

2 ) n阶方阵行列式

n阶方阵A的行列式计算规则为：主对角线元素乘积和减去次对角线元素乘积和。
设rir_iri为第i个主对角线的积，IiI_iIi为第i个次对角线的积。0≤i≤n0 \leq i \leq n0≤i≤n
- A={a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋯⋯⋯⋯am1am2⋯amn}A = \left \{\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\end{array} \right \}A=⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧a11a21⋯am1a12a22⋯am2⋯⋯⋯⋯a1na2n⋯amn⎭⎪⎪⎬⎪⎪⎫
- ri=Πk=1iak(n+k−i)∗Πk=i+1nak(k−i)r_i = \Pi_{k=1}^i a_{k(n+k-i)} * \Pi_{k=i+1}^n a_{k(k-i)}ri=Πk=1iak(n+k−i)∗Πk=i+1nak(k−i)
- li=Πk=1iak(i−k+1)∗Πk=i+1nak(n−k+i+1)l_i = \Pi_{k=1}^i a_{k(i-k+1)} * \Pi_{k=i+1}^n a_{k(n-k+i+1)}li=Πk=1iak(i−k+1)∗Πk=i+1nak(n−k+i+1)
- ∣A∣=∑i=1nri−∑i=1nli|A| = \sum_{i=1}^n r_i - \sum_{i=1}^n l_i∣A∣=∑i=1nri−∑i=1nli

3 ) 3阶方阵行列式演示

根据方阵行列式的计算规则可以得到三阶方阵A的行列式为
- A={a11a12a13a21a22a23a31a32a33}A =\left \{\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} \\a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{array} \right \}A=⎩⎨⎧a11a21a31a12a22a32a13a23a33⎭⎬⎫
- ri=Πk=1iak(3−i+k)∗Πk=i+13ak(k−i)r_i = \Pi_{k=1}^i a_{k(3-i+k)} * \Pi_{k=i+1}^3 a_{k(k-i)}ri=Πk=1iak(3−i+k)∗Πk=i+13ak(k−i)
- li=Πk=1iak(i−k+1)∗Πk=i+13ak(4−k+i)l_i = \Pi_{k=1}^i a_{k(i-k+1)} * \Pi_{k=i+1}^3 a_{k(4-k+i)}li=Πk=1iak(i−k+1)∗Πk=i+13ak(4−k+i)
- ∣A∣=∑i=13ri−∑i=13li=a13a21a32+a12a23a31+a11a22a33−a11a23a32−a12a21a33−a13a22a31|A| = \sum_{i=1}^3 r_i - \sum_{i=1}^3 l_i = a_{13}a_{21}a_{32} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{11}a_{22}a_{33} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33} - a_{13}a_{22}a_{31}∣A∣=∑i=13ri−∑i=13li=a13a21a32+a12a23a31+a11a22a33−a11a23a32−a12a21a33−a13a22a31

代数余子式

1 ）概念

在一个n阶的行列式A中，把元素aij(i,j=1,2,3,...,n)a_{ij}(i,j=1,2,3,...,n)aij(i,j=1,2,3,...,n)所在的行和列划去后, 剩下的(n−1)2(n-1)^2(n−1)2个元素按照原来的次序组成的一个n-1阶行列式MijM_{ij}Mij, 称为元素aija_{ij}aij的余子式。
MijM_{ij}Mij带上符号(−1)i+j(-1)^{i+j}(−1)i+j称为aija_{ij}aij的代数余子式，记为：Aij=(−1)i+jMijA_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}Aij=(−1)i+jMij
可见，余子式，代数余子式都是一个数值

