AI笔记: 数学基础之直线、圆和方程

直线

1 ) 表示直线的几种形式

一般式：ax+by+c=0ax + by + c = 0ax+by+c=0 (a,b不能同时为0)
点斜式：y−y1=k(x−x1)y - y_1 = k(x - x_1)y−y1=k(x−x1) 直线经过点(x1,y1)(x_1, y_1)(x1,y1)
斜截式：y=kx+by = kx + by=kx+b
截距式：bx+ay−ab=0bx + ay - ab = 0bx+ay−ab=0 当 a、b均不为0时，可写为: xa+yb=1\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1ax+by=1
两点式：y−y1y1−y2=x−x1x1−x2\frac{y - y_1}{y_1 - y_2} = \frac{x - x_1}{x_1 - x_2}y1−y2y−y1=x1−x2x−x1 直线经过(x1,y1),(x2,y2)(x_1, y_1), (x_2, y_2)(x1,y1),(x2,y2)两点
法线式：xcosθ+ysinθ−p=0xcos \theta + y sin \theta - p = 0xcosθ+ysinθ−p=0, 其中p为原点到直线的距离，θ\thetaθ 为法线与x轴正方向的夹角

2 ) 两条直线平行、相交、重合、垂直的充分必要条件

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3 ) 两点间距离公式

两点： (x1,y1),(x2,y2)(x_1, y_1), (x_2, y_2)(x1,y1),(x2,y2)
距离：d=(x1−x2)2+(y1−y2)2d = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}d=(x1−x2)2+(y1−y2)2

4 ) 点到直线的距离公式

点P： (x0,y0)(x_0, y_0)(x0,y0)
直线：ax+by+c=0ax + by + c = 0ax+by+c=0
距离：d=∣ax0+by0+c∣a2+b2d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}d=a2+b2∣ax0+by0+c∣

5 ) 两平行线间的距离公式

直线1：ax+by+c1=0ax + by + c_1 = 0ax+by+c1=0
直线2：ax+by+c2=0ax + by + c_2 = 0ax+by+c2=0
距离：d=∣c2−c1∣a2+b2d = \frac{|c_2 - c_1|}{\sqrt{a^2 + b^2}}d=a2+b2∣c2−c1∣

圆与方程

1 ） 圆的方程

标准方程

(x−a)2+(y−b)2=r2(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2(x−a)2+(y−b)2=r2
圆心：(a,b), 半径：r

一般方程

x2+y2+Dx+Ey+F=0x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0x2+y2+Dx+Ey+F=0
圆心：(−D2,−E2)(-\frac{D}{2}, -\frac{E}{2})(−2D,−2E), 半径：r=12D2+E2−4Fr = \frac{1}{2} \sqrt{D^2 + E^2 - 4F}r=21D2+E2−4F

2 ) 直线与圆的位置关系

直线：Ax + By + C = 0
圆：(x−a)2+(y−b)2=r2(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2(x−a)2+(y−b)2=r2
相离：d > r , Δ<0\Delta < 0Δ<0
相切：d = r , Δ=0\Delta = 0Δ=0
相交：d > r , Δ>0\Delta > 0Δ>0

3 ) 两圆位置关系

外离： d > R + r
外切：d = R + r
相交： R - r < d < R + r
内切：d = R - r
内含：d < R - r

扩展

(三维)空间中两点间距离公式

P1 : (x1,y1,z1)(x_1, y_1, z_1)(x1,y1,z1)
P2 : (x2,y2,z2)(x_2, y_2, z_2)(x2,y2,z2)
∣P1P2∣=(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2|P_1P_2| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}∣P1P2∣=(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2

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