向量点乘和叉乘的应用

一、向量的点乘

1、点乘的计算公式

$\vec{a}$ $\cdot$ $\vec{b}$ = $\left \| a \right \|$ $\left \| b \right \|$ $\cos\theta$

其中 $\left \| a \right \|$ 表示的是向量a的模即长度， $\theta$ 为向量a与向量b形成的夹角

2、点乘的矩阵表示

$\vec{a}$ $\cdot$ $\vec{b}$ = $\binom{x_{a}}{y_{_{a}}}$ $\cdot$ $\binom{x_{b}}{y_{b}}$ = $x_{a}x_{b} + y_{a}y_{b}$

3、应用

(1) 计算两个向量之间的夹角，如下：

$\cos \theta$ = $\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{\left \| a \right \|\left \| b \right \|}$ = $\binom{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}\cdot \binom{1}{0}$ = $\frac{\sqrt{2}}{2}\ast 1+\frac{\sqrt{2}}{2}\ast 0$ = $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，得出 $\theta$ 为45度

在cocosCreator中，

情况1：已知两个向量，求夹角：

let v1 = cc.v2(0 , 100);
let v2 = cc.v2(100 , 0);
let s1 = v1.signAngle(v2);   //逆时针是正，顺时针是负
let s2 = s1 * 180 / (Math.PI); //将弧度转成角度

情况2：已知一个向量和要旋转的角度，求另一个向量：

 let v3 = cc.v2(0 , 100);let angle = 90; //要旋转的角度let hudu = angle * Math.PI / 180;  //将角度转成弧度let r4 = v3.rotate(hudu);   //rotate方法中的参数，正数表示逆时针，负数表示顺时针

（2）向量b在a上的投影，可以将力进行分解

结论：最后红线部分的长度 = $\left \| b \right \|$ $\ast$ $\cos \theta$

（3）判断两个向量是否接近或者方向相同

结论：

$\vec{a}$ $\cdot$ $\vec{b}$ > 0，方向相同，越趋近1，越近

$\vec{a}$ $\cdot$ $\vec{c}$ < 0，方向相反，越趋近-1，越远

二、向量叉乘

1、叉乘的定义：向量a叉乘向量b得到向量c，向量c垂直于向量a、b所形成的平面，方向由右手螺旋定则决定。 $\vec{a}$ $\times$ $\vec{b}$ ，即伸出右手，四个手指初始放在向量a的位置，然后四个手指向手心往向量b的方向收缩，得到大拇指的方向就是向量c的方向。

特殊： $\vec{a}$ $\times$ $\vec{a}$ = $\vec{0}$ ，根据叉乘的计算公式，向量自己的叉乘得到的是零向量。

2、叉乘的矩阵表示

3、应用

（1）判断一个向量在另一个向量的左侧还是右侧

根据三维坐标系和右手螺旋定则得到 $\vec{a}\times \vec{b}$ 后的向量垂直向上，说明 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 的左侧，反过来， $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 的右侧。

（2）判断一个点是否在三角形内，可用于图形光栅化时候的采样，该点是否该被选取为像素点。

$\vec{AB}\times \vec{AP}$ > 0

$\vec{BC}\times \vec{BP}$ > 0

$\vec{CA}\times \vec{CP}$ > 0

三角形的三条边和点P形成的向量进行叉乘后都大于0，说明点P是在三角形ABC内。