2 ）利用代数余子式求方阵A的行列式|A|

∀1≤i≤n,∣A∣=∑j=1naij⋅(−1)i+jMij\forall 1 \leq i \leq n, |A| = \sum_{j=1}^n a_{ij} · (-1)^{i+j} M_{ij}∀1≤i≤n,∣A∣=∑j=1naij⋅(−1)i+jMij
- 简写为：∣A∣=∑j=1naij⋅Aij|A| = \sum_{j=1}^n a_{ij} · A_{ij}∣A∣=∑j=1naij⋅Aij
∀1≤j≤n,∣A∣=∑i=1naij⋅(−1)i+jMij\forall 1 \leq j \leq n, |A| = \sum_{i=1}^n a_{ij} · (-1)^{i+j} M_{ij}∀1≤j≤n,∣A∣=∑i=1naij⋅(−1)i+jMij
- 简写为：∣A∣=∑i=1naij⋅Aij|A| = \sum_{i=1}^n a_{ij} · A_{ij}∣A∣=∑i=1naij⋅Aij
A={a11a12a13a21a22a23a31a32a33}A = \left \{\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} \\a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{array} \right \}A=⎩⎨⎧a11a21a31a12a22a32a13a23a33⎭⎬⎫
- 使用原始的方阵行列式计算
  - ∣A∣=a13a21a32+a12a23a31+a11a22a33−a11a23a32−a12a21a33−a13a22a31|A| = a_{13}a_{21}a_{32} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{11}a_{22}a_{33} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33} - a_{13}a_{22}a_{31}∣A∣=a13a21a32+a12a23a31+a11a22a33−a11a23a32−a12a21a33−a13a22a31
- 使用代数余子式计算
  - ∣A∣=a11A11+a12A12+a13A13=...|A| = a_{11}A_{11} + a_{12}A_{12} + a_{13}A_{13} = ...∣A∣=a11A11+a12A12+a13A13=... 注：此处省略计算和上面结果一样
- 可见，使用代数余子式可进行降维运算，在此例中是三维降到二维

3 ) 行列式计算例子

例：计算: A=∣314−12−5130∣A =\left |\begin{array}{cccc}3 & 1 & 4 \\-1 & 2 & -5 \\1 & 3 & 0\end{array} \right |A=∣∣∣∣∣∣3−111234−50∣∣∣∣∣∣ 的 ∣A∣|A|∣A∣
- 按第3行展开，比较快，因为有个0，不用计算最后一项了
- ∣A∣=1×∣142−5∣+3×(−∣34−1−5∣)=−13+3×11=20|A| = 1 × \left | \begin{array}{cccc} 1 & 4 \\ 2 & -5 \end{array} \right | + 3 × ( - \left | \begin{array}{cccc} 3 & 4 \\ -1 & -5 \end{array} \right |) = -13 + 3 × 11 = 20∣A∣=1×∣∣∣∣124−5∣∣∣∣+3×(−∣∣∣∣3−14−5∣∣∣∣)=−13+3×11=20

伴随矩阵

对于n阶方阵的任意元素aija_{ij}aij都有各自的代数余子式Aij=(−1)i+jMijA_{ij}=(-1)^{i+j} M_{ij}Aij=(−1)i+jMij, 将所有的代数余子式按次序进行排列，可以得到一个n阶的方阵A∗A^*A∗，那么A∗A^*A∗称为矩阵A的伴随矩阵。
- 注意：AijA_{ij}Aij位于A∗A^*A∗的第j行第i列，这里的’按次序’就是进行了转置(位置调换,行变列,列变行)，如下所示：
- A∗={A11A21⋯An1A12A22⋯An2⋯⋯⋯⋯A1nA2n⋯Ann}A^* =\left \{\begin{array}{cccc}A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n1} \\A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n2} \\\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\A_{1n} & A_{2n} & \cdots & A_{nn}\end{array} \right \}A∗=⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧A11A12⋯A1nA21A22⋯A2n⋯⋯⋯⋯An1An2⋯Ann⎭⎪⎪⎬⎪⎪⎫
- A⋅A∗=∣A∣⋅E={∣A∣0⋯00∣A∣⋯0⋯⋯⋯⋯00⋯∣A∣}A · A^* = |A| · E = \left \{\begin{array}{cccc}|A| & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & |A| & \cdots & 0 \\\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 & \cdots & |A| \end{array} \right \}A⋅A∗=∣A∣⋅E=⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧∣A∣0⋯00∣A∣⋯0⋯⋯⋯⋯00⋯∣A∣⎭⎪⎪⎬⎪⎪⎫
  - 从这里可以看出转置的优点了，方便相乘运算：a11A11+a12A12+...a_{11} A_{11} + a_{12}A_{12} + ...a11A11+a12A12+...
  - 这里的E是单位矩阵(主对角线全是1，其余位置全是0的矩阵)

方阵的逆

设A是数域上的一个n阶方阵，若在相同的数域上存在另一个n阶方阵B, 使得AB=BA=EAB=BA=EAB=BA=E, 那么称B为A的逆矩阵，而A被称为可逆矩阵或非奇异矩阵
如果A不存在逆矩阵，那么A称为奇异矩阵。A的逆矩阵记为：A−1A^{-1}A−1

