AI笔记: 数学基础之矩阵的初等变换
2024-06-04 00:19:25
概述
- 用伴随矩阵和行列式求可逆矩阵非常复杂麻烦，尤其是随着n的增大，复杂度让人担忧
- 应对n这个变量，可以使用矩阵的初等变换来求解矩阵的可逆矩阵
矩阵的初等变换
1） 消元法解线性方程组
- 先来看下这个例子，从 x 1 ∼ x 4 x_1 \sim x_4 x1∼x4 和 4个方程，求解线性方程组
- 有这样一个方程组
- { 2 x 1 − x 2 − x 3 + x 4 = 2 ① x 1 + x 2 − 2 x 3 + x 4 = 4 ② 4 x 1 − 6 x 2 + 2 x 3 − 2 x 4 = 4 ③ 3 x 1 + 6 x 2 − 9 x 3 + 7 x 4 = 9 ④ \left \{\begin{array}{cccc}2x_1 - x_2 - x_3 + x_4 = 2 & ① \\x_1 + x_2 - 2x_3 + x_4 = 4 & ② \\4x_1 - 6x_2 + 2x_3 - 2x_4 = 4 & ③ \\3x_1 + 6x_2 - 9x_3 + 7x_4 = 9 & ④ \end{array} \right. ⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧2x1−x2−x3+x4=2x1+x2−2x3+x4=44x1−6x2+2x3−2x4=43x1+6x2−9x3+7x4=9①②③④
- 将①、②式互换位置，③式除以2得
- { x 1 + x 2 − 2 x 3 + x 4 = 4 ① 2 x 1 − x 2 − x 3 + x 4 = 2 ② 2 x 1 − 3 x 2 + x 3 − x 4 = 4 ③ 3 x 1 + 6 x 2 − 9 x 3 + 7 x 4 = 9 ④ \left \{\begin{array}{cccc}x_1 + x_2 - 2x_3 + x_4 = 4 & ① \\2x_1 - x_2 - x_3 + x_4 = 2 & ② \\2x_1 - 3x_2 + x_3 - x_4 = 4 & ③ \\3x_1 + 6x_2 - 9x_3 + 7x_4 = 9 & ④ \end{array} \right. ⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧x1+x2−2x3+x4=42x1−x2−x3+x4=22x1−3x2+x3−x4=43x1+6x2−9x3+7x4=9①②③④
- 再进行 ② - ③、③ - 2①、④ - 3① 运算
- { x 1 + x 2 − 2 x 3 + x 4 = 4 ① 2 x 2 − 2 x 3 + 2 x 4 = 0 ② − 5 x 2 + 5 x 3 − 3 x 4 = − 6 ③ 3 x 2 − 3 x 3 + 4 x 4 = − 3 ④ \left \{\begin{array}{cccc}x_1 + x_2 - 2x_3 + x_4 = 4 & ① \\2x_2 - 2x_3 + 2x_4 = 0 & ② \\-5x_2 + 5x_3 - 3x_4 = -6 & ③ \\3x_2 - 3x_3 + 4x_4 = -3 & ④ \end{array} \right. ⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧x1+x2−2x3+x4=42x2−2x3+2x4=0−5x2+5x3−3x4=−63x2−3x3+4x4=−3①②③④
- 进而 ② × 1 2 \frac{1}{2} 21、③ + 5②、④ - 3②
- { x 1 + x 2 − 2 x 3 + x 4 = 4 ① x 2 − x 3 + x 4 = 0 ② 2 x 4 = − 6 ③ x 4 = − 3 ④ \left \{\begin{array}{cccc}x_1 + x_2 - 2x_3 + x_4 = 4 & ① \\x_2 - x_3 + x_4 = 0 & ② \\2x_4 = -6 & ③ \\x_4 = -3 & ④ \end{array} \right. ⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧x1+x2−2x3+x4=4x2−x3+x4=02x4=−6x4=−3①②③④
- 然后 ③、④互换位置，④ - 2③ 运算
- { x 1 + x 2 − 2 x 3 + x 4 = 4 ① x 2 − x 3 + x 4 = 0 ② x 4 = − 3 ③ 0 = 0 ④ \left \{\begin{array}{cccc}x_1 + x_2 - 2x_3 + x_4 = 4 & ① \\x_2 - x_3 + x_4 = 0 & ② \\x_4 = -3 & ③ \\0 = 0 & ④ \end{array} \right. ⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧x1+x2−2x3+x4=4x2−x3+x4=0x4=−30=0①②③④
