引理

若 f(x)f(x) 在 [a,b][a, b] 上有界，
对于区间 [a,b][a,b] 的任意一个划分 P P， ∀i∈N,1≤i≤n,\forall i \in \mathbb N, 1 \le i \le n,
令 Mi=sup{f(x):x∈[xi−1,xi],},M_i = \sup \{f(x): x \in [x_{i - 1}, x_i], \},
mi=inf{f(x):x∈[xi−1,xi]},m_i = \inf \{f(x): x \in [x_{i - 1}, x_i] \},
定义 S¯¯¯(P)=∑ni=1MiΔxi,\overline S(P) = \sum _{i = 1} ^{n} M_i \Delta x_i,
S−−(P)=∑ni=1miΔxi,\underline S(P) = \sum _{i = 1} ^{n} m_i \Delta x_i,
记 S¯¯={S¯¯¯(P)},S−−={S−−(P)},\overline {\textbf {S}} = \{ \overline S(P)\}, \underline {\textbf {S}} = \{ \underline S(P)\},
L=inf{S¯¯¯(P):S¯¯¯(P)∈S¯¯},l=sup{S−−(P):S−−(P)∈S−−},L = \inf \{\overline S(P) : \overline S(P) \in \overline {\textbf {S}} \}, l = \sup \{\underline S(P) : \underline S(P) \in \underline {\textbf {S}} \},

设点 c∈[a,b],c \in [a, b], ，则 f(x)f(x) 在 [a,c],[c,b][a, c], [c, b] 上有界。
对于区间 [a,c][a, c]上的任意一个划分 P1,P_1,
同样定义 f(x)f(x) 在 [a,c][a, c] 上的 S1¯¯¯¯(P1),S1−−(P1),\overline {S_1} (P_1), \underline {S_1} (P_1), 记 S1¯¯¯¯=S1¯¯¯¯(P1),S1−−=S1−−(P1),\overline {\textbf {S}_1} = { \overline {S_1} (P_1)}, \underline {\textbf {S}_1} = { \underline {S_1} (P_1)},
L1=inf{S1¯¯¯¯(P1):S1¯¯¯¯(P1)∈S1¯¯¯¯},l1=sup{S1−−(P1):S1−−(P1)∈S1−−},L_1 = \inf \{\overline {S_1} (P_1) : \overline {S_1}(P_1) \in \overline {\textbf {S}_1} \}, l_1 = \sup \{\underline {S_1}(P_1) : \underline {S_1}(P_1) \in \underline {\textbf {S}_1} \},

对于区间 [c,b][c, b]上的任意一个划分 P2P_2
同样定义 f(x)f(x) 在 [c,b][c, b] 上的 S2¯¯¯¯(P2),S2−−(P2),\overline {S_2} (P_2), \underline {S_2} (P_2), 记 S2¯¯¯¯=S2¯¯¯¯(P2),S2−−=S2−−(P2),\overline {\textbf {S}_2} = { \overline {S_2} (P_2)}, \underline {\textbf {S}_2} = { \underline {S_2} (P_2)},
L2=inf{S2¯¯¯¯(P2):S2¯¯¯¯(P2)∈S2¯¯¯¯},l2=sup{S2−−(P2):(−P2)∈S2−−},L_2 = \inf \{\overline {S_2} (P_2) : \overline {S_2} (P_2) \in \overline {\textbf {S}_2} \}, l_2 = \sup \{\underline {S_2} (P_2) : \underline (P_2) \in \underline {\textbf {S}_2} \},
则： L=L1+L2,l=l1+l2L = L_1 + L_2, l = l_1 + l_2

证明：

对于区间 [a,b][a,b] 的任意一个划分 P P，
则 P′=P∪{c}P' = P \cup \{c\} 显然也是区间 [a,b][a,b] 的一个划分。
1) 若 c∈P,c \in P, 则 P′=P⇒S¯¯¯(P′)=S¯¯¯(P),P' = P \Rightarrow \overline S(P') = \overline S(P),
2) 若 c∉P,c \not \in P, 则 P′P' 可看作为在 PP 中插入分点 cc 得到的新的划分，因此 S¯¯¯(P′)≤S¯¯¯(P),\overline S(P') \le \overline S(P),
由1), 2)得 S¯¯¯(P′)≤S¯¯¯(P),\overline S(P') \le \overline S(P),
易知 P′∩[a,c]P' \cap [a, c] 是区间 [a,c][a,c] 的一个划分，因此 S1¯¯¯¯(P′∩([a,c])≥L1\overline {S_1} (P' \cap ([a, c]) \ge L_1 ；
P′∩[c,b]P' \cap [c, b] 是区间 [c,b][c,b] 的一个划分，因此 S2¯¯¯¯(P′∩[c,b])≥L2 \overline {S_2} (P' \cap [c, b]) \ge L_2 。
又由于 P′=P′∩[a,b]=P′∩([a,c]∪[c,b])=(P′∩[a,c])∪(P′∩[c,b]),P' = P' \cap [a, b] = P' \cap ([a, c] \cup [c, b]) = (P' \cap [a, c]) \cup (P' \cap [c, b]),
因此 S¯¯¯(P)≥S¯¯¯(P′)=S1¯¯¯¯(P′∩([a,c])+S2¯¯¯¯(P′∩[c,b])≥L1+L2,\overline S(P) \ge \overline S(P') = \overline {S_1} (P' \cap ([a, c]) + \overline {S_2} (P' \cap [c, b]) \ge L_1 + L_2, (1)\tag {1}