性质

如果矩阵A是可逆的，那么矩阵A的逆矩阵是唯一的
A的逆矩阵的逆矩阵还是A, 记为(A−1)−1=A(A^{-1})^{-1} = A(A−1)−1=A
可逆矩阵A的转置矩阵ATA^TAT也可逆，并且(AT)−1=(A−1)T(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T(AT)−1=(A−1)T
若矩阵A可逆，则矩阵A满足消去律，即：AB=AC => B=C
矩阵A可逆的充要条件是行列式∣A∣≠0|A| \neq 0∣A∣=0

运算规律

A⋅A∗=∣A∣⋅E⇒A⋅A∗∣A∣=E⇒A−1=A∗∣A∣A · A^{*} = |A| · E \Rightarrow A · \frac{A^*}{|A|} = E \Rightarrow A^{-1} = \frac{A^*}{|A|}A⋅A∗=∣A∣⋅E⇒A⋅∣A∣A∗=E⇒A−1=∣A∣A∗
- ∀1≤i≤n,∣A∣=∑j=1naij⋅(−1)i+jMij\forall 1 \leq i \leq n, \ \ \ |A| = \sum_{j=1}^n a_{ij} · (-1)^{i+j} M_{ij}∀1≤i≤n, ∣A∣=∑j=1naij⋅(−1)i+jMij
- A={a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋯⋯⋯⋯an1an2⋯ann}A =\left \{\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{array} \right \}A=⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧a11a21⋯an1a12a22⋯an2⋯⋯⋯⋯a1na2n⋯ann⎭⎪⎪⎬⎪⎪⎫
- A∗={A11A21⋯An1A12A22⋯An2⋯⋯⋯⋯A1nA2n⋯Ann}A^* =\left \{\begin{array}{cccc}A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n1} \\A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n2} \\\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\A_{1n} & A_{2n} & \cdots & A_{nn}\end{array} \right \}A∗=⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧A11A12⋯A1nA21A22⋯A2n⋯⋯⋯⋯An1An2⋯Ann⎭⎪⎪⎬⎪⎪⎫
- A⋅A∗={∣A∣0⋯00∣A∣⋯0⋯⋯⋯⋯00⋯∣A∣}=∣A∣E⇒A−1=1∣A∣A∗A · A^* =\left \{\begin{array}{cccc}|A| & 0 & \cdots & 0 \\0 & |A| & \cdots & 0 \\\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\0 & 0 & \cdots & |A|\end{array} \right \} =|A|E \Rightarrow A^{-1} = \frac{1}{|A|} A^*A⋅A∗=⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧∣A∣0⋯00∣A∣⋯0⋯⋯⋯⋯00⋯∣A∣⎭⎪⎪⎬⎪⎪⎫=∣A∣E⇒A−1=∣A∣1A∗

总结：

A可逆 ⇒A−1\Rightarrow A^{-1}⇒A−1 可逆，且 (A−1)−1=A(A^{-1})^{-1} = A(A−1)−1=A
A可逆，k≠0⇒kAk \neq 0 \Rightarrow kAk=0⇒kA 可逆，且 (kA)−1=1kA−1(kA)^{-1} = \frac{1}{k} A^{-1}(kA)−1=k1A−1
A,B 同阶可逆 ⇒\Rightarrow⇒ AB 可逆，且 (AB)−1=B−1A−1(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}(AB)−1=B−1A−1
A可逆 ⇒AT\Rightarrow A^T⇒AT 可逆，且 (AT)−1=(A−1)T(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T(AT)−1=(A−1)T
A可逆 ⇒∣A−1∣=1∣A∣\Rightarrow |A^{-1}| = \frac{1}{|A|}⇒∣A−1∣=∣A∣1