- 最后通过回代的方式求出相关解
- { x 1 = x 3 + 4 x 2 = x 3 + 3 x 4 = − 3 } \left \{\begin{array}{cccc}x_1 = x_3 + 4 \\ x_2 = x_3 + 3 \\ x_4 = -3\end{array} \right \} ⎩⎨⎧x1=x3+4x2=x3+3x4=−3⎭⎬⎫
- 其中 x 3 x_3 x3为任意取值
- 或令 x 3 = c x_3 = c x3=c, 方程组的解可记为：
- x = ( x 1 x 2 x 3 x 4 ) = ( c + 4 c + 3 c − 3 ) x = \left (\begin{array}{cccc}x_1 \\x_2 \\x_3 \\x_4\end{array} \right ) =\left (\begin{array}{cccc}c + 4 \\c + 3 \\c \\-3\end{array} \right ) x=⎝⎜⎜⎛x1x2x3x4⎠⎟⎟⎞=⎝⎜⎜⎛c+4c+3c−3⎠⎟⎟⎞
- 即： x = c ( 1 1 1 0 ) + ( 4 3 0 − 3 ) x = c \left (\begin{array}{cccc}1 \\1 \\1 \\0\end{array} \right ) +\left (\begin{array}{cccc}4 \\3 \\0 \\-3\end{array} \right ) x=c⎝⎜⎜⎛1110⎠⎟⎟⎞+⎝⎜⎜⎛430−3⎠⎟⎟⎞
- 其中c为任意常数
- 简单总结一下
- 上述阶方程组的方法称为消元法
- 始终把方程组看成一个整体变形，用到如下三种变换
- 交换两个方程次序
- 以不等于0的数乘某个方程
- 一个方程的k倍加到另一个方程上
- 上述三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的
- 故这三种变换是同解变换
2 ) 从求解多元方程组到增广矩阵
- 因为在上述变换过程中，仅对方程组系数与常数进行运算，未知量并未参与运算
- 原方程组： { 2 x 1 − x 2 − x 3 + x 4 = 2 x 1 + x 2 − 2 x 3 + x 4 = 4 4 x 1 − 6 x 2 + 2 x 3 − 2 x 4 = 4 3 x 1 + 6 x 2 − 9 x 3 + 7 x 4 = 9 \left \{\begin{array}{cccc}2x_1 - x_2 - x_3 + x_4 = 2 \\x_1 + x_2 - 2x_3 + x_4 = 4 \\ 4x_1 - 6x_2 + 2x_3 - 2x_4 = 4 \\3x_1 + 6x_2 - 9x_3 + 7x_4 = 9 \end{array} \right. ⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧2x1−x2−x3+x4=2x1+x2−2x3+x4=44x1−6x2+2x3−2x4=43x1+6x2−9x3+7x4=9
- 若记： B = ( A , b ) = ( 2 − 1 − 1 1 2 1 1 − 2 1 4 4 − 6 2 − 2 4 3 6 − 9 7 9 ) B = (A,b) =\left (\begin{array}{cccc}2 & -1 & -1 & 1 & 2 \\1 & 1 & -2 & 1 & 4 \\4 & -6 & 2 & -2 & 4 \\3 & 6 & -9 & 7 & 9 \\\end{array} \right ) B=(A,b)=⎝⎜⎜⎛2143−11−66−1−22−911−272449⎠⎟⎟⎞
- 则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B的变换，B称为原方程组的增广矩阵
3 ) 矩阵初等变换的定义
- 矩阵的初等行变换
- 下面三种变换称为矩阵的初等行变换
- (1) 对调两行(对调i,j两行，记为： r i ↔ r j r_i \leftrightarrow r_j ri↔rj)
- (2) 以数 k ≠ 0 k \neq 0 k=0 乘以某一行的所有元素，第i行乘k,记为 r i × k r_i × k ri×k
- (3) 把某一行所有元素的k倍加到另一行对应的元素上去(第 j 行的 k 倍加到第 i 行上，记为： r i + k r j r_i + k r_j ri+krj)
- 同理，可定义矩阵的初等列变换(所有记号是把 r 换成 c)
- 矩阵的初等列变换和初等行变换统称为初等变换
- 初等变换的逆变换仍为初等变换，且变换类型相同
- r i ↔ r j r_i \leftrightarrow r_j ri↔rj 逆变换 r j ↔ r i r_j \leftrightarrow r_i rj↔ri
- r i × k r_i × k ri×k 逆变换 r i × ( 1 k ) r_i × (\frac{1}{k}) ri×(k1) 或 r i ÷ k r_i \div k ri÷k
