数学分析笔记7：定积分

定积分的定义与性质

定积分的定义

定积分的概念来源于求和运算的连续化，我们目前已知的求和手段都是有限求和，为了将求和运算扩充到无限个数求和，必须引入极限手段。扩充手段有两种——可列情形对应的是级数理论，不可列情形对应的则是积分。但我们都要首先清楚，本节所讨论的本质，就是无穷情形下的“求和”运算。
定义7.1 f(x)f(x)f(x)是定义在闭区间[a,b][a,b][a,b]的函数，x0,x1,⋯,xnx_0,x_1,\cdots,x_nx0,x1,⋯,xn满足：a=x0<x1<⋯<xn=ba=x_0<x_1<\cdots<x_n=ba=x0<x1<⋯<xn=b，集合{x0,x1,⋯,xn}\{x_0,x_1,\cdots,x_n\}{x0,x1,⋯,xn}称为[a,b][a,b][a,b]的一个分划，记为Δ\DeltaΔ
对每个小区间：[xi−1,xi](i=1,⋯,n)[x_{i-1},x_i](i=1,\cdots,n)[xi−1,xi](i=1,⋯,n)，取ξi∈[xi−1,xi](i=1,⋯,n)\xi_i\in[x_{i-1},x_i](i=1,\cdots,n)ξi∈[xi−1,xi](i=1,⋯,n)，和式：∑i=1nf(ξi)(xi−xi−1)\sum_{i=1}^{n}{f(\xi_i)(x_i-x_{i-1})}∑i=1nf(ξi)(xi−xi−1)称为f(x)f(x)f(x)在分划Δ\DeltaΔ下的一个Riemann和，记为S(Δ,f)S(\Delta,f)S(Δ,f)

Riemann和有鲜明的几何意义，见下图，为了求得曲线y=f(x)y=f(x)y=f(x)在[a,b][a,b][a,b]区间上的曲线段下的面积，我们通常用有限矩体进行逼近。Riemann和的每一项对应一个矩形的面积，可以预见：当区间越分越细的时候，矩形面积和就逼近图形的真实面积，就是定积分的基本思想。
定义7.2 f(x)f(x)f(x)是定义在闭区间[a,b][a,b][a,b]的函数，Δ={x0,x1,⋯,xn}\Delta = \{x_0,x_1,\cdots,x_n\}Δ={x0,x1,⋯,xn}是[a,b][a,b][a,b]的任意分划，令λ(Δ)=max⁡1≤i≤n(xi−xi−1)\lambda(\Delta)=\max_{ 1\le i\le n}(x_{i}-x_{i-1})λ(Δ)=max1≤i≤n(xi−xi−1)，如果存在实数III，对任意的ε>0\varepsilon>0ε>0，存在δ>0\delta>0δ>0，当λ(Δ)<δ\lambda(\Delta)<\deltaλ(Δ)<δ时，无论小区间内点如何选取，都有∣S(Δ,f)−A∣<ε|S(\Delta,f)-A|<\varepsilon∣S(Δ,f)−A∣<ε则称f(x)f(x)f(x)在闭区间[a,b][a,b][a,b]上Riemann可积，简称可积，III称为f(x)f(x)f(x)在闭区间[a,b][a,b][a,b]上的积分，记为∫abf(x)dx=I\int_a^b{f(x)dx}=I∫abf(x)dx=I
定积分的几何意义就是区间y=f(x)y=f(x)y=f(x)与xxx轴，连同x=ax=ax=a，x=bx=bx=b围成图形的面积。

定积分的可积性理论——达布理论

下一个问题是：满足什么条件下，f(x)f(x)f(x)在闭区间[a,b][a,b][a,b]是可积的？我们先从连续函数入手。
定理7.1 闭区间[a,b][a,b][a,b]上的连续函数都是Riemann可积的

证：
为了证明闭区间[a,b][a,b][a,b]上的连续函数f(x)f(x)f(x)都是Riemann可积的，我们首先要找到一个实数III，也就是f(x)f(x)f(x)的积分值，其次，再证明f(x)f(x)f(x)的积分就是III。
第一步：找一个实数III。
先取一个分划列Δn={x0(n),x1(n),⋯,x2n(n)}\Delta_n=\{x^{(n)}_0,x^{(n)}_1,\cdots,x^{(n)}_{2^n}\}Δn={x0(n),x1(n),⋯,x2n(n)}，其中xk(n)=a+k2n(b−a)x^{(n)}_k=a+\frac{k}{2^n}(b-a)xk(n)=a+2nk(b−a)，令区间Ik(n)=[xk−1(n),xk(n)]I^{(n)}_k = [x^{(n)}_{k-1},x^{(n)}_k]Ik(n)=[xk−1(n),xk(n)]，k=1,⋯,2nk=1,\cdots,2^nk=1,⋯,2n，n=1,2,⋯n=1,2,\cdotsn=1,2,⋯。那么Δn\Delta_nΔn是Δn−1\Delta_{n-1}Δn−1的加细（即Δn⊂Δn−1\Delta_n\subset\Delta_{n-1}Δn⊂Δn−1)，再令Mk(n)=max⁡x∈Ik(n)(f(x))M_k^{(n)} = \max_{x\in I_k^{(n)}}(f(x))Mk(n)=maxx∈Ik(n)(f(x)),mk(n)=min⁡x∈Ik(n)(f(x))m_k^{(n)} = \min_{x\in I_k^{(n)}}(f(x))mk(n)=minx∈Ik(n)(f(x))，作和式S‾(Δn)=∑k=02nMk(n)b−a2n\overline{S}(\Delta_{n}) = \sum_{k=0}^{2^n}{M_k^{(n)}\frac{b-a}{2^n}}S(Δn)=k=0∑2nMk(n)2nb−aS‾(Δn)=∑k=02nmk(n)b−a2n\underline{S}(\Delta_{n}) = \sum_{k=0}^{2^n}{m_k^{(n)}\frac{b-a}{2^n}}S(Δn)=k=0∑2nmk(n)2nb−a则S‾(Δn)\overline{S}(\Delta_{n})S(Δn)是单调下降的，S‾(Δn)\underline{S}(\Delta_{n})S(Δn)是单调上升。令I‾=lim⁡n→∞S‾(Δn)\overline{I} = \lim_{n\to\infty}{\overline{S}(\Delta_{n})}I=limn→∞S(Δn)，I‾=lim⁡n→∞S‾(Δn)\underline{I} = \lim_{n\to\infty}{\underline{S}(\Delta_{n})}I=limn→∞S(Δn)S‾(Δn)−S‾(Δn)=b−a2n∑k=0(Mk(n)−mk(n))\overline{S}(\Delta_{n})-\underline{S}(\Delta_{n}) =\frac{b-a}{2^n}\sum_{k=0}{(M_k^{(n)}-m_k^{(n)})}S(Δn)−S(Δn)=2nb−ak=0∑(Mk(n)−mk(n))由f(x)f(x)f(x)在[a,b][a,b][a,b]上连续，f(x)f(x)f(x)在[a,b][a,b][a,b]上一致连续，对任意的ε>0\varepsilon>0ε>0，存在δ>0\delta>0δ>0，对任意的[a,b][a,b][a,b]内两点x1,x2x_1,x_2x1,x2
，只要∣x1−x2∣<δ|x_1-x_2|<\delta∣x1−x2∣<δ，就有∣f(x1)−f(x2)∣<εb−a|f(x_1)-f(x_2)|<\frac{\varepsilon}{b-a}∣f(x1)−f(x2)∣<b−aε再由连续性f(x)f(x)f(x)在[a,b][a,b][a,b]上可取得最大值和最小值。这样，只要b−a2n<δ\frac{b-a}{2^n}<\delta2nb−a<δ就有(Mk(n)−mk(n))<εb−a(M_k^{(n)}-m_k^{(n)})<\frac{\varepsilon}{b-a}(Mk(n)−mk(n))<b−aεS‾(Δn)−S‾(Δn)<ε\overline{S}(\Delta_{n})-\underline{S}(\Delta_{n})<\varepsilonS(Δn)−S(Δn)<ε记I=I‾=I‾I=\overline{I}=\underline{I}I=I=I
第二步，证明：∫abf(x)dx=I\int_a^b{f(x)dx}=I∫abf(x)dx=I
对任意的分划Δ\DeltaΔ，令Δn′=Δn∪Δ\Delta^\prime_n = \Delta_n \cup \DeltaΔn′=Δn∪Δ，再令Δn′={y0(n),y1(n),⋯,ykn(n)}\Delta^\prime_n = \{y_0^{(n)},y_1^{(n)},\cdots,y_{k_n}^{(n)}\}Δn′={y0(n),y1(n),⋯,ykn(n)}，其中a=y0(n)<y1(n)<⋯<ykn(n)=ba=y_0^{(n)}<y_1^{(n)}<\cdots<y_{k_n}^{(n)}=ba=y0(n)<y1(n)<⋯<ykn(n)=b，任取一个Riemann和S(Δ,f)S(\Delta,f)S(Δ,f)，设ξk(n)\xi_k^{(n)}ξk(n)是区间[yk−1(n),yk(n)][y_{k-1}^{(n)},y_k^{(n)}][yk−1(n),yk(n)]在Δ\DeltaΔ中对应的分划中，f(x)f(x)f(x)的取点。Mk′′(n),mk′(n)M_k^{'\prime(n)},m_k^{\prime(n)}Mk′′(n),mk′(n)是f(x)f(x)f(x)在区间[yk−1(n),yk(n)][y_{k-1}^{(n)},y_k^{(n)}][yk−1(n),yk(n)]的最大值和最小值。
同时令S‾(Δn′)=∑i=0knMk′(n)(yk(n)−yk−1(n))\overline{S}(\Delta^\prime_n) = \sum_{i=0}^{k_n} {M_k^{\prime(n)}(y_k^{(n)}-y_{k-1}^{(n)})}S(Δn′)=i=0∑knMk′(n)(yk(n)−yk−1(n))S‾(Δn′)=∑i=0knmk′(n)(yk(n)−yk−1(n))\underline{S}(\Delta^\prime_n) = \sum_{i=0}^{k_n} {m_k^{\prime(n)}(y_k^{(n)}-y_{k-1}^{(n)})}S(Δn′)=i=0∑knmk′(n)(yk(n)−yk−1(n))由于Δn′\Delta^\prime_nΔn′是Δn\Delta_nΔn的加细，就有S‾(Δn)≤S‾(Δn′)≤S‾(Δn′)≤S‾(Δn)\underline{S}(\Delta_n)\le\underline{S}(\Delta^\prime_n) \le\overline{S}(\Delta^\prime_n)\le\overline{S}(\Delta_n)S(Δn)≤S(Δn′)≤S(Δn′)≤S(Δn)由夹逼准则，就有lim⁡n→∞S‾(Δn′)=lim⁡n→∞S‾(Δn′)=I\lim_{n\to\infty}{\overline{S}(\Delta^\prime_n)} =\lim_{n\to\infty}{\underline{S}(\Delta^\prime_n)} =In→∞limS(Δn′)=n→∞limS(Δn′)=I对任意的ε>0\varepsilon>0ε>0，存在NNN，n≥Nn\ge Nn≥N时，有∣lim⁡n→∞S‾(Δn′)−I∣<ε2|\lim_{n\to\infty}{\overline{S}(\Delta^\prime_n)}-I|< \frac{\varepsilon}{2}∣n→∞limS(Δn′)−I∣<2ε取定一个nnn，又由一致连续性，存在δ>0\delta>0δ>0，当∣x1−x2∣<δ|x_1-x_2|<\delta∣x1−x2∣<δ时，∣f(x1)−f(x2)<ε2(b−a)|f(x_1)-f(x_2)<\frac{\varepsilon}{2(b-a)}∣f(x1)−f(x2)<2(b−a)ε，这样，当λ(Δ)<δ\lambda(\Delta)<\deltaλ(Δ)<δ时，∣ξk(n)−Mk′(n)∣<ε2(b−a)|\xi_k^{(n)}-M_k^{\prime(n)}|< \frac{\varepsilon}{2(b-a)}∣ξk(n)−Mk′(n)∣<2(b−a)ε，于是∣S(Δ,f)−S‾(Δn′)∣<ε2|S(\Delta,f)-\overline{S}(\Delta^\prime_n)|<\frac{\varepsilon}{2}∣S(Δ,f)−S(Δn′)∣<2ε∣S(Δ,f)−I∣≤∣S(Δ,f)−S‾(Δn′)∣+∣ξk(n)−Mk′(n)∣<ε|S(\Delta,f)-I|\le |S(\Delta,f)-\overline{S}(\Delta^\prime_n)| +|\xi_k^{(n)}-M_k^{\prime(n)}| < \varepsilon∣S(Δ,f)−I∣≤∣S(Δ,f)−S(Δn′)∣+∣ξk(n)−Mk′(n)∣<ε

