AI笔记: 数学基础之矩阵的初等变换计算矩阵的秩

引例

求解矩阵方程AX=B, 其中 A = ( 2 1 − 3 1 2 − 2 − 1 3 2 ) , B = ( 1 − 1 2 0 − 2 5 ) A =\left (\begin{array}{cccc}2 & 1 & -3 \\1 & 2 & -2 \\-1 & 3 & 2\end{array} \right ), B =\left (\begin{array}{cccc}1 & -1 \\2 & 0 \\-2 & 5 \end{array} \right ) A=⎝⎛21−1123−3−22⎠⎞,B=⎝⎛12−2−105⎠⎞
分析
- 设可逆矩阵P使得PA=F，则 P ( A , B ) = ( F , P B ) P(A,B) = (F,PB) P(A,B)=(F,PB)
- 对矩阵(A,B)作初等行变换把A变为F, 同时B变为PB, 如果F=E, 则A可逆
- P = A − 1 , P A X = P B , P A X = A − 1 A X = X = P B P = A^{-1}, PAX = PB, PAX = A^{-1} AX = X = PB P=A−1,PAX=PB,PAX=A−1AX=X=PB
- ( A , B ) = ( 2 1 − 3 1 − 1 1 2 − 2 2 0 − 1 3 2 − 2 5 ) ∼ ( 1 2 − 2 2 0 0 − 3 1 − 3 − 1 0 5 0 0 5 ) ∼ ( 1 2 − 2 2 0 0 1 0 0 1 0 0 1 − 3 2 ) ∼ ( 1 0 0 − 4 2 0 1 0 0 1 0 0 1 − 3 2 ) (A,B) =\left (\begin{array}{cccc}2 & 1 & -3 & 1 & -1 \\1 & 2 & -2 & 2 & 0 \\-1 & 3 & 2 & -2 & 5\end{array} \right ) \sim\left (\begin{array}{cccc}1 & 2 & -2 & 2 & 0 \\0 & -3 & 1 & -3 & -1 \\0 & 5 & 0 & 0 & 5\end{array} \right ) \sim\left (\begin{array}{cccc}1 & 2 & -2 & 2 & 0 \\0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\0 & 0 & 1 & -3 & 2\end{array} \right ) \sim\left (\begin{array}{cccc}1 & 0 & 0 & -4 & 2 \\0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\0 & 0 & 1 & -3 & 2\end{array} \right ) (A,B)=⎝⎛21−1123−3−2212−2−105⎠⎞∼⎝⎛1002−35−2102−300−15⎠⎞∼⎝⎛100210−20120−3012⎠⎞∼⎝⎛100010001−40−3212⎠⎞
- X = A − 1 B ( − 4 2 0 1 − 3 2 ) X = A^{-1}B\left (\begin{array}{cccc}-4 & 2 \\0 & 1 \\-3 & 2\end{array} \right ) X=A−1B⎝⎛−40−3212⎠⎞

矩阵的秩

在 m ∗ n m * n m∗n矩阵A中，任取k行k列，不改变这 k 2 k^2 k2个元素的在A中的次序，得到k阶方阵，称为矩阵A的k阶子式。
- 备注： m ∗ n m*n m∗n阶矩阵A的k阶子式有 C m k C n k C_m^kC_n^k CmkCnk个
A = [ 1 0 2 5 2 3 4 0 5 2 2 1 0 2 1 3 ] A =\left [\begin{array}{cccc}1 & 0 & 2 & 5 \\2 & 3 & 4 & 0 \\5 & 2 & 2 & 1 \\0 & 2 & 1 & 3\end{array} \right ] A=⎣⎢⎢⎡1250032224215013⎦⎥⎥⎤ 取第1、2、4行与1、3、4列得到3阶子式 ∣ 1 2 5 2 4 0 0 1 3 ∣ \left |\begin{array}{cccc}1 & 2 & 5 \\2 & 4 & 0 \\0 & 1 & 3\end{array} \right | ∣∣∣∣∣∣120241503∣∣∣∣∣∣
在 m ∗ n m * n m∗n 矩阵 A 中，任取k行k列，不改变这 k 2 k^2 k2个元素在A中的次序，得到k阶方阵，称为矩阵A的k阶子阵
- m ∗ n m * n m∗n阶矩阵A的k阶子式有 C m k C n k C_m^k C_n^k CmkCnk 个
设在矩阵A中有一个不等于0的r阶子式D, 且所有r+1阶子式(如果存在)全等于0，那么D称为矩阵A的最高阶非零子式，r称为矩阵A的秩，记为 R ( A ) = r R(A) = r R(A)=r
- m*n的可逆矩阵，秩为n
- 可逆矩阵又称为满秩矩阵
- 矩阵的秩等于它行(列)向量组的秩

