性质4 绝对可积性

若 f(x)f(x) 在 [a,b][a, b] 上可积，则 |f(x)||f(x)| 也在 [a,b][a, b] 上可积，且
|∫baf(x)dx|≤∫ba|f(x)|dx| \int_{a} ^{b} f(x) \mathrm {d} x | \le \int_{a} ^{b} |f(x)| \mathrm {d} x

证明：

f(x)f(x) 在 [a,b][a, b] 上可积，则 f(x)f(x) 在 [a,b][a, b] 上有界，因此 |f(x)||f(x)| 也在 [a,b][a, b] 上有界。
对于区间 [a,b][a,b] 的任意一个划分 P P， ∀i∈N,1≤i≤n,\forall i \in \mathbb N, 1 \le i \le n,
令 Mi=sup{|f(x)|:x∈[xi−1,xi],},M_i = \sup \{|f(x)|: x \in [x_{i - 1}, x_i], \},
mi=inf{|f(x)|:x∈[xi−1,xi]},m_i = \inf \{|f(x)|: x \in [x_{i - 1}, x_i] \},
wi=Mi−mi,w_i = M_i - m_i,

令 M′i=sup{f(x):x∈[xi−1,xi],},M_i' = \sup \{f(x): x \in [x_{i - 1}, x_i], \},
m′i=inf{f(x):x∈[xi−1,xi]},m_i' = \inf \{f(x): x \in [x_{i - 1}, x_i] \},
w′i=M′i−m′i,w_i' = M_i' - m_i',

则：
∀ε>0,∃x^∈[xi−1,xi],\forall \varepsilon \gt 0, \exists \hat x \in [x_{i - 1}, x_i], 使得 |f(x^)|>Mi−ε2, |f( \hat x)| \gt M_i - \dfrac {\varepsilon} {2} ,
∃x~∈[xi−1,xi],\exists \tilde x \in [x_{i - 1}, x_i], 使得 |f(x~)|<mi+ε2, |f( \tilde x)| \lt m_i + \dfrac {\varepsilon} {2},
易知 m′i≤f(x^),f(x~)≤M′i,m_i' \le f( \hat x), f( \tilde x) \le M_i',
⇒m′i−M′i≤f(x^)−f(x~)≤M′i−m′i=w′i,\Rightarrow m_i' - M_i' \le f( \hat x) - f( \tilde x) \le M_i' - m_i' = w_i',
⇒|f(x^)−f(x~)|≤w′i,\Rightarrow |f( \hat x) - f( \tilde x)| \le w_i',
因此
wi−ε=Mi−mi−εw_i - \varepsilon = M_i - m_i - \varepsilon
<|f(x^)|−|f(x~)|\lt |f( \hat x)| - |f( \tilde x)|
≤||f(x^)|−|f(x~)||\le | \left |f( \hat x) \right| - \left |f( \tilde x) \right| |
≤|f(x^)−f(x~)|,\le |f( \hat x) - f( \tilde x)| ,
=w′i,= w_i',
⇒wi≤w′i,\Rightarrow w_i \le w_i',
f(x)f(x) 在 [a,b][a, b] 上可积，则
∀ε>0,\forall \varepsilon \gt 0, 存在区间 [a,b][a,b] 的划分 P P，使得
∑ni=1w′iΔxi<ε,\sum _{i = 1} ^{n} w_i' \Delta x_i \lt \varepsilon,
⇒∑ni=1wiΔxi≤∑ni=1w′iΔxi<ε,\Rightarrow \sum _{i = 1} ^{n} w_i \Delta x_i \le \sum _{i = 1} ^{n} w_i' \Delta x_i \lt \varepsilon,
因此 |f(x)||f(x)| 也在 [a,b][a, b] 上可积。
易知 ∀x∈[a,b],−|f(x)|≤f(x)≤|f(x)|,\forall x \in [a, b], -|f(x)| \le f(x) \le |f(x)|,
由性质3，
−∫ba|f(x)|dx=∫ba[−|f(x)|]dx≤∫baf(x)dx≤∫ba|f(x)|dx,- \int_{a} ^{b} |f(x)| \mathrm {d} x =\int_{a} ^{b} [-|f(x)|] \mathrm {d} x \le \int_{a} ^{b} f(x) \mathrm {d} x \le \int_{a} ^{b} |f(x)| \mathrm {d} x,
因此 |∫baf(x)dx|≤∫ba|f(x)|dx| \int_{a} ^{b} f(x) \mathrm {d} x | \le \int_{a} ^{b} |f(x)| \mathrm {d} x

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