从正面过程可以知道，一致连续性对可积性来说是十分重要的一个性质。
对一般的函数，在每个小区间上不一定能取到最大值和最小值。然而，我们依然可以仿照以上证明过程，给出一个上和和下和的概念。
定义7.3 f(x)f(x)f(x)是闭区间[a,b][a,b][a,b]的一个有界函数，Δ={x0,x1,⋯,xn}\Delta=\{x_0,x_1,\cdots,x_n\}Δ={x0,x1,⋯,xn}是[a,b][a,b][a,b]的一个分划，a=x0<x1<⋯<xn=ba=x_0<x_1<\cdots<x_n=ba=x0<x1<⋯<xn=b，Mi=sup⁡xi−1<x<xif(x),mi=inf⁡xi−1<x<xif(x)M_i = \sup_{x_{i-1}<x<x_i}{f(x)},m_i=\inf_{x_{i-1}<x<x_i}{f(x)}Mi=supxi−1<x<xif(x),mi=infxi−1<x<xif(x)，称和式S‾(Δ,f)=∑i=0nMi(xi−xi−1)\overline{S}(\Delta,f) = \sum_{i=0}^n{M_i(x_i-x_{i-1})}S(Δ,f)=∑i=0nMi(xi−xi−1)是fff在[a,b][a,b][a,b]上的达布上和，S‾(Δ,f)=∑i=0nmi(xi−xi−1)\underline{S}(\Delta,f) = \sum_{i=0}^n{m_i(x_i-x_{i-1})}S(Δ,f)=∑i=0nmi(xi−xi−1)是fff在[a,b][a,b][a,b]上的达布下和

容易证明如下三条引理
引理7.1 f(x)f(x)f(x)是闭区间[a,b][a,b][a,b]的一个有界函数，Δ={x0,x1,⋯,xn}\Delta=\{x_0,x_1,\cdots,x_n\}Δ={x0,x1,⋯,xn}是[a,b][a,b][a,b]的一个分划，a=x0<x1<⋯<xn=ba=x_0<x_1<\cdots<x_n=ba=x0<x1<⋯<xn=b，S‾(Δ,f)\overline{S}(\Delta,f)S(Δ,f)是一切fff在Δ\DeltaΔ上的Riemann和的上确界，S‾(Δ,f)\underline{S}(\Delta,f)S(Δ,f)是一切fff在Δ\DeltaΔ上的Riemann和的下确界

引理7.2 f(x)f(x)f(x)是闭区间[a,b][a,b][a,b]的一个有界函数，Δ1,Δ2\Delta_1,\Delta_2Δ1,Δ2是[a,b][a,b][a,b]的两个分划，并且，Δ1⊂Δ2\Delta_1\subset\Delta_2Δ1⊂Δ2，则S‾(Δ1)≤S‾(Δ2)≤S‾(Δ2)≤S‾(Δ1)\underline{S}(\Delta_1)\le\underline{S}(\Delta_2) \le\overline{S}(\Delta_2)\le\overline{S}(\Delta_1)S(Δ1)≤S(Δ2)≤S(Δ2)≤S(Δ1)

引理7.3 f(x)f(x)f(x)是闭区间[a,b][a,b][a,b]的一个有界函数，则f(x)f(x)f(x)的任意达布下和不超过任意达布上和，即使他们对应不同的分划

这样，一切达布上和有下界，一切达布上和有上界，那么达布上和有下确界，我们记为I‾\overline{I}I，达布下和有上确界，我们记为I‾\underline{I}I，并且I‾≤I‾\underline{I}\le \overline{I}I≤I。类似于连续函数可积性的证明过程，我们猜想：I‾=I‾=I\underline{I}= \overline{I}=II=I=I时，III就是f(x)f(x)f(x)在[a,b][a,b][a,b]上的积分。
定理7.2 有界函数f(x)f(x)f(x)在[a,b][a,b][a,b]上可积的充要条件是：lim⁡λ(Δ)→0[S‾(Δ,f)−S‾(Δ,f)]=0\lim_{\lambda(\Delta)\to 0}{[ \overline{S}(\Delta,f)-\underline{S}(\Delta,f) ]}=0λ(Δ)→0lim[S(Δ,f)−S(Δ,f)]=0

证：
必要性，如果f(x)f(x)f(x)在[a,b][a,b][a,b]上可积，设I=∫abf(x)dxI=\int_a^b{f(x)dx}I=∫abf(x)dx。
对任意的ε>0\varepsilon>0ε>0，存在δ>0\delta>0δ>0,对任意的分划Δ\DeltaΔ，当λ(Δ)<δ\lambda(\Delta)<\deltaλ(Δ)<δ时，任意S(Δ,f)S(\Delta,f)S(Δ,f)都有：I−ε<S(Δ,f)<I+εI-\varepsilon < S(\Delta,f) < I+\varepsilonI−ε<S(Δ,f)<I+ε由引理7.2S‾(Δ,f)≤I+ε\overline{S}(\Delta,f)\le I+\varepsilonS(Δ,f)≤I+εS‾(Δ,f)≥I−ε\underline{S}(\Delta,f)\ge I-\varepsilonS(Δ,f)≥I−ε就有I−ε≤S‾(Δ,f)≤I‾≤I‾≤S‾(Δ,f)≤I+εI-\varepsilon \le \underline{S}(\Delta,f) \le \underline{I} \le \overline{I} \le \overline{S}(\Delta,f) \le I+\varepsilonI−ε≤S(Δ,f)≤I≤I≤S(Δ,f)≤I+ε这样，S‾(Δ,f)−S‾(Δ,f)≤2ε\overline{S}(\Delta,f)-\underline{S}(\Delta,f) \le 2\varepsilonS(Δ,f)−S(Δ,f)≤2ε这就说明了，lim⁡λ(Δ)→0[S‾(Δ,f)−S‾(Δ,f)]=0\lim_{\lambda(\Delta)\to 0}{[ \overline{S}(\Delta,f)-\underline{S}(\Delta,f) ]}=0λ(Δ)→0lim[S(Δ,f)−S(Δ,f)]=0同时，由ε\varepsilonε的任意性，还可以得出I‾=I‾\overline{I}=\underline{I}I=I的结论
充分性，如果lim⁡λ(Δ)→0[S‾(Δ,f)−S‾(Δ,f)]=0\lim_{\lambda(\Delta)\to 0}{[ \overline{S}(\Delta,f)-\underline{S}(\Delta,f) ]}=0λ(Δ)→0lim[S(Δ,f)−S(Δ,f)]=0由不等式：S‾(Δ,f)≤I‾≤I‾≤S‾(Δ,f)≤\underline{S}(\Delta,f) \le \underline{I} \le \overline{I} \le \overline{S}(\Delta,f) \le S(Δ,f)≤I≤I≤S(Δ,f)≤可以得出结论：I‾=I‾\overline{I}=\underline{I}I=I
设I‾=I‾=I\overline{I}=\underline{I}=II=I=I，对任意的分划Δ\DeltaΔ，就有S‾(Δ,f)≤I≤S‾(Δ,f)\underline{S}(\Delta,f)\le I \le\overline{S}(\Delta,f)S(Δ,f)≤I≤S(Δ,f)对任意的Riemann和，都有S‾(Δ,f)≤S(Δ,f)≤S‾(Δ,f)\underline{S}(\Delta,f)\le S(\Delta,f) \le \overline{S}(\Delta,f)S(Δ,f)≤S(Δ,f)≤S(Δ,f)这样，0<∣S(Δ,f)−I∣≤S‾(Δ,f)−S‾(Δ,f)0<|S(\Delta,f)-I|\le \overline{S}(\Delta,f)-\underline{S}(\Delta,f) 0<∣S(Δ,f)−I∣≤S(Δ,f)−S(Δ,f)对任意的ε>0\varepsilon>0ε>0，存在δ>0\delta>0δ>0，λ(Δ)<δ\lambda(\Delta)<\deltaλ(Δ)<δ时，都有S‾(Δ,f)−S‾(Δ,f)<ε\overline{S}(\Delta,f)-\underline{S}(\Delta,f)<\varepsilonS(Δ,f)−S(Δ,f)<ε这样，任意的S(Δ,f)S(\Delta,f)S(Δ,f)都有∣S(Δ,f)−I∣<ε|S(\Delta,f)-I|<\varepsilon∣S(Δ,f)−I∣<ε这就证明了∫abf(x)dx=I\int_a^b{f(x)dx}=I∫abf(x)dx=I

从证明的过程也可以看出，如果可积时，一定有I‾=I‾=∫abf(x)dx\overline{I}=\underline{I}=\int_a^b{f(x)dx}I=I=∫abf(x)dx但上下积分相等能不能直接得到可积性呢？实际上，我们由如下的达布定理。

定理7.3（达布定理）f(x)f(x)f(x)是闭区间[a,b][a,b][a,b]上的有界函数，则有lim⁡λ(Δ)→0S‾(Δ)=I‾\lim_{\lambda(\Delta)\to 0 }{ \underline{S}(\Delta) = \underline{I} }λ(Δ)→0limS(Δ)=Ilim⁡λ(Δ)→0S‾(Δ)=I‾\lim_{\lambda(\Delta)\to 0 }{ \overline{S}(\Delta) = \overline{I} }λ(Δ)→0limS(Δ)=I

由达布定理，就有如下推论：
推论7.1 f(x)f(x)f(x)是[a,b][a,b][a,b]上的有界函数，则f(x)f(x)f(x)在[a,b][a,b][a,b]上Riemann可积的充要条件是I‾=I‾\underline{I}=\overline{I}I=I

下面我们证明定理7.3：

证：我们仅证lim⁡λ(Δ)→0S‾(Δ)=I‾\lim_{\lambda(\Delta)\to 0 }{ \overline{S}(\Delta) = \overline{I} }limλ(Δ)→0S(Δ)=I，lim⁡λ(Δ)→0S‾(Δ)=I‾\lim_{\lambda(\Delta)\to 0 }{ \underline{S}(\Delta) = \underline{I} }limλ(Δ)→0S(Δ)=I的证明是类似的。
对任意ε>0\varepsilon>0ε>0，取由上积分的定义，存在分划列{Δ0}\{\Delta_0\}{Δ0}，满足I‾≤S‾(Δ0,f)<I‾+ε2\overline{I}\le \overline{S}(\Delta_0,f) <\overline{I} +\frac{\varepsilon}{2}I≤S(Δ0,f)<I+2ε对任意的分划Δ\DeltaΔ，令Δ0′=Δ0∪Δ\Delta^\prime_0=\Delta_0\cup\DeltaΔ0′=Δ0∪Δ，就有
I‾≤S‾(Δ0′,f)≤S‾(Δ0,f)<I‾+ε2\overline{I}\le \overline{S}(\Delta^\prime_0,f)\le \overline{S}(\Delta_0,f) < \overline{I} + \frac{\varepsilon}{2}I≤S(Δ0′,f)≤S(Δ0,f)<I+2ε只要考察∣S‾(Δ,f)−S‾(Δ0′,f)∣|\overline{S}(\Delta,f)-\overline{S}(\Delta^\prime_0,f)|∣S(Δ,f)−S(Δ0′,f)∣即可
实际上，对Δ\DeltaΔ的每一个小区间，如果其中没有Δn\Delta_nΔn的分点，Δ\DeltaΔ和Δn′\Delta^\prime_nΔn′对应的项没有差距，差别就体现在插入了Δn\Delta_nΔn分点的小区间上。
不妨设∣f(x)∣≤M>0|f(x)|\le M>0∣f(x)∣≤M>0，如果某个小区间插入了一个分点，那么对应的上确界之差不超过2M2M2M，设NNN为Δn\Delta_nΔn的分点个数（N>2N>2N>2)。那么，如果Δ\DeltaΔ的某个区间完全含在Δ0\Delta_0Δ0的某个区间内，那么，Δ0′\Delta_0^\primeΔ0′内的某个区间与Δ\DeltaΔ的这个区间是相同的，不会对达布上和有影响，对达布上和有影响的只有插入了Δ0\Delta_0Δ0分点的区间，最多只有N−2N-2N−2个Δ\DeltaΔ的区间对达布上和影响，假设Δ\DeltaΔ的某个区间[xk−1,xk][x_{k-1},x_k][xk−1,xk]中插入了一个分点c(c∈(xk−1,xk))c(c\in(x_{k-1},x_k))c(c∈(xk−1,xk))，设f(x)f(x)f(x)在[xk−1,c][x_{k-1},c][xk−1,c]上的上确界为M1M_1M1，在[c,xk][c,x_k][c,xk]上上确界为M2M_2M2，在[xk−1,xk][x_{k-1},x_k][xk−1,xk]的上确界为M0M_0M0，从而∣M1(c−xk−1)+M2(xk−c)−M0(xk−xk−1)∣≤2M(xk−xk−1)≤2Mλ(Δ)\begin{aligned} &|M_1(c-x_{k-1})+M_2(x_k-c)-M_0(x_k-x_{k-1})|\le 2M(x_k-x_{k-1}) \\\le &2M\lambda(\Delta) \end{aligned} ≤∣M1(c−xk−1)+M2(xk−c)−M0(xk−xk−1)∣≤2M(xk−xk−1)2Mλ(Δ)从而∣S‾(Δ,f)−S‾(Δ0′,f)∣≤2M(N−2)λ(Δ)\begin{aligned} |\overline{S}(\Delta,f)-\overline{S}(\Delta_0^\prime,f)|\le 2M(N-2)\lambda(\Delta) \end{aligned} ∣S(Δ,f)−S(Δ0′,f)∣≤2M(N−2)λ(Δ)当λ(Δ)<ε4M(N−2)\displaystyle \lambda(\Delta)<\frac{\varepsilon}{4M(N-2)}λ(Δ)<4M(N−2)ε时∣S‾(Δ,f)−I‾∣≤∣S‾(Δ,f)−S‾(Δ0′,f)∣+∣S‾(Δ0′,f)−I‾∣<ε\begin{aligned} &|\overline{S}(\Delta,f)-\overline{I}|\\ \le & |\overline{S}(\Delta,f)-\overline{S}(\Delta_0^\prime,f)|+|\overline{S}(\Delta_0^\prime,f)-\overline{I}|<\varepsilon \end{aligned} ≤∣S(Δ,f)−I∣∣S(Δ,f)−S(Δ0′,f)∣+∣S(Δ0′,f)−I∣<ε因此lim⁡λ(Δ)→0S‾(Δ,f)=I‾\displaystyle \lim_{\lambda(\Delta)\to 0}\overline{S}(\Delta,f)=\overline{I}λ(Δ)→0limS(Δ,f)=I