例子

求矩阵 B = ( 2 − 1 0 3 − 2 0 3 1 − 2 5 0 0 0 4 − 3 0 0 0 0 0 ) B =\left (\begin{array}{cccc}2 & -1 & 0 & 3 & -2 \\0 & 3 & 1 & -2 & 5 \\0 & 0 & 0 & 4 & -3 \\0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array} \right ) B=⎝⎜⎜⎛2000−130001003−240−25−30⎠⎟⎟⎞的秩
分析
- 因为B是一个行阶梯型矩阵，其非零行有3行
- 所以B的所有4阶子式全为零
- 而 ∣ 2 − 1 3 0 3 − 2 0 0 4 ∣ ≠ 0 \left |\begin{array}{cccc}2 & -1 & 3 \\0 & 3 & -2 \\0 & 0 & 4 \end{array} \right | \neq 0 ∣∣∣∣∣∣200−1303−24∣∣∣∣∣∣=0
- 所以 R(B) = 3
- 显然，非零行的行数为所求的秩，不需计算

总结

阶梯型矩阵的秩就是其非零行数
对于一般的矩阵，当行数和列数较高时，按定义计算矩阵的秩是很麻烦的，容易遗漏子式
因为对于任何矩阵A_{m×n}, 总可经过有限次初等行变换把它变为行阶梯形
自然想到用初等行变换把矩阵化为行阶梯形矩阵(经过初等变换矩阵的秩不会改变)

秩的求法

若 A ∼ B A \sim B A∼B, 则 R ( A ) = R ( B ) R(A) = R(B) R(A)=R(B), 初等变换不改变矩阵的秩
推论：设可逆矩阵P, Q 使得 PAQ = B, 则 R ( A ) = R ( B ) R(A) = R(B) R(A)=R(B)
- 注：该定理回答了矩阵标准形 A → [ E r 0 0 0 ] A \to \left [\begin{array}{cccc}E_r & 0 \\0 & 0 \\\end{array} \right ] A→[Er000] 中r 是唯一的
- 它就是矩阵A的秩
- 于是得到求秩的方法： A → 行变换 F A \overset{\text{行变换}}{\to} F A→行变换F(行阶梯型矩阵)
- 则 R ( A ) = F R(A) = F R(A)=F的台阶数