例子

求方阵A=(123221343)A =\left (\begin{array}{cccc}1 & 2 & 3 \\2 & 2 & 1 \\3 & 4 & 3 \end{array} \right )A=⎝⎛123224313⎠⎞的逆矩阵
分析
- 因为∣A∣=∣123221343∣=2≠0|A| =\left |\begin{array}{cccc}1 & 2 & 3 \\2 & 2 & 1 \\3 & 4 & 3\end{array} \right | = 2 \neq 0∣A∣=∣∣∣∣∣∣123224313∣∣∣∣∣∣=2=0
- 所以A−1A^{-1}A−1 存在
- A11=∣2143∣=2A_{11} =\left |\begin{array}{cccc}2 & 1 \\4 & 3\end{array} \right | = 2A11=∣∣∣∣2413∣∣∣∣=2
- A12=∣2133∣=−3A_{12} = \left | \begin{array}{cccc} 2 & 1 \\ 3 & 3 \end{array} \right | = -3A12=∣∣∣∣2313∣∣∣∣=−3
- 同理可得：A13=2,A21=6,A22=−6,A23=2,A31=−4,A32=5,A33=−2A_{13} = 2, A_{21} = 6, A_{22} = -6, A_{23} = 2, A_{31} = -4, A_{32} = 5, A_{33} = -2A13=2,A21=6,A22=−6,A23=2,A31=−4,A32=5,A33=−2
- 得：A∗=(26−4−3−6522−2)A^* =\left (\begin{array}{cccc}2 & 6 & -4 \\-3 & -6 & 5 \\2 & 2 & -2\end{array} \right )A∗=⎝⎛2−326−62−45−2⎠⎞
- A−1=1∣A∣A∗=12(26−4−3−6522−2)=(13−2−32−35211−1)A^{-1} = \frac{1}{|A|} A^* = \frac{1}{2}\left (\begin{array}{cccc}2 & 6 & -4 \\-3 & -6 & 5 \\2 & 2 & -2\end{array} \right ) = \left (\begin{array}{cccc}1 & 3 & -2 \\-\frac{3}{2} & -3 & \frac{5}{2} \\1 & 1 & -1\end{array} \right )A−1=∣A∣1A∗=21⎝⎛2−326−62−45−2⎠⎞=⎝⎛1−2313−31−225−1⎠⎞

AI笔记: 数学基础之矩阵运算与行列式相关推荐

AI笔记: 数学基础之联合概率、条件概率与全概率公式
联合概率表示两个事件共同发生的概率,事件A和事件B的共同概率记为:P(AB).P(A,B)P(AB).P(A,B)P(AB).P(A,B) 或者P(A∩B)P(A \cap B)P(A∩B), 记为 ...
AI笔记: 数学基础之矩阵的初等变换
概述用伴随矩阵和行列式求可逆矩阵非常复杂麻烦,尤其是随着n的增大,复杂度让人担忧应对n这个变量,可以使用矩阵的初等变换来求解矩阵的可逆矩阵矩阵的初等变换 1) 消元法解线性方程组先来看下这个例 ...
AI笔记: 数学基础之函数的导数应用及求导公式
关于导数导数是数学中非常重要的概念,它能反应出速度变化的快慢,尤其在AI的算法分析,优化以及数据挖掘中用到很多导数的引出引例1 变速直线运动的速度 s是距离,t是时间,v是速度设描述指点运动的 ...
AI笔记: 数学基础之二项分布与二项式定理
概率试验 1.投掷一个骰子投掷5次 2.某人射击1次,击中目标的概率是0.8, 他射击10次: 3.一个盒子中装有5个球(3红2白),有放回依次从中抽取5个球 4.生产一种零件,出现次品的概率是0.0 ...
AI笔记: 数学基础之向量组的线性表示与线性相关
向量组向量组:有限个相同维度的行向量或列向量组合成的一个集合就叫做向量组A 如果是行向量,那么表示为:A=(a1⃗a2⃗a3⃗⋮an⃗⋮)A = \left (\begin{array}{cccc} ...
AI笔记: 数学基础之正交矩阵与矩阵的QR分解
正交矩阵若n阶方阵A满足ATA=EA^TA = EATA=E, 则称A为正交矩阵, 简称正交阵 (复数域上称为酉矩阵) A是正交阵的充要条件:A的列(行)向量都是单位向量,且两两正交. 若A为正交矩 ...
AI笔记: 数学基础之直线、圆和方程
直线 1 ) 表示直线的几种形式一般式:ax+by+c=0ax + by + c = 0ax+by+c=0 (a,b不能同时为0) 点斜式:y−y1=k(x−x1)y - y_1 = k(x - x ...
AI笔记: 数学基础之矩阵的初等变换计算矩阵的秩
引例求解矩阵方程AX=B, 其中 A = ( 2 1 − 3 1 2 − 2 − 1 3 2 ) , B = ( 1 − 1 2 0 − 2 5 ) A =\left (\begin{array}{ ...
AI笔记: 数学基础之概率与统计
概率 1 )概率与频率概率是一个稳定的数值,也就是某件事发生或不发生的概率是多少. 频率是在一定数量的某件事情上面,发生的数与总数的比值. 假设事件A的概率是0.3,在100次中发生28次,那么它的 ...