可积函数类

定积分的性质

下面，我们来证明定积分的一些性质。
定理7.4（有界性） f(x)f(x)f(x)在[a,b][a,b][a,b]上可积，那么f(x)f(x)f(x)就在[a,b][a,b][a,b]上有界。

证：
设∫abf(x)dx=I\int_a^b{f(x)dx}=I∫abf(x)dx=I，反证法证明，如果f(x)f(x)f(x)无界，那么任取分划Δ:a=x0<x1<⋯<xn=b\Delta:a=x_0<x_1<\cdots<x_n=bΔ:a=x0<x1<⋯<xn=b，必然有一个小区间无界，设就是[x0,x1][x_0,x_1][x0,x1]
可以取得ξn∈[x0,x1]\xi_n\in[x_0,x_1]ξn∈[x0,x1]，使得∣f(ξn)∣>n|f(\xi_n)|>n∣f(ξn)∣>n，这样，无论λ(Δ)\lambda(\Delta)λ(Δ)有多小，都可以取得ξn∈[x0,x1]\xi_n\in[x_0,x_1]ξn∈[x0,x1]，在其他区间的取法给定的条件下，Riemann和可以任意大，与可积矛盾

因此，对积分的讨论都是建立在有界函数上的。下面我们还要证明如下的定理。
定理7.5 f(x)f(x)f(x)在[a,b][a,b][a,b]上可积，则∣f(x)∣|f(x)|∣f(x)∣在[a,b][a,b][a,b]上可积

证：
这是因为对任意的x1,x2∈[a,b]x_1,x_2\in[a,b]x1,x2∈[a,b]，都有∣∣f(x1)∣−∣f(x2)∣∣≤∣f(x1)−f(x2)∣||f(x_1)|-|f(x_2)||\le|f(x_1)-f(x_2)|∣∣f(x1)∣−∣f(x2)∣∣≤∣f(x1)−f(x2)∣对任意的分划Δ:a=x0<x1<⋯<xn=n\Delta:a=x_0<x_1<\cdots<x_n=nΔ:a=x0<x1<⋯<xn=n，0≤S‾(Δ,∣f∣)−S‾(Δ,∣f∣)≤S‾(Δ,f)−S‾(Δ,f)0\le\overline{S}(\Delta,|f|)-\underline{S}(\Delta,|f|) \le \overline{S}(\Delta,f)-\underline{S}(\Delta,f)0≤S(Δ,∣f∣)−S(Δ,∣f∣)≤S(Δ,f)−S(Δ,f)令λ(Δ)→0\lambda(\Delta)\to 0λ(Δ)→0，就有
lim⁡λ(Δ)→0S‾(Δ,∣f∣)−S‾(Δ,∣f∣)=0\lim_{\lambda(\Delta)\to 0} { \overline{S}(\Delta,|f|)-\underline{S}(\Delta,|f|) } =0λ(Δ)→0limS(Δ,∣f∣)−S(Δ,∣f∣)=0

类似地，可以证明：
定理7.6 f(x)f(x)f(x)在[a,b][a,b][a,b]上可积，则f(x)f(x)f(x)在[a,b][a,b][a,b]的任意子区间可积
证明比较简单，这里就不写出具体的证明过程了。
下面，我们就可以给出Riemann积分的一些性质。
定理7.7
(1)(线性性质)f(x)f(x)f(x)和g(x)g(x)g(x)在[a,b][a,b][a,b]上Riemann可积，则对任意的实数c,dc,dc,d，cf(x)+dg(x)cf(x)+dg(x)cf(x)+dg(x)在[a,b][a,b][a,b]上Riemann可积，并且∫abcf(x)+dg(x)dx=c∫abf(x)dx+d∫abg(x)dx\int_a^b{cf(x)+dg(x)dx} =c\int_a^b{f(x)dx}+d\int_a^b{g(x)dx}∫abcf(x)+dg(x)dx=c∫abf(x)dx+d∫abg(x)dx(2)(不等式性质)f(x)f(x)f(x)和g(x)g(x)g(x)在[a,b][a,b][a,b]上Riemann可积，并且f(x)≤g(x),∀x∈[a,b]f(x)\le g(x) ,\forall x \in [a,b]f(x)≤g(x),∀x∈[a,b]，则∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx\int_a^b{f(x)dx}\le \int_a^b{g(x)dx}∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx(3)(绝对值性质)f(x)f(x)f(x)在[a,b][a,b][a,b]上Riemann可积，则∣∫abf(x)dx∣≤∫ab∣f(x)∣dx|\int_a^b{f(x)dx}|\le\int_a^b{|f(x)|dx}∣∫abf(x)dx∣≤∫ab∣f(x)∣dx(4)(区间可加性)对任意的a<c<ba<c<ba<c<b，f(x)f(x)f(x)在[a,b][a,b][a,b]上可积的充要条件是f(x)f(x)f(x)在[a,c][a,c][a,c]和[c,b][c,b][c,b]上都可积，并且∫acf(x)dx+∫cbf(x)dx=∫abf(x)dx\int_a^c{f(x)dx} + \int_c^b{f(x)dx} =\int_a^b{f(x)dx}∫acf(x)dx+∫cbf(x)dx=∫abf(x)dx

证：
(1)对任意的分划Δ:a=x0<x1<⋯,xn=b\Delta:a=x_0<x_1<\cdots,x_n=bΔ:a=x0<x1<⋯,xn=b，对任意的ξk∈[xk−1,xk](k=1,⋯,n)\xi_k\in[x_{k-1},x_k](k=1,\cdots,n)ξk∈[xk−1,xk](k=1,⋯,n)，有∣∑k=1n[cf(ξn)+dg(ξn)(xk−xk−1)]−c∫abf(x)dx−d∫abg(x)dx∣≤∣c∣∣∑k=1nf(ξn)(xk−xk−1)−∫abf(x)dx∣+∣d∣∣∑k=1ng(ξn)(xk−xk−1)−∫abg(x)dx∣|\sum_{k=1}^{n}[cf(\xi_n)+dg(\xi_n)(x_{k}-x_{k-1})]-c\int_a^b{f(x)dx}-d\int_a^b{g(x)dx}|\le\\ |c||\sum_{k=1}^n{f(\xi_n)(x_k-x_{k-1})}-\int_a^b{f(x)dx}| +|d||\sum_{k=1}^n{g(\xi_n)(x_k-x_{k-1})}-\int_a^b{g(x)dx}| ∣k=1∑n[cf(ξn)+dg(ξn)(xk−xk−1)]−c∫abf(x)dx−d∫abg(x)dx∣≤∣c∣∣k=1∑nf(ξn)(xk−xk−1)−∫abf(x)dx∣+∣d∣∣k=1∑ng(ξn)(xk−xk−1)−∫abg(x)dx∣对任意的ε>0\varepsilon>0ε>0，存在δ1>0\delta_1>0δ1>0，λ(Δ)<δ1\lambda(\Delta)<\delta_1λ(Δ)<δ1时，有∣∑k=1nf(ξn)(xk−xk−1)−∫abf(x)dx∣<ε2∣c∣|\sum_{k=1}^n{f(\xi_n)(x_k-x_{k-1})}-\int_a^b{f(x)dx}|<\frac{\varepsilon}{2|c|} ∣k=1∑nf(ξn)(xk−xk−1)−∫abf(x)dx∣<2∣c∣ε又存在δ2>0\delta_2>0δ2>0，λ(Δ)<δ2\lambda(\Delta)<\delta_2λ(Δ)<δ2时，有∣∑k=1ng(ξn)(xk−xk−1)−∫abg(x)dx∣<ε2∣d∣|\sum_{k=1}^n{g(\xi_n)(x_k-x_{k-1})}-\int_a^b{g(x)dx}|<\frac{\varepsilon}{2|d|} ∣k=1∑ng(ξn)(xk−xk−1)−∫abg(x)dx∣<2∣d∣ε因此，当λ(Δ)<min⁡(δ1,δ2)\lambda(\Delta)<\min(\delta_1,\delta_2)λ(Δ)<min(δ1,δ2)时，就有∣∑k=1n[cf(ξn)+dg(ξn)(xk−xk−1)]−c∫abf(x)dx−d∫abg(x)dx∣<ε|\sum_{k=1}^{n}[cf(\xi_n)+dg(\xi_n)(x_{k}-x_{k-1})]-c\int_a^b{f(x)dx}-d\int_a^b{g(x)dx}|<\varepsilon∣k=1∑n[cf(ξn)+dg(ξn)(xk−xk−1)]−c∫abf(x)dx−d∫abg(x)dx∣<ε(2)(3)的证明比较简单，省略
下面证明(4)：只证明前一个命题，后一个命题比较容易，而前一命题只需要证明充分性
实际上，由达布定理，我们只需要取得一个分划列{Δn}\{\Delta_n\}{Δn}，λ(Δn)→0\lambda(\Delta_n)\to 0λ(Δn)→0，有S‾(Δn)−S‾(Δn)→0\overline{S}(\Delta_n)-\underline{S}(\Delta_n)\to 0S(Δn)−S(Δn)→0就可以证得可积性，而这可以通过分别取[a,c][a,c][a,c]和[c,b][c,b][c,b]的分划列{Δn1}\{\Delta^{1}_n\}{Δn1}和{Δn2}\{\Delta^2_n\}{Δn2}，再合并成{Δn}\{\Delta_n\}{Δn}即可证得结论。

微积分基本定理

上一章，我们把微分的逆运算称为“不定积分”，但从定积分的定义来看，“不定积分”离真正的“积分”的定义还相去甚远。本节要证明的微积分基本定理，正是搭起微分和积分的一座桥梁。
定理7.8(微积分基本定理) f(x)f(x)f(x)在[a,b][a,b][a,b]上可积且原函数存在，原函数为F(x)F(x)F(x)，则∫abf(x)dx=F(b)−F(a)\int_a^b{f(x)dx} = F(b)-F(a)∫abf(x)dx=F(b)−F(a)

