AI笔记: 数学基础之联合概率、条件概率与全概率公式

联合概率

表示两个事件共同发生的概率，事件A和事件B的共同概率记为：P(AB)、P(A,B)P(AB)、P(A,B)P(AB)、P(A,B) 或者P(A∩B)P(A \cap B)P(A∩B), 记为事件A和事件B同时发生的概率

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条件概率

事件A在另外一个事件B已经发生的条件下的发生概率叫做条件概率，表示为P(A∣B)P(A|B)P(A∣B), 读作：“在B条件下A发生的概率”
一般情况下P(A∣B)≠P(A)P(A|B) \neq P(A)P(A∣B)=P(A), 而且条件概率具有三个特征
- 非负性
- 可列性
- 可加性
P(A∣B)=P(AB)P(B)P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)}P(A∣B)=P(B)P(AB)

案例1

两台车床加工同一种零件共100个，结果如下：

	合格品数	次品数	总计
第一台车床加工数	30	5	35
第二台车床加工数	50	15	65
总计	80	20	100

设A={从100个零件中任取一个是合格品} B={从100个零件中任取一个是第一台车床加工的}, 求P(A),P(B),P(AB),P(A∣B)P(A), P(B), P(AB), P(A|B)P(A),P(B),P(AB),P(A∣B)
分析：
- P(A)=80100P(A) = \frac{80}{100}P(A)=10080
- P(B)=35100P(B) = \frac{35}{100}P(B)=10035
- P(AB)=30100P(AB) = \frac{30}{100}P(AB)=10030
- P(A∣B)=P(AB)P(B)=30100∗10035=3035≠P(A)P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)} = \frac{30}{100} * \frac{100}{35} = \frac{30}{35} \neq P(A)P(A∣B)=P(B)P(AB)=10030∗35100=3530=P(A)

案例2

已知某家庭有3个小孩，且至少有一个是女孩，求该家庭至少有一个男孩的概率
分析
- 设A={3个小孩至少有一个女孩}
- 设B={3个小孩至少有一个男孩}
- 所求概率为：P(B∣A)=P(AB)P(A)P(B|A) = \frac{P(AB)}{P(A)}P(B∣A)=P(A)P(AB)
- 而 P(A)=1−P(Aˉ)=1−18=78P(A) = 1 - P(\bar{A}) = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}P(A)=1−P(Aˉ)=1−81=87
- P(AB)=68P(AB) = \frac{6}{8}P(AB)=86
- 所以，P(B∣A)=6878=67P(B|A) = \frac{\frac{6}{8}}{\frac{7}{8}} = \frac{6}{7}P(B∣A)=8786=76

条件概率

将条件概率公式由两个事件推广到任意有穷多个事件时，可以得到如下公式，假设A1,A2,...,AnA_1, A_2, ..., A_nA1,A2,...,An为n个任意事件n≤2n \leq 2n≤2, 而且P(A1A2...An)>0P(A_1A_2...A_n) > 0P(A1A2...An)>0, 则：
- P(A1A2...An)=P(A1)P(A2∣A1)...P(An∣A1A2...An−1)P(A_1A_2...A_n) = P(A_1)P(A_2 | A_1) ... P(A_n | A_1A_2...A_{n-1})P(A1A2...An)=P(A1)P(A2∣A1)...P(An∣A1A2...An−1)

例1

袋中有一个白球与一个黑球，现每次从中取出一球，若取出白球，则除把白球放回外再加进一个白球，直至取出黑球为止.求取出了n次都未取出黑球的概率
分析：
- 设B={取了n次都未取出黑球}，Ai=A_i =Ai= {第i次取出白球} (i = 1, 2, …, n), 则 B=A1A2...AnB = A_1A_2...A_nB=A1A2...An, 由乘法公式：
- P(B)=P(A1A2...An)=P(A1)P(A2∣A1)P(A3∣A1A2)...P(An∣A1A2...An−1)=12⋅23⋅34⋅⋅⋅⋅⋅nn+1=1n+1P(B) = P(A_1A_2...A_n) = P(A_1)P(A_2 | A_1) P(A_3 | A_1A_2) ... P(A_n | A_1A_2...A_{n-1}) = \frac{1}{2} · \frac{2}{3} · \frac{3}{4} ····· \frac{n}{n+1} = \frac{1}{n+1}P(B)=P(A1A2...An)=P(A1)P(A2∣A1)P(A3∣A1A2)...P(An∣A1A2...An−1)=21⋅32⋅43⋅⋅⋅⋅⋅n+1n=n+11

