性质6 积分第一中值定理

设 f(x),g(x)f(x), g(x) 都在 [a,b][a, b] 上可积， g(x)g(x)在 [a,b][a, b] 上不变号，
令 M=sup{f(x):x∈[a,b]},m=inf{f(x):x∈[a,b]},M = \sup \{f(x): x \in [a, b]\}, m = \inf \{f(x): x \in [a, b]\},
则存在 η∈[m,M],\eta \in [m, M], 使得
∫baf(x)g(x)dx=η∫bag(x)dx,\int _{a} ^{b} f(x) g(x) \mathrm {d} x = \eta \int _{a} ^{b} g(x) \mathrm {d} x,
特别的，若 f(x)f(x) 在 [a,b][a, b] 上连续，则存在 ξ∈[a,b],\xi \in [a, b], 使得
∫baf(x)g(x)dx=f(ξ)∫bag(x)dx,\int _{a} ^{b} f(x) g(x) \mathrm {d} x = f(\xi) \int _{a} ^{b} g(x) \mathrm {d} x,

证明：

因为g(x)g(x)在 [a,b][a, b] 上不变号，不妨设 g(x)≥0,x∈[a,b],g(x) \ge 0, x \in [a, b], 于是有
mg(x)≤f(x)g(x)≤Mg(x),m g(x) \le f(x) g(x) \le M g(x),
由性质3，得
m∫bag(x)dx≤∫baf(x)g(x)dx≤M∫bag(x)dx,m \int _{a} ^{b} g(x) \mathrm {d} x \le \int _{a} ^{b} f(x) g(x) \mathrm {d} x \le M \int _{a} ^{b} g(x) \mathrm {d} x,
因此必存在 η∈[m,M],\eta \in [m, M], 使得
∫baf(x)g(x)dx=η∫bag(x)dx,\int _{a} ^{b} f(x) g(x) \mathrm {d} x = \eta \int _{a} ^{b} g(x) \mathrm {d} x,
若 f(x)f(x) 在 [a,b][a, b] 上连续，则存在 ξ∈[a,b],\xi \in [a, b], 使得 f(ξ)=η,f(\xi) = \eta, 因此
∫baf(x)g(x)dx=f(ξ)∫bag(x)dx\int _{a} ^{b} f(x) g(x) \mathrm {d} x = f(\xi) \int _{a} ^{b} g(x) \mathrm {d} x

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