性质1 线性性质

设 f(x)f(x) 和 g(x)g(x) 都在 [a,b][a, b] 上可积，
则 ∀k1,k2∈R,k1f(x)+k2g(x)\forall k_1, k_2 \in R, k_1 f(x) + k_2 g(x) 也可积，且有
∫ba[k1f(x)+k2g(x)]dx=k1∫baf(x)dx+k2∫bag(x)dx\int _{a} ^{b} [k_1 f(x) + k_2 g(x)] \mathrm {d} x = k_1 \int _{a} ^{b} f(x) \mathrm {d} x + k_2 \int _{a} ^{b} g(x) \mathrm {d} x

证明：

f(x)f(x) 在 [a,b][a, b] 上可积 ⇒∃I1∈R，\Rightarrow \exists I_1 \in \mathbb R，
使得 ∀ε>0,∃δ1>0\forall \varepsilon \gt 0, \exists \delta_1 > 0，
使得对于任意一种 [a,b][a, b] 上的划分 PP 和任意 nn 个点 {εi∈[xi−1,xi]:i∈N,1≤i≤n}\{ \varepsilon_i \in [x_{i - 1}, x_i]: i \in \mathbb N, 1 \le i \le n \} ，
只要 λ=max{Δxi:i∈N,1≤i≤n}<δ1,\lambda = \max \{\Delta x_i: i \in \mathbb N, 1 \le i \le n\} \lt \delta_1,
便有 |∑ni=1f(εi)Δxi−I1|<ε2(|k1|+1), |\sum _{i = 1} ^{n} f(\varepsilon_i)\Delta x_i - I_1| \lt \dfrac {\varepsilon} {2 (|k_1| + 1)},
g(x)g(x) 在 [a,b][a, b] 上可积 ⇒∃I2∈R，\Rightarrow \exists I_2 \in \mathbb R，
使得对于上面的 ε,∃δ2>0\varepsilon, \exists \delta_2 > 0，
使得对于任意一种 [a,b][a, b] 上的划分 PP 和任意 nn 个点 {εi∈[xi−1,xi]:i∈N,1≤i≤n}\{ \varepsilon_i \in [x_{i - 1}, x_i]: i \in \mathbb N, 1 \le i \le n \} ，
只要 λ=max{Δxi:i∈N,1≤i≤n}<δ2,\lambda = \max \{\Delta x_i: i \in \mathbb N, 1 \le i \le n\} \lt \delta_2,
便有 |∑ni=1g(εi)Δxi−I2|<ε2(|k2|+1), |\sum _{i = 1} ^{n} g(\varepsilon_i)\Delta x_i - I_2| \lt \dfrac {\varepsilon} {2 (|k_2| + 1)},
取 δ=min{δ1,δ2},\delta = \min \{ \delta_1, \delta_2 \},
则对于任意一种 [a,b][a, b] 上的划分 PP 和任意 nn 个点 {εi∈[xi−1,xi]:i∈N,1≤i≤n}\{ \varepsilon_i \in [x_{i - 1}, x_i]: i \in \mathbb N, 1 \le i \le n \} ，
只要 λ=max{Δxi:i∈N,1≤i≤n}<δ,\lambda = \max \{\Delta x_i: i \in \mathbb N, 1 \le i \le n\} \lt \delta,
便有 |∑ni=1f(εi)Δxi−I1|<ε2(|k1|+1), |\sum _{i = 1} ^{n} f(\varepsilon_i)\Delta x_i - I_1| \lt \dfrac {\varepsilon} {2 (|k_1| + 1)},
|∑ni=1g(εi)Δxi−I2|<ε2(|k2|+1), |\sum _{i = 1} ^{n} g(\varepsilon_i)\Delta x_i - I_2| \lt \dfrac {\varepsilon} {2 (|k_2| + 1)},
因此 |∑ni=1[k1f(εi)+k2g(εi)]Δxi−(k1I1+k2I2)||\sum _{i = 1} ^{n} [k_1f(\varepsilon_i) + k_2g(\varepsilon_i)] \Delta x_i - (k_1 I_1 + k_2 I_2)|
=|k1[∑ni=1f(εi)Δxi−I1]+k2[∑ni=1g(εi)Δxi−I2]|= |k_1[\sum _{i = 1} ^{n} f(\varepsilon_i)\Delta x_i - I_1] + k_2 [\sum _{i = 1} ^{n} g(\varepsilon_i)\Delta x_i - I_2] |
≤|k1||[∑ni=1f(εi)Δxi−I1|+|k2||∑ni=1g(εi)Δxi−I2|\le |k_1| |[\sum _{i = 1} ^{n} f(\varepsilon_i)\Delta x_i - I_1| + |k_2| |\sum _{i = 1} ^{n} g(\varepsilon_i)\Delta x_i - I_2|
≤(|k1|+1)|[∑ni=1f(εi)Δxi−I1|+(|k2|+1)|∑ni=1g(εi)Δxi−I2|\le (|k_1| + 1) |[\sum _{i = 1} ^{n} f(\varepsilon_i)\Delta x_i - I_1| + (|k_2| + 1) |\sum _{i = 1} ^{n} g(\varepsilon_i)\Delta x_i - I_2|