证：对[a,b][a,b][a,b]的任意分划Δ:a=x0<x1<⋯<xn=b\Delta:a=x_0<x_1<\cdots<x_n=bΔ:a=x0<x1<⋯<xn=b，有F(b)−F(a)=∑k=1nF(xk)−F(xk−1)(1)\tag{1} F(b)-F(a)=\sum_{k=1}^n{F(x_k)-F(x_{k-1})} F(b)−F(a)=k=1∑nF(xk)−F(xk−1)(1)由拉格朗日中值定理，存在ξk∈(xk−1,xk)\xi_k \in (x_{k-1},x_k)ξk∈(xk−1,xk)，满足F(xk)−F(xk−1)=f(ξk)(xk−xk−1)F(x_k)-F(x_{k-1})=f(\xi_k)(x_k-x_{k-1})F(xk)−F(xk−1)=f(ξk)(xk−xk−1)k=1,⋯,nk=1,\cdots,nk=1,⋯,n,代入(1)中，有F(b)−F(a)=∑k=1nf(ξk)(xk−xk−1)F(b)-F(a)=\sum_{k=1}^n{f(\xi_k)(x_k-x_{k-1})} F(b)−F(a)=k=1∑nf(ξk)(xk−xk−1)再令λ(Δ)→0\lambda(\Delta)\to 0λ(Δ)→0，按照定积分的定义，有
∫abf(x)dx=F(b)−F(a)\int_a^b{f(x)dx} = F(b)-F(a)∫abf(x)dx=F(b)−F(a)

微积分基本定理将原函数和积分联系在一起，而原函数是微分的逆运算，因此，在原函数存在的情况下，就为定积分的计算提供了一种手段。

变上限积分的性质

微积分基本定理要求f(x)f(x)f(x)可积，可积性问题由达布理论可以解决。还要求f(x)f(x)f(x)原函数存在，原函数存在性问题，我们至今没有介绍，现在，我们利用定积分，可以回答这个问题。
定理7.9
(1)f(x)f(x)f(x)在[a,b][a,b][a,b]上可积，那么变上限积分∫axf(x)dx\int_a^x{f(x)dx}∫axf(x)dx是[a,b][a,b][a,b]上的连续函数
(2)如果f(x)f(x)f(x)在[a,b][a,b][a,b]上连续，那么变上限积分∫axf(x)dx\int_a^x{f(x)dx}∫axf(x)dx在[a,b][a,b][a,b]上可导，并且导函数为f(x)f(x)f(x)

利用定理7.9的结论(2)，就有如下推论：
定理7.10(原函数存在定理) 闭区间上的连续函数都存在原函数

在证明定理7.9之前，我们先证明积分第一中值定理：
定理7.11(积分第一中值定理) f(x)f(x)f(x)在[a,b][a,b][a,b]上连续，可积函数g(x)g(x)g(x)在[a,b][a,b][a,b]非负，则存在ξ∈[a,b]\xi\in[a,b]ξ∈[a,b]，使得∫abf(x)g(x)dx=f(ξ)∫abg(x)dx\int_a^b{f(x)g(x)dx}=f(\xi)\int_{a}^b{g(x)dx}∫abf(x)g(x)dx=f(ξ)∫abg(x)dx

证：
设f(x)f(x)f(x)在[a,b][a,b][a,b]上的最大值和最小值分别为MMM和mmm，由积分的不等式性质，有m∫abg(x)dx≤∫abf(x)g(x)dx≤M∫abg(x)dxm\int_{a}^b{g(x)dx}\le\int_a^b{f(x)g(x)dx}\le M\int_{a}^b{g(x)dx} m∫abg(x)dx≤∫abf(x)g(x)dx≤M∫abg(x)dx不妨设∫abg(x)dx>0\int_{a}^b{g(x)dx}>0∫abg(x)dx>0，从而m≤∫abf(x)g(x)dx∫abg(x)dx≤Mm\le\frac{\int_a^b{f(x)g(x)dx}}{\int_{a}^b{g(x)dx}}\le M m≤∫abg(x)dx∫abf(x)g(x)dx≤M再由连续函数的介值定理，存在ξ∈[a,b]\xi\in[a,b]ξ∈[a,b]，满足：f(ξ)=∫abf(x)g(x)dx∫abg(x)dxf(\xi)=\frac{\int_a^b{f(x)g(x)dx}}{\int_{a}^b{g(x)dx}}f(ξ)=∫abg(x)dx∫abf(x)g(x)dx

下面我们证明定理7.9：

证：(1)∣∫ax+Δxf(x)dx−∫axf(x)dx∣≤∣∫xx+Δxf(x)dx∣≤∫xx+Δx∣f(x)∣dx|\int_a^{x+\Delta x}{f(x)dx}-\int_a^x{f(x)dx}|\le \\|\int_x^{x+\Delta x}{f(x)dx}|\le \int_x^{x+\Delta x}{|f(x)|dx} ∣∫ax+Δxf(x)dx−∫axf(x)dx∣≤∣∫xx+Δxf(x)dx∣≤∫xx+Δx∣f(x)∣dx由f(x)f(x)f(x)可积，f(x)f(x)f(x)有界，设∣f(x)∣≤M>0|f(x)|\le M>0∣f(x)∣≤M>0，则∣∫ax+Δxf(x)dx−∫axf(x)dx∣≤M∣Δx∣|\int_a^{x+\Delta x}{f(x)dx}-\int_a^x{f(x)dx}|\le M|\Delta x| ∣∫ax+Δxf(x)dx−∫axf(x)dx∣≤M∣Δx∣对任意的ε>0\varepsilon>0ε>0，当∣Δx∣<εM|\Delta x|<\frac{\varepsilon}{M}∣Δx∣<Mε时，就有∣∫ax+Δxf(x)dx−∫axf(x)dx∣<ε|\int_a^{x+\Delta x}{f(x)dx}-\int_a^x{f(x)dx}| <\varepsilon ∣∫ax+Δxf(x)dx−∫axf(x)dx∣<ε(2)lim⁡Δx→0∫xx+Δxf(x)dxΔx=lim⁡Δx→0f(ξ)ΔxΔx=lim⁡Δx→0f(ξ)=f(x)\lim_{\Delta x\to 0}{\frac{\int_x^{x+\Delta x}{f(x)dx}}{\Delta x}}\\ =\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(\xi)\Delta x}{\Delta x} =\lim_{\Delta x\to 0}{f(\xi)} =f(x) Δx→0limΔx∫xx+Δxf(x)dx=Δx→0limΔxf(ξ)Δx=Δx→0limf(ξ)=f(x)以上等式中的ξ\xiξ介于xxx和x+Δxx+\Delta xx+Δx之间

定积分的换元积分法和分部积分法

由微积分基本定理，我们就可以把求原函数的换元积分法和分部积分法，推广到定积分的计算当中。
定理7.12 ϕ(t)\phi(t)ϕ(t)在[a,b][a,b][a,b]上可导，f(ϕ(t))ϕ′(t)f(\phi(t))\phi^\prime(t)f(ϕ(t))ϕ′(t)在[a,b][a,b][a,b]上可积，f(x)f(x)f(x)在[ϕ(a),ϕ(b)][\phi(a),\phi(b)][ϕ(a),ϕ(b)]上可积且原函数存在，则∫abf(ϕ(t))ϕ′(t)dt=∫ϕ(a)ϕ(b)f(x)dx\int_a^b{f(\phi(t))\phi^\prime(t)dt} =\int_{\phi(a)}^{\phi(b)}{f(x)dx}∫abf(ϕ(t))ϕ′(t)dt=∫ϕ(a)ϕ(b)f(x)dx

证：
由于f(x)f(x)f(x)在[ϕ(a),ϕ(b)][\phi(a),\phi(b)][ϕ(a),ϕ(b)]上的原函数存在，设为F(x)F(x)F(x)
F(ϕ(t))F(\phi(t))F(ϕ(t))是f(ϕ(t))ϕ′(t)f(\phi(t))\phi^\prime(t)f(ϕ(t))ϕ′(t)在[a,b][a,b][a,b]的原函数。
由微积分基本定理，有∫abf(ϕ(t))ϕ′(t)dt=F(ϕ(b))−F(ϕ(a))\int_a^b{f(\phi(t))\phi^\prime(t)dt} =F(\phi(b))-F(\phi(a)) ∫abf(ϕ(t))ϕ′(t)dt=F(ϕ(b))−F(ϕ(a))∫ϕ(a)ϕ(b)f(x)dx=F(ϕ(b))−F(ϕ(a))\int_{\phi(a)}^{\phi(b)}{f(x)dx} =F(\phi(b))-F(\phi(a)) ∫ϕ(a)ϕ(b)f(x)dx=F(ϕ(b))−F(ϕ(a))因此，∫abf(ϕ(t))ϕ′(t)dt=∫ϕ(a)ϕ(b)f(x)dx\int_a^b{f(\phi(t))\phi^\prime(t)dt} =\int_{\phi(a)}^{\phi(b)}{f(x)dx}∫abf(ϕ(t))ϕ′(t)dt=∫ϕ(a)ϕ(b)f(x)dx

定理7.13 如果x=ϕ(t)x=\phi(t)x=ϕ(t)的导数恒为正，f(x)f(x)f(x)在[a,b][a,b][a,b]上可积，f(ϕ(t))ϕ′(t)f(\phi(t))\phi^\prime(t)f(ϕ(t))ϕ′(t)在[ϕ−1(a),ϕ−1(b)][\phi^{-1}(a),\phi^{-1}(b)][ϕ−1(a),ϕ−1(b)]上存在原函数且可积，则
∫abf(x)dx=∫ϕ−1(a)ϕ−1(b)f(ϕ(t))ϕ′(t)dt\int_a^b{f(x)dx}=\int_{\phi^{-1}(a)}^{\phi^{-1}(b)}{ f(\phi(t))\phi^\prime(t)dt }∫abf(x)dx=∫ϕ−1(a)ϕ−1(b)f(ϕ(t))ϕ′(t)dt
定理7.14f(x),g(x)f(x),g(x)f(x),g(x)可导，g(x)g(x)g(x)原函数为G(x)G(x)G(x)，f′(x)G(x)f^\prime(x)G(x)f′(x)G(x)在[a,b][a,b][a,b]上的原函数存在且可积，则∫abf(x)g(x)dx=f(b)G(b)−f(a)G(a)−∫abf′(x)G(x)dx\int_a^b{f(x)g(x)dx} =f(b)G(b)-f(a)G(a)-\int_a^b{f^\prime(x)G(x)dx}∫abf(x)g(x)dx=f(b)G(b)−f(a)G(a)−∫abf′(x)G(x)dx
证明是类似的，这里不证。

积分第二中值定理

积分第二中值定理在反常积分的证明中十分关键，我们先给出积分第二中值定理的内容。
定理7.15(积分第二中值定理) g(x)g(x)g(x)在[a,b][a,b][a,b]上可积
(1)f(x)f(x)f(x)在[a,b][a,b][a,b]上单调上升,f(x)≥0f(x)\ge0f(x)≥0，则存在ξ∈[a,b]\xi \in [a,b]ξ∈[a,b]∫abf(x)g(x)dx=f(b)∫ξbg(x)dx\int_a^b{f(x)g(x)dx} =f(b)\int_\xi^b{g(x)dx}∫abf(x)g(x)dx=f(b)∫ξbg(x)dx(2)f(x)f(x)f(x)在[a,b][a,b][a,b]上单调下降，f(x)≥0f(x)\ge 0f(x)≥0，则存在ξ∈[a,b]\xi \in [a,b]ξ∈[a,b]
∫abf(x)g(x)dx=f(a)∫aξg(x)dx\int_a^b{f(x)g(x)dx} =f(a)\int_a^\xi{g(x)dx}∫abf(x)g(x)dx=f(a)∫aξg(x)dx(3)f(x)f(x)f(x)在[a,b][a,b][a,b]上单调，则存在ξ∈[a,b]\xi \in [a,b]ξ∈[a,b]∫abf(x)g(x)dx=f(a)∫aξg(x)dx+f(b)∫ξbg(x)dx\int_a^b{f(x)g(x)dx} =f(a)\int_a^\xi{g(x)dx}+f(b)\int_\xi^b{g(x)dx}∫abf(x)g(x)dx=f(a)∫aξg(x)dx+f(b)∫ξbg(x)dx