- r i + k r j r_i + k r_j ri+krj 逆变换 r i + ( − k ) r j r_i + (-k) r_j ri+(−k)rj 或 r i − k r j r_i - k r_j ri−krj
- 如果 矩阵A 经有限次初等变换变成 矩阵B，就称矩阵A与B等价，记为： A ∼ B A \sim B A∼B
- 等价关系的性质
- (1) 自反性： A ∼ A A \sim A A∼A
- (2) 对称性：若 A ∼ B A \sim B A∼B, 则 B ∼ A B \sim A B∼A
- (3) 传递性：若 A ∼ B A \sim B A∼B, 且 B ∼ C B \sim C B∼C, 则 A ∼ C A \sim C A∼C
- 具有上述三条性质的关系称为等价
- 对于线性方程组也一样：如果两个线性方程组同解，那么这两个线性方程组等价
4 ） 用矩阵的初等行变换解方程组
- 方程组： { 2 x 1 − x 2 − x 3 + x 4 = 2 x 1 + x 2 − 2 x 3 + x 4 = 4 4 x 1 − 6 x 2 + 2 x 3 − 2 x 4 = 4 3 x 1 + 6 x 2 − 9 x 3 + 7 x 4 = 9 \left \{\begin{array}{cccc}2x_1 - x_2 - x_3 + x_4 = 2 \\x_1 + x_2 - 2x_3 + x_4 = 4 \\ 4x_1 - 6x_2 + 2x_3 - 2x_4 = 4 \\3x_1 + 6x_2 - 9x_3 + 7x_4 = 9 \end{array} \right. ⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧2x1−x2−x3+x4=2x1+x2−2x3+x4=44x1−6x2+2x3−2x4=43x1+6x2−9x3+7x4=9
- 转化为矩阵： B = ( 2 − 1 − 1 1 2 1 1 − 2 1 4 4 − 6 2 − 2 4 3 6 − 9 7 9 ) B =\left (\begin{array}{cccc}2 & -1 & -1 & 1 & 2 \\1 & 1 & -2 & 1 & 4 \\4 & -6 & 2 & -2 & 4 \\3 & 6 & -9 & 7 & 9 \\\end{array} \right ) B=⎝⎜⎜⎛2143−11−66−1−22−911−272449⎠⎟⎟⎞
- 经过 r i ↔ r 2 , r 3 ÷ 2 r_i \leftrightarrow r_2, r_3 \div 2 ri↔r2,r3÷2 得到变形
- B 1 = ( 1 1 − 2 1 4 2 − 1 − 1 1 2 2 − 3 1 − 1 2 3 6 − 9 7 9 ) B_1 = \left (\begin{array}{cccc}1 & 1 & -2 & 1 & 4 \\2 & -1 & -1 & 1 & 2 \\2 & -3 & 1 & -1 & 2 \\3 & 6 & -9 & 7 & 9\end{array} \right ) B1=⎝⎜⎜⎛12231−1−36−2−11−911−174229⎠⎟⎟⎞
- 经过 r 2 − r 3 , r 3 − 2 r 1 , r 4 − 3 r 1 r_2 - r_3, r_3 - 2r_1, r_4 - 3r_1 r2−r3,r3−2r1,r4−3r1 继续变形
- B 2 = ( 1 1 − 2 1 4 0 2 − 2 2 0 0 − 5 5 − 3 − 6 0 3 − 3 4 − 3 ) B_2 = \left (\begin{array}{cccc}1 & 1 & -2 & 1 & 4 \\0 & 2 & -2 & 2 & 0 \\0 & -5 & 5 & -3 & -6 \\0 & 3 & -3 & 4 & -3\end{array} \right ) B2=⎝⎜⎜⎛100012−53−2−25−312−3440−6−3⎠⎟⎟⎞
- 经过 r 2 ÷ 2 , r 3 + 5 r 2 , r 4 − 3 r 2 r_2 \div 2, r_3 + 5 r_2, r_4 - 3r_2 r2÷2,r3+5r2,r4−3r2 继续变形
- B 3 = ( 1 1 − 2 1 4 0 1 − 1 1 0 0 0 0 2 − 6 0 0 0 1 − 3 ) B_3 = \left (\begin{array}{cccc}1 & 1 & -2 & 1 & 4 \\0 & 1 & -1 & 1 & 0 \\0 & 0 & 0 & 2 & -6 \\0 & 0 & 0 & 1 & -3\end{array} \right ) B3=⎝⎜⎜⎛10001100−2−100112140−6−3⎠⎟⎟⎞
- 经过 r 3 ↔ r 4 , r 4 − 2 r 3 r_3 \leftrightarrow r_4, r_4 - 2r_3 r3↔r4,r4−2r3 继续变形