<(|k1|+1)ε2(|k1|+1)+(|k2|+1)ε2(|k2|+1)\lt (|k_1| + 1) \dfrac {\varepsilon} {2 (|k_1| + 1)} + (|k_2| + 1) \dfrac {\varepsilon} {2 (|k_2| + 1)}
=ε2+ε2=ε,= \dfrac {\varepsilon} {2} + \dfrac {\varepsilon} {2} = \varepsilon,
因此 ∀k1,k2∈R,k1f(x)+k2g(x)\forall k_1, k_2 \in R, k_1 f(x) + k_2 g(x) 也可积，且有
∫ba[k1f(x)+k2g(x)]dx=k1I1+k2I2=k1∫baf(x)dx+k2∫bag(x)dx\int _{a} ^{b} [k_1 f(x) + k_2 g(x)] \mathrm {d} x = k_1 I_1 + k_2 I_2 = k_1 \int _{a} ^{b} f(x) \mathrm {d} x + k_2 \int _{a} ^{b} g(x) \mathrm {d} x

引理

闭区间上只有有限个点不为 00 的有界函数必定可积，且 ∫baf(x)dx=0\int _{a} ^{b} f(x) \mathrm {d} x = 0

证明：

设函数 f(x):[a,b]→Rf(x): [a, b] \rightarrow \mathbb R 在 [a,b][a, b] 有界，且只在 k∈Nk \in \mathbb N 个点不为 00，
则 ∃M>0,∀x∈[a,b],|f(x)|<M,\exists M > 0, \forall x \in [a, b], |f(x)| \lt M,
f(x)=0,∀x∈[a,b]−{x′1,x′2,⋯x′k},f(x) = 0, \forall x \in [a, b] - \{x_1', x_2', \cdots x_k' \},
因此对于任意一种 [a,b][a, b] 上的划分 PP
和任意 nn 个点 {εi∈[xi−1,xi]:i∈N,1≤i≤n}\{ \varepsilon_i \in [x_{i - 1}, x_i]: i \in \mathbb N, 1 \le i \le n \} ，
最多在 kk 个点处函数值不为 00。
因此 ∀ε>0,∃δ=εkM>0\forall \varepsilon \gt 0, \exists \delta = \dfrac {\varepsilon} {kM} > 0，
使得对于任意一种 [a,b][a, b] 上的划分 PP
和任意 nn 个点 {εi∈[xi−1,xi]:i∈N,1≤i≤n}\{ \varepsilon_i \in [x_{i - 1}, x_i]: i \in \mathbb N, 1 \le i \le n \} ，
只要 λ=max{Δxi:i∈N,1≤i≤n}<δ,\lambda = \max \{\Delta x_i: i \in \mathbb N, 1 \le i \le n\} \lt \delta,
便有 |∑ni=1f(εi)Δxi−0| |\sum _{i = 1} ^{n} f(\varepsilon_i)\Delta x_i - 0|
=|∑ni=1f(εi)Δxi|= |\sum _{i = 1} ^{n} f(\varepsilon_i)\Delta x_i|
≤∑ni=1|f(εi)Δxi|\le \sum _{i = 1} ^{n} |f(\varepsilon_i)\Delta x_i|
≤∑ni=1|f(εi)||Δxi|\le \sum _{i = 1} ^{n} |f(\varepsilon_i)| |\Delta x_i|
≤δ∑ni=1|f(εi)|\le \delta \sum _{i = 1} ^{n} |f(\varepsilon_i)|
≤δ⋅kM\le \delta \cdot kM
<εkM⋅kM\lt \dfrac {\varepsilon} {kM} \cdot kM
=ε= \varepsilon
因此 ∫baf(x)dx=0\int _{a} ^{b} f(x) \mathrm {d} x = 0

推论1

若函数 f(x)f(x) 在 [a,b][a, b] 可积，函数 g(x)g(x) 在 [a,b][a, b] 有界，
且 f(x)f(x) 与 g(x)g(x) 只在 [a,b][a, b] 中的有限个点不相等，
则 g(x)g(x) 在 [a,b][a, b] 可积，且 ∫baf(x)dx=∫bag(x)dx\int _{a} ^{b} f(x) \mathrm {d} x = \int _{a} ^{b} g(x) \mathrm {d} x

证明：

g(x)−f(x)g(x) - f(x) 在 [a,b][a, b] 有界，且只在 [a,b][a, b] 中的有限个点不为 00 。
由引理，g(x)−f(x)g(x) - f(x) 在 [a,b][a, b] 可积，且 ∫ba[g(x)−f(x)]dx=0\int _{a} ^{b} [g(x) - f(x)] \mathrm {d} x = 0
由性质1，g(x)=[g(x)−f(x)]+f(x)g(x) = [g(x) - f(x)] + f(x) 在 [a,b][a, b] 可积，
且 ∫bag(x)dx=∫ba[g(x)−f(x)+f(x)]dx\int _{a} ^{b} g(x) \mathrm {d} x = \int _{a} ^{b} [g(x) - f(x) + f(x)] \mathrm {d} x
=∫ba[g(x)−f(x)]dx+∫baf(x)dx= \int _{a} ^{b} [g(x) - f(x)] \mathrm {d} x + \int _{a} ^{b} f(x) \mathrm {d} x
=∫baf(x)dx= \int _{a} ^{b} f(x) \mathrm {d} x

推论2

若函数 f(x)f(x) 在 [a,b][a, b] 可积，则
∫ba[−f(x)]dx=−∫baf(x)dx \int _{a} ^{b} [-f(x)] \mathrm {d} x = - \int _{a} ^{b} f(x) \mathrm {d} x

证明：

∫ba[−f(x)]dx=∫ba(−1)⋅f(x)dx=(−1)∫ba⋅f(x)dx=−∫baf(x)dx \int _{a} ^{b} [-f(x)] \mathrm {d} x = \int _{a} ^{b} (-1) \cdot f(x) \mathrm {d} x = (-1) \int _{a} ^{b}\cdot f(x) \mathrm {d} x = - \int _{a} ^{b} f(x) \mathrm {d} x

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