由于定理的条件十分宽松，因此，我们不妨把条件加强给出一个简单的证明，再从这个证明中寻找证明的思路。
假设f(x)f(x)f(x)在[a,b][a,b][a,b]上单调上升且有连续导数，g(x)g(x)g(x)在[a,b][a,b][a,b]连续，令G(x)=∫xbg(t)dtG(x)=\int_x^b{g(t)dt}G(x)=∫xbg(t)dt，G′(x)=−g(x)G^\prime(x) = -g(x)G′(x)=−g(x)，由分部积分法：∫abf(x)g(x)dx=−∫abf(x)dG(x)=−f(x)G(x)∣ab+∫abf′(x)G(x)dx=f(a)∫abg(t)dt+∫abf′(x)G(x)dx(3)\tag{3} \int_a^b{f(x)g(x)dx}=-\int_a^b{f(x)dG(x)} =-f(x)G(x)|_a^b + \int_a^b{f^\prime(x)G(x)dx}\\ =f(a)\int_a^b{g(t)dt} + \int_a^b{f^\prime(x)G(x)dx} ∫abf(x)g(x)dx=−∫abf(x)dG(x)=−f(x)G(x)∣ab+∫abf′(x)G(x)dx=f(a)∫abg(t)dt+∫abf′(x)G(x)dx(3)设M,mM,mM,m是G(x)G(x)G(x)在[a,b][a,b][a,b]上的最大值和最小值，那么就有m∫abf′(x)dx≤∫abf′(x)G(x)dxM∫abf′(x)dxm\int_a^b{f^\prime(x)dx}\le \int_a^b{f^\prime(x)G(x)dx} M \int_a^b{f^\prime(x)dx} m∫abf′(x)dx≤∫abf′(x)G(x)dxM∫abf′(x)dx即m≤∫abf′(x)G(x)dxf(b)−f(a)≤Mm\le \frac{\int_a^b{f^\prime(x)G(x)dx}}{f(b)-f(a)} \le M m≤f(b)−f(a)∫abf′(x)G(x)dx≤M再由连续函数的介值定理，存在ξ∈[a,b]\xi \in [a,b]ξ∈[a,b]G(ξ)=∫abf′(x)G(x)dxf(b)−f(a)G(\xi) = \frac{\int_a^b{f^\prime(x)G(x)dx}}{f(b)-f(a)}G(ξ)=f(b)−f(a)∫abf′(x)G(x)dx
再代入到(3)中，就可以得到∫abf(x)g(x)dx=f(a)∫aξg(x)dx+f(b)∫ξbg(x)dx\int_a^b{f(x)g(x)dx} =f(a)\int_a^\xi{g(x)dx}+f(b)\int_\xi^b{g(x)dx}∫abf(x)g(x)dx=f(a)∫aξg(x)dx+f(b)∫ξbg(x)dx

虽然g(x)g(x)g(x)不一定连续，但是只要g(x)g(x)g(x)可积，函数G(x)=∫axg(t)dtG(x)=\int_a^x{g(t)dt}G(x)=∫axg(t)dt就是连续的，不妨设f(x)f(x)f(x)单调下降且非负，并且设f(a)>0f(a)>0f(a)>0，只要我们证明了m≤∫abf(x)g(x)dxf(a)≤Mm\le\frac{\int_a^b{f(x)g(x)dx}}{f(a)}\le M m≤f(a)∫abf(x)g(x)dx≤M在利用连续函数的介值定理，就能证得结论(2)，只要证得结论(2)∫abf(x)g(x)dx=∫ab[f(x)−f(a)]g(x)dx+f(a)∫abg(x)dx\int_a^b{f(x)g(x)dx} = \int_a^b{[f(x)-f(a)]g(x)dx}+f(a)\int_a^b{g(x)dx} ∫abf(x)g(x)dx=∫ab[f(x)−f(a)]g(x)dx+f(a)∫abg(x)dx再套用结论(2)，就能证得结论(3)的单调下降情形，也就是说，我们只需要证明结论(1)和(2)，就能证得结论(3)。

在一般的条件下，我们不能用分部积分法，只能借助定积分的定义进行证明，在证明之前，我们先给出阿贝尔变换。
引理7.4(阿贝尔变换) a1,⋯,ana_1,\cdots,a_na1,⋯,an和b1,⋯,bnb_1,\cdots,b_nb1,⋯,bn是实数，Bk=∑i=1kbkB_k=\sum_{i=1}^k{b_k}Bk=∑i=1kbk，则∑k=1nakbk=anBn+∑k=1n−1(ak−ak+1)Bk\sum_{k=1}^n{a_k b_k}=a_nB_n+\sum_{k=1}^{n-1}{(a_k-a_{k+1})B_k}k=1∑nakbk=anBn+k=1∑n−1(ak−ak+1)Bk

下面我们用阿贝尔变换来证明结论(2)

证：
设f(x)f(x)f(x)单调下降且f(b)≥0f(b)\ge 0f(b)≥0，对任意的[a,b][a,b][a,b]的分划Δ\DeltaΔ，其中Δ:a=x0<x1<⋯<xn=b\Delta:a=x_0<x_1<\cdots<x_n=bΔ:a=x0<x1<⋯<xn=b，则∫abf(t)g(t)dt=lim⁡λ(Δ)→0∑k=0n∫xk−1xkf(t)g(t)dt\int_a^b{f(t)g(t)dt}=\lim_{\lambda(\Delta)\to 0} {\sum_{k=0}^n\int_{x_{k-1}}^{x_k}{f(t)g(t)dt}} ∫abf(t)g(t)dt=λ(Δ)→0limk=0∑n∫xk−1xkf(t)g(t)dt设∣g(x)∣≤M>0|g(x)|\le M>0∣g(x)∣≤M>0∣∑k=1n∫xk−1xkf(t)g(t)dt−∑k=1nf(xk−1)∫xk−1xkg(t)dt∣≤∑k=1n∫xk−1xk∣f(t)−f(xk−1)∣∣g(t)∣dt≤M∑k=1nwk(xk−xk−1)|\sum_{k=1}^n{\int_{x_{k-1}}^{x_k}{f(t)g(t)dt}}- \sum_{k=1}^n{f(x_{k-1})\int_{x_{k-1}}^{x_k}{g(t)dt}}|\le \sum_{k=1}^{n}\int_{x_{k-1}}^{x_k}{|f(t)-f(x_{k-1})||g(t)|dt}\\\le M\sum_{k=1}^n{w_k(x_k-x_{k-1})} ∣k=1∑n∫xk−1xkf(t)g(t)dt−k=1∑nf(xk−1)∫xk−1xkg(t)dt∣≤k=1∑n∫xk−1xk∣f(t)−f(xk−1)∣∣g(t)∣dt≤Mk=1∑nwk(xk−xk−1)当λ(Δ)→0\lambda(\Delta)\to 0λ(Δ)→0时，∣∑k=1n∫xk−1xkf(t)g(t)dt−∑k=1nf(xk−1)∫xk−1xkg(t)dt∣→0|\sum_{k=1}^n{\int_{x_{k-1}}^{x_k}{f(t)g(t)dt}}- \sum_{k=1}^n{f(x_{k-1})\int_{x_{k-1}}^{x_k}{g(t)dt}}|\to 0∣k=1∑n∫xk−1xkf(t)g(t)dt−k=1∑nf(xk−1)∫xk−1xkg(t)dt∣→0因此，就有∫abf(t)g(t)dt=lim⁡λ(Δ)→0∑k=1nf(xk−1)∫xk−1xkg(t)dt\int_a^b{f(t)g(t)dt}=\lim_{\lambda(\Delta)\to 0} \sum_{k=1}^n{f(x_{k-1})\int_{x_{k-1}}^{x_k}{g(t)dt}} ∫abf(t)g(t)dt=λ(Δ)→0limk=1∑nf(xk−1)∫xk−1xkg(t)dt由阿贝尔变换：∑k=1nf(xk−1)∫xk−1xkg(t)dt=∑k=1n−1[f(xk−1)−f(xk)]∫axkg(t)dt+f(xn−1)∫abg(t)dt\sum_{k=1}^n{f(x_{k-1})\int_{x_{k-1}}^{x_k}{g(t)dt}}\\ =\sum_{k=1}^{n-1}[f(x_{k-1})-f(x_k)]\int_a^{x_k}{g(t)dt} +f(x_{n-1})\int_a^b{g(t)dt} k=1∑nf(xk−1)∫xk−1xkg(t)dt=k=1∑n−1[f(xk−1)−f(xk)]∫axkg(t)dt+f(xn−1)∫abg(t)dt设G(x)=∫axg(t)dtG(x)=\int_a^x{g(t)dt}G(x)=∫axg(t)dt，设M,mM,mM,m是G(x)G(x)G(x)的最大值和最小值，就有f(a)m=m[f(xn−1)+∑k=1n−1(f(xk−1)−f(xk))]≤∑k=1nf(xk−1)∫xk−1xkg(t)dt≤Mf(a)f(a)m = m[f(x_{n-1})+\sum_{k=1}^{n-1}(f(x_{k-1})-f(x_k))] \le \sum_{k=1}^n{f(x_{k-1})\int_{x_{k-1}}^{x_k}{g(t)dt}} \le Mf(a) f(a)m=m[f(xn−1)+k=1∑n−1(f(xk−1)−f(xk))]≤k=1∑nf(xk−1)∫xk−1xkg(t)dt≤Mf(a)因此，有f(a)m≤∫abf(x)g(x)dx≤f(a)Mf(a)m \le \int_a^b{f(x)g(x)dx} \le f(a)Mf(a)m≤∫abf(x)g(x)dx≤f(a)M
再利用介值定理就可以证得结论

定积分的几何应用

平面图形的面积

我们知道定积分的几何意义是曲边梯形的面积，由此我们可以得到计算平面图形面积的方法。我们先引入最简单的两种情形——X型区域和Y型区域。所谓X型区域，即由两条曲线y=f(x),y=g(x),x∈[a,b]y=f(x),y=g(x),x\in[a,b]y=f(x),y=g(x),x∈[a,b]以及两条直线x=a,x=bx=a,x=bx=a,x=b围成的区域，其中f(x)≥g(x),x∈[a,b]f(x)\ge g(x),x\in[a,b]f(x)≥g(x),x∈[a,b]，如下图所示：

由定积分的几何意义，阴影部分的面积为以y=f(x)y=f(x)y=f(x)为顶边的曲边梯形的面积减去以y=g(x)y=g(x)y=g(x)为顶边的曲边梯形的面积。于是，该X型区域的面积为∫ab[f(x)−g(x)]dx\displaystyle \int_a^b [f(x)-g(x)]dx∫ab[f(x)−g(x)]dx。同样地可以给出Y型区域以及其面积的求法。这是比较简单的情形，我们常常遇到的是由某一个曲线围成的图形，而曲线常常由参数方程γ:{x=x(t)y=y(t)\gamma: \begin{cases} x=x(t)\\ y=y(t) \end{cases} γ:{x=x(t)y=y(t)其中t∈[α,β]t\in[\alpha,\beta]t∈[α,β]，并且x(α)=x(β),y(α)=y(β)x(\alpha)=x(\beta),y(\alpha)=y(\beta)x(α)=x(β),y(α)=y(β)，除了起点和终点外没有重合的点。我们再规定x(t),y(t)x(t),y(t)x(t),y(t)连续可导，即有连续的导数。这种情形下，围成的图形的面积应该如何计算呢？我们先对γ\gammaγ进行定向，如下图所示

为何规定正定向呢，我们先来看γ\gammaγ围成一个X型区域的情形

当ttt从α\alphaα变动到t1t_1t1时，x(t)x(t)x(t)严格单调上升，存在反函数t=t−1(x)t=t^{-1}(x)t=t−1(x)，代入到y=y(t)y=y(t)y=y(t)，得到y=y(t−1(x))=ϕ(x)y=y(t^{-1}(x))=\phi(x)y=y(t−1(x))=ϕ(x)，这样，由y=ϕ(x),x∈[x(t1),x(α)]y=\phi(x),x\in[x(t_1),x(\alpha)]y=ϕ(x),x∈[x(t1),x(α)]为顶边的曲边梯形的面积为S1=∫x(t1)x(α)ϕ(x)dxS_1=\int_{x(t_1)}^{x(\alpha)}\phi(x)dx S1=∫x(t1)x(α)ϕ(x)dx作变换x=x(t)x=x(t)x=x(t)，得到S1=∫t1αy(t)x′(t)dt=−∫αt1y(t)x′(t)dtS_1=\int_{t_1}^\alpha y(t)x^\prime(t)dt=-\int_{\alpha}^{t_1}y(t)x^\prime(t)dt S1=∫t1αy(t)x′(t)dt=−∫αt1y(t)x′(t)dt同理，当ttt从t1t_1t1变动到β\betaβ时，x(t)x(t)x(t)单调上升，其反函数t=t2−1(x)t=t_2^{-1}(x)t=t2−1(x)代入到y=y(t)y=y(t)y=y(t)中，得到ϕ2(x)=y(t2−1(x))\phi_2(x)=y(t_2^{-1}(x))ϕ2(x)=y(t2−1(x))，以y=ϕ2(x)y=\phi_2(x)y=ϕ2(x)为顶边的曲边梯形的面积为S2=∫x(t1)x(β)ϕ2(t)dt=∫t1βy(t)x′(t)dtS_2=\int_{x(t_1)}^{x(\beta)}\phi_2(t)dt=\int_{t_1}^\beta y(t)x^\prime(t)dt S2=∫x(t1)x(β)ϕ2(t)dt=∫t1βy(t)x′(t)dt从而X型区域的面积为S=S1−S2=−∫αβy(t)x′(t)dtS=S_1-S_2=-\int_\alpha^\beta y(t)x^\prime(t)dt S=S1−S2=−∫αβy(t)x′(t)dt类似地，如果围成的区域是一个Y型区域，那么，计算公式为∫αβx(t)y′(t)dt\displaystyle \int_\alpha^\beta x(t)y^\prime(t)dt∫αβx(t)y′(t)dt。在上面求解过程中，正定向移动起到面积正负抵消的作用，对于一般的图形，若在某个过程[t1,t2][t_1,t_2][t1,t2]中，x(t)x(t)x(t)单调下降，那么按照公式，其曲边梯形的面积取正值，若单调下降，按公式，其曲边梯形的面积取负值，运动一周后，正负相抵，恰好得到γ\gammaγ所围成的图形的面积。我们以下面的图形来说明这一点