例子

设 A = ( 3 2 0 5 0 3 − 2 3 6 − 1 2 0 1 5 − 3 1 6 − 4 − 1 4 ) A =\left (\begin{array}{cccc}3 & 2 & 0 & 5 & 0 \\3 & -2 & 3 & 6 & -1 \\2 & 0 & 1 & 5 & -3 \\1 & 6 & -4 & -1 & 4\end{array} \right ) A=⎝⎜⎜⎛33212−206031−4565−10−1−34⎠⎟⎟⎞, 求矩阵A的秩，并求A的一个最高阶非零子式
分析
- 对A作初等行变换, 变成行阶梯形矩阵
- r 1 ↔ r 4 r_1 \leftrightarrow r_4 r1↔r4
  - ( 1 6 − 4 − 1 4 3 − 2 3 6 − 1 2 0 1 5 − 3 3 2 0 5 0 ) \left (\begin{array}{cccc} 1 & 6 & -4 & -1 & 4 \\3 & -2 & 3 & 6 & -1 \\2 & 0 & 1 & 5 & -3 \\3 & 2 & 0 & 5 & 0\end{array} \right ) ⎝⎜⎜⎛13236−202−4310−16554−1−30⎠⎟⎟⎞
- r 2 − r 4 , r 3 − 2 r 1 , r 4 − 3 r 1 r_2 - r_4, r_3 - 2r_1, r_4 - 3r_1 r2−r4,r3−2r1,r4−3r1
  - ( 1 6 − 4 − 1 4 0 − 4 3 1 − 1 0 − 12 9 7 − 11 0 − 16 12 8 − 12 ) \left (\begin{array}{cccc} 1 & 6 & -4 & -1 & 4 \\0 & -4 & 3 & 1 & -1 \\0 & -12 & 9 & 7 & -11 \\0 & -16 & 12 & 8 & -12\end{array} \right ) ⎝⎜⎜⎛10006−4−12−16−43912−11784−1−11−12⎠⎟⎟⎞
- r 3 − 3 r 2 , r 4 − 4 r 2 r_3 - 3r_2, r_4 - 4r_2 r3−3r2,r4−4r2
  - ( 1 6 − 4 − 1 4 0 − 4 3 1 − 1 0 0 0 4 − 8 0 0 0 4 − 8 ) \left (\begin{array}{cccc} 1 & 6 & -4 & -1 & 4 \\0 & -4 & 3 & 1 & -1 \\0 & 0 & 0 & 4 & -8 \\0 & 0 & 0 & 4 & -8\end{array} \right ) ⎝⎜⎜⎛10006−400−4300−11444−1−8−8⎠⎟⎟⎞
- r 4 − r 3 r_4 - r_3 r4−r3
  - ( 1 6 − 4 − 1 4 0 − 4 3 1 − 1 0 0 0 4 − 8 0 0 0 0 0 ) \left (\begin{array}{cccc} 1 & 6 & -4 & -1 & 4 \\0 & -4 & 3 & 1 & -1 \\0 & 0 & 0 & 4 & -8 \\0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array} \right ) ⎝⎜⎜⎛10006−400−4300−11404−1−80⎠⎟⎟⎞
- 由阶梯形矩阵有三个非零行可知 R ( A ) = 3 R(A) = 3 R(A)=3
继而，求A的一个最高阶子式
- 因为 R ( A ) = 3 R(A) = 3 R(A)=3, 知A的最高阶非零子式为3阶
- A的3阶子式共有 C 4 3 C 5 3 = 40 C_4^3 C_5^3 = 40 C43C53=40个
- 考察A的行阶梯形矩阵
- 记 A = ( a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 ) A=(a_1, a_2, a_3, a_4, a_5) A=(a1,a2,a3,a4,a5), 则矩阵 B = ( a 1 , a 2 , a 4 ) B=(a_1, a_2, a_4) B=(a1,a2,a4)的行阶梯形矩阵为 ( 1 6 − 1 0 − 4 1 0 0 4 0 0 0 ) \left (\begin{array}{cccc}1 & 6 & -1 \\0 & -4 & 1 \\0 & 0 & 4 \\0 & 0 & 0\end{array} \right ) ⎝⎜⎜⎛10006−400−1140⎠⎟⎟⎞
- 因为 R ( B ) = 3 R(B) = 3 R(B)=3
- 故B中必有3阶非零子式，且共有4个
- 计算B的前三行构成的子式
- ∣ 3 2 5 2 0 5 3 − 2 6 ∣ = ∣ 3 2 5 2 0 5 6 0 11 ∣ = − 2 ∣ 2 5 6 11 ∣ = 16 ≠ 0 \left |\begin{array}{cccc}3 & 2 & 5 \\2 & 0 & 5 \\3 & -2 & 6\end{array} \right | =\left |\begin{array}{cccc}3 & 2 & 5 \\2 & 0 & 5 \\6 & 0 & 11\end{array} \right | =-2 \left |\begin{array}{cccc}2 & 5 \\6 & 11\end{array} \right | = 16 \neq 0 ∣∣∣∣∣∣32320−2556∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣3262005511∣∣∣∣∣∣=−2∣∣∣∣26511∣∣∣∣=16=0
- 则这个子式便是A的一个最高阶非零子式

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