AI笔记: 数学基础之函数的导数应用及求导公式

关于导数

导数是数学中非常重要的概念，它能反应出速度变化的快慢，尤其在AI的算法分析，优化以及数据挖掘中用到很多

导数的引出

引例1

变速直线运动的速度
- s是距离，t是时间，v是速度
- 设描述指点运动的位置函数为 s=f(t)s = f(t)s=f(t)
- 则t0t_0t0到t的平均速度为 v→=f(t)−f(t0)t−t0\overrightarrow{v} = \frac{f(t) - f(t_0)}{t - t_0}v=t−t0f(t)−f(t0)
- 而在t0t_0t0时刻的瞬时速度为 v=lim⁡t→t0f(t)−f(t0)t−t0v = \lim_{t \to t_0} \frac{f(t) - f(t_0)}{t - t_0}v=limt→t0t−t0f(t)−f(t0)

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引例2

曲线的切线斜率
- 曲线C: y=f(x)y = f(x)y=f(x) 在M点处的切线MT，与x轴夹角是α\alphaα
- MN是曲线C的一条割线，与x轴夹角是β\betaβ
- 割线MN的极限位置MT(当β→α\beta \to \alphaβ→α时)
- 切线MT的斜率 k=tanα=lim⁡β→αtanβk = tan \alpha = \lim_{\beta \to \alpha} tan \betak=tanα=limβ→αtanβ
- 割线MN的斜率 tanϕ=f(x)−f(x0)x−x0tan \phi = \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}tanϕ=x−x0f(x)−f(x0) 如图虚线所示的比
- k=lim⁡x→x0f(x)−f(x0)x−x0k = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}k=limx→x0x−x0f(x)−f(x0)
- 可见增量比的极限就是曲线C在M点处的切线MT

导数的定义

设函数y=f(x)在点x0x_0x0的某临域内有定义
设△y=f(x)−f(x0)\triangle y = f(x) - f(x_0)△y=f(x)−f(x0)
设δx=x−x0\delta x = x - x_0δx=x−x0
若lim⁡x→x0f(x)−f(x0)x−x0=lim⁡δx→0δyδx\lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = \lim_{\delta x \to 0} \frac{\delta y}{\delta x}limx→x0x−x0f(x)−f(x0)=limδx→0δxδy 存在
则称函数f(x)在点x0x_0x0处可导，并称此极限为y=f(x)在点x0x_0x0的导数
记为：
- y′∣x=x0\mathop{{\left. y' \right| }}\nolimits_{{x=\mathop{{x}}\nolimits_{{0}}}}y′∣x=x0
- f′(x0)f'(x_0)f′(x0)
- dydx∣x=x0\mathop{{\left. \frac{dy}{dx} \right| }}\nolimits_{{x=\mathop{{x}}\nolimits_{{0}}}}dxdy∣∣∣x=x0
- df(x)dx∣x=x0\mathop{{\left. \frac{df(x)}{dx} \right| }}\nolimits_{{x=\mathop{{x}}\nolimits_{{0}}}}dxdf(x)∣∣∣x=x0
- 以上四种均可表示，即：y′∣x=x0=f′(x0)=lim⁡△x→0△y△x=lim⁡△x→0f(x0+△x)−f(x0)△x\mathop{{\left. y' \right| }}\nolimits_{{x=\mathop{{x}}\nolimits_{{0}}}} = f'(x_0) = \lim_{\triangle x \to 0} \frac{\triangle y}{\triangle x} = \lim_{\triangle x \to 0} \frac{f(x_0 + \triangle x) - f(x_0)}{\triangle x}y′∣x=x0=f′(x0)=lim△x→0△x△y=lim△x→0△xf(x0+△x)−f(x0)

导数公式

常数和基本初等函数的导数公式

仅供查阅

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基本求导法则

1 ） 函数的和、差、积、商的求导法则

设 u=u(x),v=v(x)u = u(x), v = v(x)u=u(x),v=v(x) 都可导，则
- (1) (u±v)′=u′±v′(u \pm v)' = u' \pm v'(u±v)′=u′±v′
- (2) (Cu)′=Cu′(Cu)' = Cu'(Cu)′=Cu′ (C是常数)
- (3) (uv)′=u′v+uv′(uv)' = u'v + uv'(uv)′=u′v+uv′
- (4) (uv)′=u′v−uv′v2(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}(vu)′=v2u′v−uv′ (v≠0v \neq 0v=0)

2 ) 反函数的求导法则

如果函数x=f(y)x=f(y)x=f(y)在区间IyI_yIy内单调、可导且f′(y)≠0f'(y) \neq 0f′(y)=0
则它的反函数y=f−1(x)y=f^{-1}(x)y=f−1(x)在区间Ix={x∣x=f(y),y∈Iy}I_x = \{ x| x = f(y), y \in I_y \}Ix={x∣x=f(y),y∈Iy}内也可导，且有
[f−1(x)]′=1f′(y)[f^{-1}(x)]' = \frac{1}{f'(y)}[f−1(x)]′=f′(y)1 或 dydx=1dxdy\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}}dxdy=dydx1