令S(t)=−∫αty(t)x′(t)dt\displaystyle S(t)=-\int_{\alpha}^t y(t)x^\prime(t)dtS(t)=−∫αty(t)x′(t)dt，则随着ttt从α\alphaα增大到β\betaβ，有S(t1)=S1+S2+S3+S4+S5+S6S(t2)=S1+S2+S6S(t3)=S1+S2+S6+S3+S4S(β)=S1+S4+S6\begin{aligned} S(t_1)&=S_1+S_2+S_3+S_4+S_5+S_6\\ S(t_2)&=S_1+S_2+S_6\\ S(t_3)&=S_1+S_2+S_6+S_3+S_4\\ S(\beta)&=S_1+S_4+S_6 \end{aligned} S(t1)S(t2)S(t3)S(β)=S1+S2+S3+S4+S5+S6=S1+S2+S6=S1+S2+S6+S3+S4=S1+S4+S6可见，对于一般的曲线围成的区域，其面积计算公式S=−∫αβy(t)x′(t)dt=∫αβx(t)y′(t)dt=12∫αβ[x(t)y′(t)−y(t)x′(t)]dt\begin{aligned} S&=-\int_\alpha^\beta y(t)x^\prime(t)dt=\int_\alpha^\beta x(t)y^\prime(t)dt\\ &=\frac{1}{2}\int_\alpha^\beta[x(t)y^\prime(t)-y(t)x^\prime(t)]dt \end{aligned} S=−∫αβy(t)x′(t)dt=∫αβx(t)y′(t)dt=21∫αβ[x(t)y′(t)−y(t)x′(t)]dt简记为S=12∫γxdy−ydxS=\frac{1}{2}\int_\gamma xdy-ydxS=21∫γxdy−ydx

例7.1 推导椭圆x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1a2x2+b2y2=1的面积公式

解：用参数方程表示{x=acos⁡θy=bsin⁡θ,θ∈[0,2π]\begin{cases} x=a\cos{\theta}\\ y=b\sin{\theta} \end{cases} ,\theta\in[0,2\pi] {x=acosθy=bsinθ,θ∈[0,2π]椭圆的面积为S=12∫02π[(acos⁡θ).(bcos⁡θ)−(bsin⁡θ)(−asin⁡θ)]dθ=abπS=\frac{1}{2}\int_0^{2\pi}[(a\cos\theta).(b\cos\theta)-(b\sin\theta)(-a\sin\theta)]d\theta=ab\pi S=21∫02π[(acosθ).(bcosθ)−(bsinθ)(−asinθ)]dθ=abπ

微元法

定积分解决的是连续量连续变化的积累或连续作用的总和，这个积累或总和表现出来的是一个量，记为AAA。比如在物理学中求解变速直线运动的位移，应当如何做呢？在时间[0,T][0,T][0,T]内，速度v(t)v(t)v(t)连续变化，为了求解整个过程的位移，我们首先要对[0,T][0,T][0,T]进行划分Δ:0=t0<t1<⋯<tn=T\Delta:0=t_0<t_1<\cdots<t_n=TΔ:0=t0<t1<⋯<tn=T，分别求解[tk−1,tk][t_{k-1},t_k][tk−1,tk]时间段内的位移SkS_kSk(k=1,2,⋯,n)(k=1,2,\cdots,n)(k=1,2,⋯,n)，设总的位移为SSS，则S=∑k=1nSk\displaystyle S=\sum_{k=1}^n S_kS=k=1∑nSk。只要λ=max⁡1≤i≤nΔtk\displaystyle\lambda = \max_{1\le i\le n}\Delta t_kλ=1≤i≤nmaxΔtk足够小，v(t)v(t)v(t)在[tk−1,tk][t_{k-1},t_k][tk−1,tk]振幅极小（由一致连续性），从而我们将其视为匀速直线运动，任取ζk∈[tk1,tk]\zeta_k\in[t_{k_1},t_k]ζk∈[tk1,tk]，估计Sk≈v(ζk)ΔtkS_k \approx v(\zeta_k)\Delta t_kSk≈v(ζk)Δtk，从而估计S≈∑k=1nv(ζk)ΔtkS\approx\sum_{k=1}^nv(\zeta_k)\Delta t_k S≈k=1∑nv(ζk)Δtk令λ→0\lambda\to 0λ→0，这时取精确值S=∫0Tv(t)dt\displaystyle S=\int_0^T v(t)dtS=∫0Tv(t)dt。为什么可以这么取呢？实际上，有估计式：mkΔtk≤Sk≤MkΔtkm_k\Delta t_k\le S_k \le M_k \Delta t_kmkΔtk≤Sk≤MkΔtk其中mkm_kmk和MkM_kMk是v(t)v(t)v(t)在[tk−1,tk][t_{k-1},t_k][tk−1,tk]上的最小值和最大值，则∑k=1nmkΔtk≤S≤∑k=1nMkΔtk\sum_{k=1}^n m_k\Delta t_k \le S \le \sum_{k=1}^n M_k \Delta t_k k=1∑nmkΔtk≤S≤k=1∑nMkΔtk而λ→0\lambda \to 0λ→0时，不等式两边都趋于∫0Tv(t)dt\displaystyle \int_0^T v(t)dt∫0Tv(t)dt，这就说明了S=∫0Tv(t)dt\displaystyle S=\int_0^T v(t)dtS=∫0Tv(t)dt。我们总结一下以上用定积分求解的过程：要考察某个连续量在区间[a,b][a,b][a,b]上的累积作用SSS，首先要要求这个量是和某个区间相联系的，并且具有区间可加性
第一步‾\underline{第一步}第一步：划分区间a=x0<x1<⋯<xn=ba=x_0<x_1<\cdots<x_n=ba=x0<x1<⋯<xn=b
第二步‾\underline{第二步}第二步：假设连续量在区间[xk−1,xk][x_{k-1},x_k][xk−1,xk]上的作用为SkS_kSk，估计SkS_kSk为Sk=f(ζk)ΔxkS_k=f(\zeta_k)\Delta x_k Sk=f(ζk)Δxk这其中f(x)f(x)f(x)是以连续函数，ζk∈[xk−1,xk]\zeta_k\in[x_{k-1},x_k]ζk∈[xk−1,xk]，至于f(x)f(x)f(x)如何确定，需要由相应的物理规律或几何知识加以确定，这是最关键的一步
第三步‾\underline{第三步}第三步：求和取极限，解得S=∫abf(x)dx\displaystyle S=\int_a^b f(x)dxS=∫abf(x)dx
第二步我们可以写成dS=f(x)dxdS=f(x)dxdS=f(x)dx，两边积分就有∫abdS=∫abf(x)dx\int_a^b dS = \int_a^b{f(x)dx} ∫abdS=∫abf(x)dx这很类似于微分的形式，因此我们把这种方法称为微元法，dSdSdS称为微元

极坐标下平面图形的面积

对极坐标下的曲线r=r(θ)≥0,θ∈[α,β],β−α<2πr=r(\theta)\ge 0,\theta\in[\alpha,\beta],\beta-\alpha<2\pir=r(θ)≥0,θ∈[α,β],β−α<2π，求r=r(θ),θ=α,θ=βr=r(\theta),\theta=\alpha,\theta=\betar=r(θ),θ=α,θ=β围成的图形的面积。我们用微元法来求解：

将[α,β][\alpha,\beta][α,β]划分为α=a0<a1<⋯<an=β\alpha=a_0<a_1<\cdots<a_n=\betaα=a0<a1<⋯<an=β，令SSS为r=r(θ),θ=α,θ=βr=r(\theta),\theta=\alpha,\theta=\betar=r(θ),θ=α,θ=β围成的图形的面积，SkS_kSk为r=r(θ),θ=ak−1,θ=akr=r(\theta),\theta=a_{k-1},\theta=a_kr=r(θ),θ=ak−1,θ=ak围成的图形的面积，S=∑k=1nSk(k=1,⋯,n)\displaystyle S=\sum_{k=1}^n S_k(k=1,\cdots,n)S=k=1∑nSk(k=1,⋯,n)
估计Sk=12r2(ζk)Δθ(k=1,2,⋯,n)S_k=\frac{1}{2} r^2(\zeta_k)\Delta \theta(k=1,2,\cdots,n)Sk=21r2(ζk)Δθ(k=1,2,⋯,n)
加总，求极限，得到S=12∫αβr2(θ)dθ\displaystyle S=\frac{1}{2}\int_\alpha^\beta{r^2(\theta)d\theta}S=21∫αβr2(θ)dθ

如图，上述的第二步实际上就是取某一个半径，以一个扇形取估计SkS_kSk，如下图所示

实际上，设r(θ)r(\theta)r(θ)在[ak−1,ak][a_{k-1},a_k][ak−1,ak]上的最小值的最大值分别为mk,Mkm_k,M_kmk,Mk，则12mk2Δθk≤Sk≤12Mk2Δθk12∑k=1nmk2Δθk≤S≤12∑k=1nMk2Δθk\frac{1}{2}m_k^2\Delta \theta_k \le S_k\le \frac{1}{2}M_k^2 \Delta \theta_k\\ \frac{1}{2}\sum_{k=1}^n m_k^2\Delta \theta_k \le S\le \frac{1}{2}\sum_{k=1}^n M_k^2\Delta \theta_k 21mk2Δθk≤Sk≤21Mk2Δθk21k=1∑nmk2Δθk≤S≤21k=1∑nMk2Δθk令λ→0\lambda \to 0λ→0，得到S=12∫αβr2(θ)dθ\displaystyle S=\frac{1}{2}\int_\alpha^\beta r^2(\theta)d\thetaS=21∫αβr2(θ)dθ
从微元的观点看，dS=12r2(θ)dθdS=\frac{1}{2}r^2(\theta)d\thetadS=21r2(θ)dθ

例7.2 求心脏线r=a(1+cos⁡θ),θ∈[0,2π]r=a(1+\cos\theta),\theta\in[0,2\pi] r=a(1+cosθ),θ∈[0,2π]所围成的面积，其中a>0a>0a>0

解：

S=a22∫02π(1+cos⁡θ)2dθ=32a2π\displaystyle S=\frac{a^2}{2}\int_0^{2\pi}(1+\cos\theta)^2d\theta=\frac{3}{2}a^2\piS=2a2∫02π(1+cosθ)2dθ=23a2π