例2

设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落下时打破的概率为12\frac{1}{2}21, 若第一次落下未打破，第二次落下打破的概率为：710\frac{7}{10}107, 若前两次落下未打破，第三次落下打破的概率为：910\frac{9}{10}109, 求透镜落下三次而未打破的概率
分析
- 以Ai(i=1,2,3)A_i (i=1,2,3)Ai(i=1,2,3) 表示事件"透镜第i次落下打破"，以B表示事件"透镜落下三次而未打破"
- 有：P(B)=P(A1ˉA2ˉA3ˉ)=P(A1ˉ)P(A2ˉ∣A1ˉ)P(A3ˉ∣A1ˉA2ˉ)=(1−12)(1−710)(1−910)=3200P(B) = P(\bar{A_1} \bar{A_2} \bar{A_3}) = P(\bar{A_1}) P(\bar{A_2} | \bar{A_1}) P(\bar{A_3} | \bar{A_1} \bar{A_2}) = (1 - \frac{1}{2})(1 - \frac{7}{10})(1 - \frac{9}{10}) = \frac{3}{200}P(B)=P(A1ˉA2ˉA3ˉ)=P(A1ˉ)P(A2ˉ∣A1ˉ)P(A3ˉ∣A1ˉA2ˉ)=(1−21)(1−107)(1−109)=2003

全概率公式

样本空间Ω\OmegaΩ有一组事件A1、A2...AnA_1、A_2...A_nA1、A2...An，如果事件组满足下列两个条件，那么事件组称为样本空间的一个划分。
- ∀i≠j∈{1,2,..,n},AiAj=ϕ\forall \ \ i \neq j \in \{ 1,2,..,n \}, A_iA_j = \phi∀ i=j∈{1,2,..,n},AiAj=ϕ
- A1∪A2...∪An=ΩA_1 \cup A_2 ... \cup A_n = \OmegaA1∪A2...∪An=Ω

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设事件AjA_jAj是样本空间Ω\OmegaΩ的一个划分，且P(Ai)>0P(A_i) > 0P(Ai)>0, 那么对于任意事件B, 全概率公式为：P(B)=∑i=1nP(Ai)P(B∣Ai)P(B) = \sum_{i=1}^n P(A_i)P(B | A_i)P(B)=∑i=1nP(Ai)P(B∣Ai)

例1

某小组有20名射手，其中一、二、三、四级射手分别为：2、6、9、3名. 又若选一、二、三、四级射手参加比赛，则在比赛中射中目标的概率分别为：0.85, 0.64, 0.45, 0.32, 今随机选一人参加比赛，试求该小组在比赛中射中目标的概率
分析：
- 设B={该小组在比赛中射中目标}
- Ai=A_i =Ai= {选i级射手参加比赛} (i=1,2,3,4)
- 由全概率公式，有：P(B)=∑i=14P(Ai)P(B∣Ai)=220×0.85+620×0.64+920×0.45+320×0.32=0.5275P(B) = \sum_{i=1}^4 P(A_i)P(B | A_i) = \frac{2}{20} × 0.85 + \frac{6}{20} × 0.64 + \frac{9}{20} × 0.45 + \frac{3}{20} × 0.32 = 0.5275P(B)=∑i=14P(Ai)P(B∣Ai)=202×0.85+206×0.64+209×0.45+203×0.32=0.5275

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