- B 4 = ( 1 1 − 2 1 4 0 1 − 1 1 0 0 0 0 1 − 3 0 0 0 0 0 ) B_4 = \left (\begin{array}{cccc}1 & 1 & -2 & 1 & 4 \\0 & 1 & -1 & 1 & 0 \\0 & 0 & 0 & 1 & -3 \\0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array} \right ) B4=⎝⎜⎜⎛10001100−2−100111040−30⎠⎟⎟⎞
- 经过 r 1 − r 2 , r 2 − r 3 r_1 - r_2, r_2 - r_3 r1−r2,r2−r3 继续变形
- B 5 = ( 1 0 − 1 0 4 0 1 − 1 0 3 0 0 0 1 − 3 0 0 0 0 0 ) B_5 = \left (\begin{array}{cccc}1 & 0 & -1 & 0 & 4 \\0 & 1 & -1 & 0 & 3 \\0 & 0 & 0 & 1 & -3 \\0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array} \right ) B5=⎝⎜⎜⎛10000100−1−100001043−30⎠⎟⎟⎞
- B 5 B_5 B5 对应的方程组为
- { x 1 = x 3 + 4 x 2 = x 3 + 3 x 4 = − 3 \left \{ \begin{array}{cccc}x_1 = x_3 + 4 \\x_2 = x_3 + 3 \\x_4 = -3\end{array} \right. ⎩⎨⎧x1=x3+4x2=x3+3x4=−3
- 或令 x 3 = c x_3 = c x3=c，方程组的解可记为：
- x = ( x 1 x 2 x 3 x 4 ) = ( c + 4 c + 3 c − 3 ) = c ( 1 1 1 0 ) + ( 4 3 0 − 3 ) x = \left (\begin{array}{cccc}x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{array} \right ) =\left (\begin{array}{cccc}c + 4 \\ c + 3 \\ c \\ -3 \end{array} \right ) =c \left (\begin{array}{cccc}1 \\ 1 \\ 1 \\ 0\end{array} \right ) +\left (\begin{array}{cccc}4 \\ 3 \\ 0 \\ -3 \end{array} \right ) x=⎝⎜⎜⎛x1x2x3x4⎠⎟⎟⎞=⎝⎜⎜⎛c+4c+3c−3⎠⎟⎟⎞=c⎝⎜⎜⎛1110⎠⎟⎟⎞+⎝⎜⎜⎛430−3⎠⎟⎟⎞
- 其中c为任意常数
- 矩阵 B 4 , B 5 B_4, B_5 B4,B5都称为行阶梯型矩阵
- 特点:
- (1) 可画出一条阶梯线, 线的下方全为零
- (2) 每个台阶只有一行
- 台阶数即是非零行的行数
- 阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个元素
- 特点:
备注：图片托管于github，请确保网络的可访问性
- 行最简形矩阵：行阶梯形矩阵 B 5 B_5 B5还称为行最简形矩阵，即非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在的列的其他元素都为零
- 对于任何矩阵 A m × n A_{m×n} Am×n, 总可经过有限次初等行变换把它变为行阶梯形和行最简形
- 注意：行最简形矩阵是由方程组唯一确定的，行阶梯形矩阵的行数也是由方程组唯一确定的(行阶梯形矩阵并不一定是唯一的)
- 行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标准形，例如
- B 5 = ( 1 0 − 1 0 4 0 1 − 1 0 3 0 0 0 1 − 3 0 0 0 0 0 ) B_5 = \left (\begin{array}{cccc}1 & 0 & -1 & 0 & 4 \\0 & 1 & -1 & 0 & 3 \\0 & 0 & 0 & 1 & -3 \\0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array} \right ) B5=⎝⎜⎜⎛10000100−1−100001043−30⎠⎟⎟⎞
- 经过 c 3 ↔ c 4 , c 4 + c 1 + c 2 , c 5 − 4 c 1 − 3 c 2 + 3 c 3 c_3 \leftrightarrow c_4, c_4 + c_1 + c_2, c_5 - 4c_1 - 3c_2 + 3c_3 c3↔c4,c4+c1+c2,c5−4c1−3c2+3c3 得到
- F = ( 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 ) F = \left (\begin{array}{cccc}1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right ) F=⎝⎜⎜⎛10000100001000000000⎠⎟⎟⎞