旋转体体积

对于[a,b][a,b][a,b]上的连续函数f(x)f(x)f(x)，曲线y=f(x),x∈[a,b]y=f(x),x\in[a,b]y=f(x),x∈[a,b]绕着xxx轴旋转一周，得到的几何体的体积该如何求呢？我们将[a,b][a,b][a,b]作分划Δ:a=x0<x1<⋯<xn=b\Delta:a=x_0<x_1<\cdots<x_n=bΔ:a=x0<x1<⋯<xn=b，设VVV为y=f(x),x∈[a,b]y=f(x),x\in[a,b]y=f(x),x∈[a,b]绕着xxx轴旋转一周，得到的几何体的体积，VkV_kVk为y=f(x),x∈[xk−1,xk]y=f(x),x\in[x_{k-1},x_k]y=f(x),x∈[xk−1,xk]绕着xxx轴旋转一周(k=1,⋯,n)(k=1,\cdots,n)(k=1,⋯,n)，按微元法，下面需要对VkV_kVk进行估计，假设在[xk−1,xk][x_{k-1},x_k][xk−1,xk]上f(x)f(x)f(x)是常数，得到的几何图形是一个圆柱体，从而dV=πf2(x)dxdV=\pi f^2(x) dxdV=πf2(x)dx，由微元法V=π∫abf2(x)dxV=\pi\int_a^b{f^2(x)dx} V=π∫abf2(x)dx从另一个角度看，设f(x)f(x)f(x)在[xk−1,xk][x_{k-1},x_k][xk−1,xk]上的最大值和最小值为Mk,mkM_k,m_kMk,mk，这样πmk2Δxk≤Vk≤πMk2Δxkπ∑k=1nmk2Δxk≤V≤π∑k=1nMk2Δxk\pi m_k^2 \Delta x_k \le V_k \le \pi M_k^2\Delta x_k\\ \pi \sum_{k=1}^n m_k^2 \Delta x_k \le V \le \pi \sum_{k=1}^n M_k^2\Delta x_k πmk2Δxk≤Vk≤πMk2Δxkπk=1∑nmk2Δxk≤V≤πk=1∑nMk2Δxk两边令λ→0\lambda \to 0λ→0，就有V=π∫abf2(x)dx\displaystyle V=\pi \int_a^b f^2(x)dxV=π∫abf2(x)dx。类似地，x=g(y),y∈[a,b]x=g(y),y\in[a,b]x=g(y),y∈[a,b]绕着yyy轴旋转得到的旋转体的体积应该为V=π∫abg2(y)dy\displaystyle V = \pi \int_a^b g^2(y)dyV=π∫abg2(y)dy。

平面曲线的长度

对于一段平面曲线{x=x(t)y=y(t),t∈[a,b]\begin{cases} x=x(t)\\ y=y(t) \end{cases},t\in[a,b] {x=x(t)y=y(t),t∈[a,b]如何求解其长度呢，求解线段的长度是容易的，因此我们首先想到先将[a,b][a,b][a,b]作一个分划Δ:a=t0<t1<⋯<tn=b\Delta:a=t_0<t_1<\cdots<t_n=bΔ:a=t0<t1<⋯<tn=b，设[tk−1,tk][t_{k-1},t_k][tk−1,tk]段的长度为sks_ksk，[a,b][a,b][a,b]段的长度为sss，就有s=∑k=1nsk\displaystyle s=\sum_{k=1}^ns_ks=k=1∑nsk，对于sks_ksk，我们采用两端点之间线段的长度来估算sk≈(x(tk)−x(tk−1))2+(y(tk)−y(tk−1))2s_k\approx \sqrt{(x(t_k)-x(t_{k-1}))^2+(y(t_k)-y(t_{k-1}))^2} sk≈(x(tk)−x(tk−1))2+(y(tk)−y(tk−1))2我们设x(t),y(t)x(t),y(t)x(t),y(t)有连续的导数，此时这段曲线是光滑的曲线，由拉格朗日中值定理，存在ζk,ξk∈[xk−1,xk]\zeta_k,\xi_k \in [x_{k-1},x_k]ζk,ξk∈[xk−1,xk]，满足x(tk)−x(tk−1)=x′(ζk)Δtk,y(tk)−y(tk−1)=y′(ξk)Δtkx(t_k)-x(t_{k-1})=x^\prime(\zeta_k)\Delta t_k,y(t_k)-y(t_{k-1})=y^\prime(\xi_k)\Delta t_kx(tk)−x(tk−1)=x′(ζk)Δtk,y(tk)−y(tk−1)=y′(ξk)Δtk，从而sk≈x′2(ζk)+y′2(ξk)Δtks≈∑k=1nx′2(ζk)+y′2(ξk)Δtks_k\approx\sqrt{x^{\prime2}(\zeta_k)+y^{\prime2}(\xi_k)}\Delta t_k\\ s\approx \sum_{k=1}^n{\sqrt{x^{\prime2}(\zeta_k)+y^{\prime2}(\xi_k)}\Delta t_k} sk≈x′2(ζk)+y′2(ξk)Δtks≈k=1∑nx′2(ζk)+y′2(ξk)Δtk由于x′(t)x^{\prime}(t)x′(t)在[a,b][a,b][a,b]上连续，因此一致连续，对任意的ε>0\varepsilon>0ε>0，存在δ1>0\delta_1>0δ1>0，当∣t′−t′′∣<δ1|t^\prime-t^{\prime\prime}|<\delta_1∣t′−t′′∣<δ1时，∣f(t′)−f(t′′)∣<ε2(b−a)\left|f(t^\prime)-f(t^{\prime\prime})\right|<\frac{\varepsilon}{2(b-a)}∣f(t′)−f(t′′)∣<2(b−a)ε，当λ(Δ)<δ\lambda(\Delta)<\deltaλ(Δ)<δ时∣∑k=1nx′2(ζk)+y′2(ξk)Δtk−∑k=1nx′2(ξk)+y′2(ξk)Δtk∣≤∑k=1n∣x′(ξk)−x′(ζk)∣(∣x′(ξk)∣+∣x′(ζk)∣)x′2(ζk)+y′2(ξk)+x′2(ξk)+y′2(ξk)Δtk≤∑k=1n∣x′(ξk)−x′(ζk)∣Δtk<ε2\begin{aligned} &\left| \sum_{k=1}^n{\sqrt{x^{\prime2}(\zeta_k)+y^{\prime2}(\xi_k)}\Delta t_k} - \sum_{k=1}^n{\sqrt{x^{\prime2}(\xi_k)+y^{\prime2}(\xi_k)}\Delta t_k} \right| \\&\le \sum_{k=1}^n \frac{ \left| x^\prime(\xi_k)-x^\prime(\zeta_k)\right|(|x^\prime(\xi_k)|+|x^\prime(\zeta_k)|) }{ {\sqrt{x^{\prime2}(\zeta_k)+y^{\prime2}(\xi_k)}} + {\sqrt{x^{\prime2}(\xi_k)+y^{\prime2}(\xi_k)}} }\Delta t_k \\&\le\sum_{k=1}^n \left| x^\prime(\xi_k)-x^\prime(\zeta_k)\right|\Delta t_k<\frac{\varepsilon}{2} \end{aligned} ∣∣∣∣∣k=1∑nx′2(ζk)+y′2(ξk)Δtk−k=1∑nx′2(ξk)+y′2(ξk)Δtk∣∣∣∣∣≤k=1∑nx′2(ζk)+y′2(ξk)+x′2(ξk)+y′2(ξk)∣x′(ξk)−x′(ζk)∣(∣x′(ξk)∣+∣x′(ζk)∣)Δtk≤k=1∑n∣x′(ξk)−x′(ζk)∣Δtk<2ε因此，我们估计s≈∑k=1nx′2(ξk)+y′2(ξk)Δtks\approx \sum_{k=1}^n{\sqrt{x^{\prime2}(\xi_k)+y^{\prime2}(\xi_k)}\Delta t_k} s≈k=1∑nx′2(ξk)+y′2(ξk)Δtk存在δ2>0\delta_2>0δ2>0，当λ(Δ)<δ2\lambda(\Delta)<\delta_2λ(Δ)<δ2时∣∑k=1nx′2(ξk)+y′2(ξk)Δtk−∫abx′2(t)+y′2(t)dt∣<ε2\left| \sum_{k=1}^n{\sqrt{x^{\prime2}(\xi_k)+y^{\prime2}(\xi_k)}\Delta t_k} -\int_a^b\sqrt{x^{\prime2}(t)+y^{\prime2}(t)}dt \right|<\frac{\varepsilon}{2} ∣∣∣∣∣k=1∑nx′2(ξk)+y′2(ξk)Δtk−∫abx′2(t)+y′2(t)dt∣∣∣∣∣<2ε从而当λ(Δ)<min⁡(δ1,δ2)\lambda(\Delta)<\min{(\delta_1,\delta_2)}λ(Δ)<min(δ1,δ2)时∣∑k=1nx′2(ζk)+y′2(ξk)Δtk−∫abx′2(t)+y′2(t)dt∣<ε\left| \sum_{k=1}^n{\sqrt{x^{\prime2}(\zeta_k)+y^{\prime2}(\xi_k)}\Delta t_k} - \int_a^b\sqrt{x^{\prime2}(t)+y^{\prime2}(t)}dt\right|<\varepsilon ∣∣∣∣∣k=1∑nx′2(ζk)+y′2(ξk)Δtk−∫abx′2(t)+y′2(t)dt∣∣∣∣∣<ε从而lim⁡λ(Δ)→0∑k=1n(x(tk)−x(tk−1))2+(y(tk)−y(tk−1))2=∫abx′2(t)+y′2(t)dt\begin{aligned} &\lim_{\lambda(\Delta)\to 0}\sum_{k=1}^n{\sqrt{(x(t_k)-x(t_{k-1}))^2+(y(t_k)-y(t_{k-1}))^2}} \\=& \int_a^b\sqrt{x^{\prime2}(t)+y^{\prime2}(t)}dt \end{aligned} =λ(Δ)→0limk=1∑n(x(tk)−x(tk−1))2+(y(tk)−y(tk−1))2∫abx′2(t)+y′2(t)dt若y=f(x)y=f(x)y=f(x)在[a,b][a,b][a,b]上有连续的导数，其参数方程为{x=xy=f(x)\begin{cases} x=x\\ y=f(x) \end{cases} {x=xy=f(x)其弧长为L=∫ab1+f′2(x)dx\displaystyle L=\int_a^b\sqrt{1+f^{\prime2}(x)}dxL=∫ab1+f′2(x)dx
若是极坐标系表示曲线r=r(θ),θ∈[α,β]r=r(\theta),\theta \in[\alpha,\beta]r=r(θ),θ∈[α,β]，可以改写为参数方程形式{x=r(θ)cos⁡θy=r(θ)sin⁡θ\begin{cases} x=r(\theta)\cos\theta\\ y=r(\theta)\sin\theta \end{cases} {x=r(θ)cosθy=r(θ)sinθ则弧长为L=∫αβr′2(θ)+r2(θ)dθ\displaystyle L=\int_\alpha^\beta{\sqrt{r^{\prime2}(\theta)+r^2(\theta)}d \theta}L=∫αβr′2(θ)+r2(θ)dθ
这在微元法中，相当于微元为dS=x′2(t)+y′2(t)dtdS=\sqrt{x^{\prime2}(t)+y^{\prime2}(t)}dtdS=x′2(t)+y′2(t)dt，我们称为弧长微元