3 ) 复合函数求导法则

设y=f(u),u=φ(x)y=f(u), u=\varphi (x)y=f(u),u=φ(x), 则复合函数y=f[φ(x)]y = f[\varphi (x)]y=f[φ(x)]的导数为
dydx=dydu∗dudx=f′(u)∗φ′(x)\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} * \frac{du}{dx} = f'(u)*\varphi ' (x)dxdy=dudy∗dxdu=f′(u)∗φ′(x)

例子1

求y=2x3−5x2+3x−7y=2x^3 - 5x^2 + 3x - 7y=2x3−5x2+3x−7的导数
- y′=2∗3∗x2−5∗2∗x+3+0y' = 2*3*x^2 - 5*2*x + 3 + 0y′=2∗3∗x2−5∗2∗x+3+0
- y′=6x2−10x+3y' = 6x^2 - 10x + 3y′=6x2−10x+3

例子2

已知f(x)=x3+4cosx−sinπ2f(x) = x^3 + 4cosx - sin \frac{\pi}{2}f(x)=x3+4cosx−sin2π, 求f′(x)、f′(π2)f'(x) 、f'(\frac{\pi}{2})f′(x)、f′(2π)
- f′(x)=3∗x2−4∗sinx−0f'(x) = 3*x^2 - 4*sin x - 0f′(x)=3∗x2−4∗sinx−0
- f′(x)=3x2−4sinxf'(x) = 3x^2 - 4sinxf′(x)=3x2−4sinx
- f′(π2)=3∗(π2)2−4∗π2f'(\frac{\pi}{2}) = 3*(\frac{\pi}{2})^2 - 4*\frac{\pi}{2}f′(2π)=3∗(2π)2−4∗2π
- f′(π2)=34π2−4f'(\frac{\pi}{2}) = \frac{3}{4} \pi^2 - 4f′(2π)=43π2−4

例子3

求y=x∗lnxy=\sqrt{x} * ln xy=x∗lnx的导数
- y′=(x′lnx+x(lnx)′)y' = (\sqrt{x}'ln x + \sqrt{x}(ln x)')y′=(x′lnx+x(lnx)′)
- y′=12∗1x∗lnx+x∗1xy' = \frac{1}{2} * \frac{1}{\sqrt{x}} * ln x + \sqrt{x} * \frac{1}{x}y′=21∗x1∗lnx+x∗x1
- y′=1x(lnx2+1)y' = \frac{1}{\sqrt{x}} (\frac{ln x}{2} + 1)y′=x1(2lnx+1)

例子4

求y=ex(sinx+cosx)y=e^x(sin x + cos x)y=ex(sinx+cosx)的导数
- y′=(ex)′(sinx+cosx)+ex(sinx+cosx)′y' = (e^x)'(sin x + cos x) + e^x(sinx + cosx)'y′=(ex)′(sinx+cosx)+ex(sinx+cosx)′
- y′=ex(sinx+cosx)+ex(cosx−sinx)y' = e^x(sin x + cos x) + e^x(cosx - sinx)y′=ex(sinx+cosx)+ex(cosx−sinx)
- y′=ex∗2∗cosxy' = e^x * 2 * cos xy′=ex∗2∗cosx
- y′=2excosxy' = 2 e^x cos xy′=2excosx

高阶导数

若函数y=f(x)的导数y′=f′(x)y' = f'(x)y′=f′(x)可导
则称f′(x)f'(x)f′(x)的导数为f(x)的二阶导数
记为 y′′y''y′′ 或 d2ydx2\frac{d^2y}{dx^2}dx2d2y
即：y′′=(y′)′y'' = (y')'y′′=(y′)′ 或 d2ydx2=ddx∗(dydx)\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx} * (\frac{dy}{dx})dx2d2y=dxd∗(dxdy)
类似地，二阶导数的导数称为三阶导数，以此类推，n-1阶导数的导数称为n阶导数，分别记为：
y′,y′′,y′′′,y(4),y(5),...,y(n)y', y'', y''', y^{(4)}, y^{(5)}, ..., y^{(n)}y′,y′′,y′′′,y(4),y(5),...,y(n) 或 f′(x),f′′(x),f′′′(x),f(4)(x),f(5)(x),...,f(n)(x)f'(x), f''(x), f'''(x), f^{(4)}(x), f^{(5)}(x), ..., f^{(n)}(x)f′(x),f′′(x),f′′′(x),f(4)(x),f(5)(x),...,f(n)(x)
y(n)=dnydxny^{(n)} = \frac{d^ny}{dx^n}y(n)=dxndny
原函数可以称为0阶导数
二阶及其以上导数统称为高阶导数

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