- 矩阵F称为矩阵B的标准形
5 ）标准形矩阵
- F的左上角是一个单位矩阵，其余元素全为零. m×n矩阵A总经过初等变换化为标准形 F = ( E r O O O ) m × n F = \left (\begin{array}{cccc}E_r & O \\O & O\end{array} \right )_{m×n} F=(ErOOO)m×n
- 此标准形由m,n,r三个数唯一确定，其中r就是行阶梯形矩阵中非零行的个数
- 所有与矩阵A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类，标准形F是这个等价类中最简单的矩阵
等价标准形定理
- 用初等变换必能将任何一个矩阵化为如下等价标准形，等价标准形是唯一的
- [ E r O O O ] \left [\begin{array}{cccc}E_r & O \\O & O\end{array} \right ] [ErOOO]
矩阵初等变换定理
- 设A与B为m×n矩阵，那么：
- (1) A ∼ r B A \overset{\text{r}}{\sim} B A∼rB (表示A经过有限次初等行变换)的充分必要条件是存在m阶可逆矩阵P, 使 PA = B (左乘)
- (2) A ∼ c B A \overset{\text{c}}{\sim} B A∼cB (表示A经过有限次初等列变换)的充分必要条件是存在n阶可逆矩阵Q，使 AQ = B (右乘)
- (3) A ∼ B A \sim B A∼B的充分必要条件是存在m阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q, 使 PAQ = B
- 推论：方阵A可逆的充分必要条件是 A ∼ r E A \overset{\text{r}}{\sim} E A∼rE
- 扩展：在定理(1)中， A ∼ r B A \overset{\text{r}}{\sim} B A∼rB，即A经一些列初等行变换变为B, 则有可逆矩阵P, 使得 PA = B，那如何求P呢?
- 由于 P A = B ⇔ { P A = B P E = P ⇔ P ( A , E ) = ( B , P ) ⇔ ( A , E ) ∼ ( B , P ) PA = B \Leftrightarrow \left \{\begin{array}{cccc}PA = B \\PE = P\end{array} \right. \Leftrightarrow P(A,E) = (B,P) \Leftrightarrow (A,E) \sim (B,P) PA=B⇔{PA=BPE=P⇔P(A,E)=(B,P)⇔(A,E)∼(B,P)
- 说明：
- 这里(A,E)表示两个矩阵写在一起，表示成一个新的矩阵
- P ( A , E ) = ( B , P ) P(A,E) = (B,P) P(A,E)=(B,P) 这里不用多做解释
- P ( A , E ) = ( B , P ) ⇔ ( A , E ) ∼ ( B , P ) P(A,E) = (B,P) \Leftrightarrow (A,E) \sim (B,P) P(A,E)=(B,P)⇔(A,E)∼(B,P), 表示(A,E)经过有限次的初等行变换变成了(B,P)
- 也就是说，分开来看，A经过有限次的初等行变换变成了B；单位矩阵E经过同样的变换变成了P, 这样P就可以求得了
- 例1：设 A = ( 2 − 1 − 1 1 1 − 2 4 − 6 2 ) A = \left (\begin{array}{cccc}2 & -1 & -1 \\1 & 1 & -2 \\4 & -6 & 2\end{array} \right ) A=⎝⎛214−11−6−1−22⎠⎞ 的行最简形矩阵为F, 求可逆矩阵P, 使得 PA = F
- 分析，把A用初等行变换化为行最简形F, 同时求P, 对(A,E)做初等行变换A化成行最简形F,同时E就化成了P
备注：图片托管于github，请确保网络的可访问性
- 例2：设 A = ( 0 − 2 1 3 0 − 2 − 2 3 0 ) A = \left (\begin{array}{cccc}0 & -2 & 1 \\3 & 0 & -2 \\-2 & 3 & 0\end{array} \right ) A=⎝⎛03−2−2031−20⎠⎞, 证明A可逆，求 A − 1 A^{-1} A−1
- 分析，对(A,E)作初等行变换化成(F,P), F为A的行最简形，如果F=E，则A可逆，且 P = A − 1 P = A^{-1} P=A−1，运算如下图所示
- 注：本例给出了一种利用行初等变换求逆矩阵的方法，对高阶矩阵更实用
备注：图片托管于github，请确保网络的可访问性
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