旋转体的侧面积

下面我们来讨论旋转体侧面积的求解，对曲线γ:{x=x(t)y=y(t),t∈[a,b]\gamma:\begin{cases} x=x(t)\\ y=y(t) \end{cases},t\in [a,b] γ:{x=x(t)y=y(t),t∈[a,b]并且x(t),y(t)x(t),y(t)x(t),y(t)都有连续的导数，同时，x′(t)>0,x∈[a,b]x^\prime(t)>0,x\in[a,b]x′(t)>0,x∈[a,b]，首先，取分划Δ:a=t0<t1<⋯<tn=b\Delta:a=t_0<t_1<\cdots<t_n=bΔ:a=t0<t1<⋯<tn=b，我们令Mk(x(tk),y(tk))(k=0,1,⋯,n)M_k(x(t_k),y(t_k))(k=0,1,\cdots,n)Mk(x(tk),y(tk))(k=0,1,⋯,n)，利用M1,M2,⋯,MnM_1,M_2,\cdots,M_nM1,M2,⋯,Mn将曲线分隔开若干段。在[tk−1,tk][t_{k-1},t_k][tk−1,tk]段绕xxx轴旋转一周所得的旋转体的侧面积为SkS_kSk，整段曲线绕xxx轴旋转一周所得的旋转体的侧面积为SSS，有S=∑k=1nSk\displaystyle S=\sum_{k=1}^nS_kS=k=1∑nSk。下面我们来估算Sk（k=1,⋯,n)S_k（k=1,\cdots,n)Sk（k=1,⋯,n)。连接Mk−1,MkM_{k-1},M_kMk−1,Mk所得的线段Mk−1MkM_{k-1}M_kMk−1Mk绕xxx轴旋转一周的旋转体是一个圆台。圆台的上底面半径为r1r_1r1，下底面半径为r2r_2r2，母线长为lll，则圆台的侧面积为π(r1+r2)l\pi(r_1+r_2)lπ(r1+r2)l，我们就以Mk−1MkM_{k-1}M_kMk−1Mk绕xxx轴旋转一周形成的圆台的侧面积作为SkS_kSk的估计，对k=1,⋯,nk=1,\cdots,nk=1,⋯,n，容易写出SkS_kSk的估计为Sk≈π(y(tk−1)+y(tk))[x(tk)−x(tk−1)]2+[y(tk)−y(tk−1)]2S_k \approx \pi(y(t_{k-1})+y(t_k))\sqrt{[x(t_k)-x(t_{k-1})]^2+[y(t_k)-y(t_{k-1})]^2} Sk≈π(y(tk−1)+y(tk))[x(tk)−x(tk−1)]2+[y(tk)−y(tk−1)]2由介值定理，存在ξk∈[tk−1,tk]\xi_k \in [t_{k-1},t_k]ξk∈[tk−1,tk]，满足y(ξk)=y(tk−1)+y(tk)2y(\xi_k)=\frac{y(t_{k-1})+y(t_k)}{2}y(ξk)=2y(tk−1)+y(tk)，由拉格朗日中值定理，存在ζk,γk∈[tk−1,tk]\zeta_k,\gamma_k\in[t_{k-1},t_k]ζk,γk∈[tk−1,tk]，满足x(tk)−x(tk−1)=x′(ζk)Δtky(tk)−y(tk−1)=y′(γk)Δtkx(t_k)-x(t_{k-1})=x^\prime(\zeta_k)\Delta t_k\\ y(t_k)-y(t_{k-1})=y^\prime(\gamma_k)\Delta t_k x(tk)−x(tk−1)=x′(ζk)Δtky(tk)−y(tk−1)=y′(γk)Δtk则π(y(tk−1)+y(tk))[x(tk)−x(tk−1)]2+[y(tk)−y(tk−1)]2=2πy(ξk)x′2(ζk)+y′2(γk)Δtk\begin{aligned} &\pi(y(t_{k-1})+y(t_k))\sqrt{[x(t_k)-x(t_{k-1})]^2+[y(t_k)-y(t_{k-1})]^2} \\=&2\pi y(\xi_k)\sqrt{x^{\prime2}(\zeta_k)+y^{\prime2}(\gamma_k)}\Delta t_k \end{aligned} =π(y(tk−1)+y(tk))[x(tk)−x(tk−1)]2+[y(tk)−y(tk−1)]22πy(ξk)x′2(ζk)+y′2(γk)Δtk设∣y(t)∣≤M>0,t∈[a,b]|y(t)|\le M>0,t\in[a,b]∣y(t)∣≤M>0,t∈[a,b]，再由x′(t),y′(t)x^{\prime}(t),y^{\prime}(t)x′(t),y′(t)在[a,b][a,b][a,b]上连续，故一致连续，对任意的ε>0\varepsilon>0ε>0，存在δ1>0\delta_1>0δ1>0，当∣t′−t′′∣<δ1|t^\prime-t^{\prime\prime}|<\delta_1∣t′−t′′∣<δ1时，有∣x′(t′)−x′(t′′)∣<ε8πM(b−a),∣y′(t′)−y′(t′′)∣<ε8πM(b−a)|x^{\prime}(t^\prime)-x^\prime(t^{\prime\prime})|<\frac{\varepsilon}{8\pi M(b-a)},|y^{\prime}(t^\prime)-y^\prime(t^{\prime\prime})|<\frac{\varepsilon}{8\pi M(b-a)}∣x′(t′)−x′(t′′)∣<8πM(b−a)ε,∣y′(t′)−y′(t′′)∣<8πM(b−a)ε。则当λ(Δ)<δ1\lambda(\Delta)<\delta_1λ(Δ)<δ1时2π∣∑k=1ny(ξk)x′2(ζk)+y′2(γk)Δtk−∑k=1ny(ξk)x′2(ξk)+y′2(ξk)Δtk∣≤2π∑k=1n∣y(ξk)∣∣x′2(ζk)−x′2(ξk)+y′2(γk)−y′2(ξk)x′2(ζk)+y′2(γk)+x′2(ξk)+y′2(ξk)∣Δtk≤2Mπ∑k=1n[∣x′(ζk)−x′(ξk)∣∣x′(ζk)∣+∣x′(ξk)∣x′2(ζk)+y′2(γk)+x′2(ξk)+y′2(ξk)+∣y′(γk)−y′(ξk)∣∣y′(γk)∣+∣y′(ξk)∣x′2(ζk)+y′2(γk)+x′2(ξk)+y′2(ξk)]Δtk<2Mπ∑k=1n[ε4M(b−a)πΔtk]=ε2\begin{aligned} &2\pi\left| \sum_{k=1}^n y(\xi_k)\sqrt{x^{\prime2}(\zeta_k)+y^{\prime2}(\gamma_k)}\Delta t_k -\sum_{k=1}^n y(\xi_k)\sqrt{x^{\prime2}(\xi_k)+y^{\prime2}(\xi_k)}\Delta t_k \right| \\\le&2\pi\sum_{k=1}^n |y(\xi_k)|\left| \frac{ x^{\prime2}(\zeta_k)-x^{\prime2}(\xi_k)+y^{\prime2}(\gamma_k)-y^{\prime2}(\xi_k) }{ \sqrt{x^{\prime2}(\zeta_k)+y^{\prime2}(\gamma_k)}+\sqrt{x^{\prime2}(\xi_k)+y^{\prime2}(\xi_k)} } \right|\Delta t_k \\\le&2M\pi\sum_{k=1}^n[|x^\prime(\zeta_k)-x^\prime(\xi_k)|\frac{ |x^\prime(\zeta_k)|+|x^\prime(\xi_k)| }{ \sqrt{x^{\prime2}(\zeta_k)+y^{\prime2}(\gamma_k)}+\sqrt{x^{\prime2}(\xi_k)+y^{\prime2}(\xi_k)} } \\+&|y^\prime(\gamma_k)-y^\prime(\xi_k)|\frac{ |y^\prime(\gamma_k)|+|y^\prime(\xi_k)| }{ \sqrt{x^{\prime2}(\zeta_k)+y^{\prime2}(\gamma_k)}+\sqrt{x^{\prime2}(\xi_k)+y^{\prime2}(\xi_k)} }]\Delta t_k \\< & 2M\pi\sum_{k=1}^n[\frac{\varepsilon}{4M(b-a)\pi}\Delta t_k] =\frac{\varepsilon}{2} \end{aligned} ≤≤+<2π∣∣∣∣∣k=1∑ny(ξk)x′2(ζk)+y′2(γk)Δtk−k=1∑ny(ξk)x′2(ξk)+y′2(ξk)Δtk∣∣∣∣∣2πk=1∑n∣y(ξk)∣∣∣∣∣∣x′2(ζk)+y′2(γk)+x′2(ξk)+y′2(ξk)x′2(ζk)−x′2(ξk)+y′2(γk)−y′2(ξk)∣∣∣∣∣Δtk2Mπk=1∑n[∣x′(ζk)−x′(ξk)∣x′2(ζk)+y′2(γk)+x′2(ξk)+y′2(ξk)∣x′(ζk)∣+∣x′(ξk)∣∣y′(γk)−y′(ξk)∣x′2(ζk)+y′2(γk)+x′2(ξk)+y′2(ξk)∣y′(γk)∣+∣y′(ξk)∣]Δtk2Mπk=1∑n[4M(b−a)πεΔtk]=2ε再由定积分的定义，存在δ2>0\delta_2>0δ2>0，当λ(Δ)<δ2\lambda(\Delta)<\delta_2λ(Δ)<δ2时2π∣∑k=1ny(ξk)x′2(ξk)+y′2(ξk)Δtk−∫aby(t)x′2(t)+y′2(t)dt∣<ε22\pi\left| \sum_{k=1}^n y(\xi_k)\sqrt{x^{\prime2}(\xi_k)+y^{\prime2}(\xi_k)}\Delta t_k -\int_a^b{y(t)\sqrt{x^{\prime2}(t)+y^{\prime2}(t)}dt}\right|<\frac{\varepsilon}{2} 2π∣∣∣∣∣k=1∑ny(ξk)x′2(ξk)+y′2(ξk)Δtk−∫aby(t)x′2(t)+y′2(t)dt∣∣∣∣∣<2ε当λ(Δ)<min⁡(δ1,δ2)\lambda(\Delta)<\min(\delta_1,\delta_2)λ(Δ)<min(δ1,δ2)时π∣∑k=1n(y(tk−1)+y(tk))[x(tk)−x(tk−1)]2+[y(tk)−y(tk−1)]2−2∫aby(t)x′2(t)+y′2(t)dt∣=2π∣∑k=1ny(ξk)x′2(ζk)+y′2(γk)Δtk−∫aby(t)x′2(t)+y′2(t)dt∣≤2π∣∑k=1ny(ξk)x′2(ζk)+y′2(γk)Δtk−∑k=1ny(ξk)x′2(ξk)+y′2(ξk)Δtk∣+2π∣∑k=1ny(ξk)x′2(ξk)+y′2(ξk)Δtk−∫aby(t)x′2(t)+y′2(t)dt∣<ε2+ε2=ε\begin{aligned} &\pi|\sum_{k=1}^n(y(t_{k-1})+y(t_k))\sqrt{[x(t_k)-x(t_{k-1})]^2+[y(t_k)-y(t_{k-1})]^2} \\&-2\int_a^b{y(t)\sqrt{x^{\prime2}(t)+y^{\prime2}(t)}dt}|\\=&2\pi|\sum_{k=1}^n y(\xi_k)\sqrt{x^{\prime2}(\zeta_k)+y^{\prime2}(\gamma_k)}\Delta t_k-\int_a^b{y(t)\sqrt{x^{\prime2}(t)+y^{\prime2}(t)}dt}|\\\le&2\pi| \sum_{k=1}^n y(\xi_k)\sqrt{x^{\prime2}(\zeta_k)+y^{\prime2}(\gamma_k)}\Delta t_k-\sum_{k=1}^n y(\xi_k)\sqrt{x^{\prime2}(\xi_k)+y^{\prime2}(\xi_k)}\Delta t_k |\\+&2\pi|\sum_{k=1}^n y(\xi_k)\sqrt{x^{\prime2}(\xi_k)+y^{\prime2}(\xi_k)}\Delta t_k-\int_a^b{y(t)\sqrt{x^{\prime2}(t)+y^{\prime2}(t)}dt}|\\<&\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon \end{aligned} =≤+<π∣k=1∑n(y(tk−1)+y(tk))[x(tk)−x(tk−1)]2+[y(tk)−y(tk−1)]2−2∫aby(t)x′2(t)+y′2(t)dt∣2π∣k=1∑ny(ξk)x′2(ζk)+y′2(γk)Δtk−∫aby(t)x′2(t)+y′2(t)dt∣2π∣k=1∑ny(ξk)x′2(ζk)+y′2(γk)Δtk−k=1∑ny(ξk)x′2(ξk)+y′2(ξk)Δtk∣2π∣k=1∑ny(ξk)x′2(ξk)+y′2(ξk)Δtk−∫aby(t)x′2(t)+y′2(t)dt∣2ε+2ε=ε即lim⁡λ(Δ)→0π∑k=1n(y(tk−1)+y(tk))[x(tk)−x(tk−1)]2+[y(tk)−y(tk−1)]2=2π∫aby(t)x′2(t)+y′2(t)dt\begin{aligned} &\lim_{\lambda(\Delta)\to 0}\pi \sum_{k=1}^n(y(t_{k-1})+y(t_k))\sqrt{[x(t_k)-x(t_{k-1})]^2+[y(t_k)-y(t_{k-1})]^2}\\=&2\pi\int_a^by(t)\sqrt{x^{\prime2}(t)+y^{\prime2}(t)}dt \end{aligned} =λ(Δ)→0limπk=1∑n(y(tk−1)+y(tk))[x(tk)−x(tk−1)]2+[y(tk)−y(tk−1)]22π∫aby(t)x′2(t)+y′2(t)dt侧面积就为2π∫aby(t)x′2(t)+y′2(t)dt\displaystyle 2\pi\int_a^by(t)\sqrt{x^{\prime2}(t)+y^{\prime2}(t)}dt2π∫aby(t)x′2(t)+y′2(t)dt，从微元法的角度看，即是dS=2πy(t)x′2(t)+y′2(t)dtdS=2\pi y(t)\sqrt{x^{\prime2}(t)+y^{\prime2}(t)}dtdS=2πy(t)x′2(t)+y′2(t)dt。利用这个结果，可以得到直角坐标系下旋转体的侧面积为2π∫aby(x)1+y′2(x)dx\displaystyle 2\pi\int_a^b{y(x)\sqrt{1+y^{\prime2}(x)}dx}2π∫aby(x)1+y′2(x)dx，同理也可以写出极坐标系下的公式，这里就不再赘述了。