由 L1=inf{S1¯¯¯¯(P1):S1¯¯¯¯(P1)∈S1¯¯¯¯},L_1 = \inf \{\overline {S_1} (P_1) : \overline {S_1}(P_1) \in \overline {\textbf {S}_1} \},
L2=inf{S2¯¯¯¯(P2):S2¯¯¯¯(P2)∈S2¯¯¯¯},L_2 = \inf \{\overline {S_2} (P_2) : \overline {S_2} (P_2) \in \overline {\textbf {S}_2} \},
因此 ∀ε>0,\forall \varepsilon > 0, 存在 [a,c][a, c] 上的划分 P1,P_1, 使得 S1¯¯¯¯(P1)−L1<ε2,\overline {S_1} (P_1) - L_1 \lt \dfrac {\varepsilon} {2},
对于上面的的 ε,\varepsilon, 存在 [c,b][c, b] 上的划分 P2,P_2, 使得 S2¯¯¯¯(P2)−L2<ε2,\overline {S_2} (P_2) - L_2 \lt \dfrac {\varepsilon} {2},
于是存在 [a,b][a, b] 上的划分 P=P1∪P2,P = P_1 \cup P_2, 使得 S¯¯¯(P)−(L1+L2)\overline {S} (P) - (L_1 + L_2)
=[S1¯¯¯¯(P1)+S2¯¯¯¯(P2)]−(L1+L2)= [\overline {S_1} (P_1) + \overline {S_2} (P_2)] - (L_1 + L_2)
=[S1¯¯¯¯(P1)−L1]+[S2¯¯¯¯(P2)−L2]= [\overline {S_1} (P_1) - L_1] + [\overline {S_2} (P_2) - L_2]
<ε2+ε2=ε,\lt \dfrac {\varepsilon} {2} + \dfrac {\varepsilon} {2} = \varepsilon, (2)\tag {2}
由 (1), (2) 得 L=inf{S¯¯¯(P):S¯¯¯(P)∈S¯¯}=L1+L2,L = \inf \{\overline S(P) : \overline S(P) \in \overline {\textbf {S}} \} = L_1 + L_2,
同理可得 l=l1+l2l = l_1 + l_2

性质5 区间可加性

若 f(x)f(x) 在 [a,b][a, b] 上可积，则对任意点 c∈[a,b],f(x)c \in [a, b], f(x) 在 [a,c][a, c] 和 [c,b][c, b] 都可积；反过来，若 f(x)f(x) 在 [a,c][a, c] 和 [c,b][c, b] 都可积，则 f(x)f(x) 在 [a,b][a, b] 上可积。此时成立：
∫baf(x)dx=∫caf(x)dx+∫bcf(x)dx\int _{a} ^{b} f(x) \mathrm {d} x = \int _{a} ^{c} f(x) \mathrm {d} x + \int _{c} ^{b} f(x) \mathrm {d} x

证明：

由引理，f(x)f(x) 在 [a,b][a, b] 上可积 ⇔L=l\Leftrightarrow L = l
⇔L1+L2=l1+l2\Leftrightarrow L_1 + L_2 = l_1 + l_2
⇔L1=l1,L2=l2\Leftrightarrow L_1 = l_1, L_2 = l_2 （由于 L1≥l1,L2≥l2L_1 \ge l_1, L_2 \ge l_2）
⇔f(x)\Leftrightarrow f(x) 在 [a,c],[c,b][a, c], [c, b] 上都可积。
此时 ∫baf(x)dx=L,\int _{a} ^{b} f(x) \mathrm {d} x = L,
∫caf(x)dx=L1,\int _{a} ^{c} f(x) \mathrm {d} x = L_1,
∫bcf(x)dx=L2,\int _{c} ^{b} f(x) \mathrm {d} x = L_2,
因此 ∫baf(x)dx=∫caf(x)dx+∫bcf(x)dx\int _{a} ^{b} f(x) \mathrm {d} x = \int _{a} ^{c} f(x) \mathrm {d} x + \int _{c} ^{b} f(x) \mathrm {d} x

推论

闭区间上只有有限个不连续点的有界函数必定可积。

证明：

设函数 f(x):[a,b]→Rf(x): [a, b] \rightarrow \mathbb R 在 [a,b][a, b] 有界，且只有 k∈Nk \in \mathbb N 个不连续点 {x1<⋯<xk}\{ x_1 \lt \cdots \lt x_k \}，
令 x0=a,xk+1=b,x_0 = a, x_{k + 1} = b,
则 ∀i∈N,1≤i≤k+1,f(x)\forall i \in \mathbb N, 1 \le i \le k + 1, f(x) 在 [xi−1,xi−1+xi2][x_{i - 1}, \dfrac {x_{i - 1} + x_i} {2}] 有界且最多有一个端点不连续，
由黎曼可积的充分必要条件 (3) 中的推论 3，f(x)f(x) 在 [xi−1,xi−1+xi2][x_{i - 1}, \dfrac {x_{i - 1} + x_i} {2}] 可积。
同理，f(x)f(x) 在 [xk+xk+12,xk+1][\dfrac {x_{k} + x_{k + 1}} {2}, x_{k + 1}] 可积。
由性质5可得 f(x)f(x) 在 [a,b]=⋃i=1k+1[xi−1,xi−1+xi2]∪[xk+xk+12,xk+1][a, b] = \bigcup \limits_{i = 1} ^{ k + 1} [x_{i - 1}, \dfrac {x_{i - 1} + x_i} {2}] \cup [\dfrac {x_{k} + x_{k + 1}} {2}, x_{k + 1}] 可积。

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