性质2 乘积可积性

若 f(x)f(x) 和 g(x)g(x) 都在 [a,b][a, b] 上可积，则 f(x)g(x)f(x)g(x) 在 [a,b][a, b] 上也可积。

证明：

f(x)f(x) 和 g(x)g(x) 都在 [a,b][a, b] 上可积，则 f(x)f(x) 和 g(x)g(x) 在 [a,b][a, b] 上有界，
于是 ∃M>0,\exists M > 0, 使得 ∀x∈[a,b],|f(x)|<M,|g(x)|<M,\forall x \in [a, b], |f(x)| \lt M, |g(x)| \lt M,
对于区间 [a,b][a,b] 的任意一个划分 P P， ∀i∈N,1≤i≤n,\forall i \in \mathbb N, 1 \le i \le n,
令 Mi=sup{f(x)g(x):x∈[xi−1,xi],},M_i = \sup \{f(x)g(x): x \in [x_{i - 1}, x_i], \},
mi=inf{f(x)g(x):x∈[xi−1,xi]},m_i = \inf \{f(x)g(x): x \in [x_{i - 1}, x_i] \},
wi=Mi−mi,w_i = M_i - m_i,

令 M′i=sup{f(x):x∈[xi−1,xi],},M_i' = \sup \{f(x): x \in [x_{i - 1}, x_i], \},
m′i=inf{f(x):x∈[xi−1,xi]},m_i' = \inf \{f(x): x \in [x_{i - 1}, x_i] \},
w′i=M′i−m′i,w_i' = M_i' - m_i',

令 M′′i=sup{g(x):x∈[xi−1,xi],},M_i'' = \sup \{g(x): x \in [x_{i - 1}, x_i], \},
m′′i=inf{g(x):x∈[xi−1,xi]},m_i'' = \inf \{g(x): x \in [x_{i - 1}, x_i] \},
w′′i=M′′i−m′′i,w_i'' = M_i'' - m_i'',
则：
∀ε>0,∃x^∈[xi−1,xi],\forall \varepsilon \gt 0, \exists \hat x \in [x_{i - 1}, x_i], 使得 f(x^)g(x^)>Mi−ε2, f( \hat x)g( \hat x) \gt M_i - \dfrac {\varepsilon} {2} ,
∃x~∈[xi−1,xi],\exists \tilde x \in [x_{i - 1}, x_i], 使得 f(x~)g(x~)<mi+ε2, f( \tilde x)g( \tilde x) \lt m_i + \dfrac {\varepsilon} {2},
因此 f(x^)g(x^)−f(x~)g(x~)>Mi−mi−2⋅ε2=wi−ε,f( \hat x)g( \hat x) - f( \tilde x)g( \tilde x) \gt M_i - m_i - 2 \cdot \dfrac {\varepsilon} {2} = w_i - \varepsilon,
易知 m′i≤f(x^),f(x~)≤M′i,m_i' \le f( \hat x), f( \tilde x) \le M_i',
⇒m′i−M′i≤f(x^)−f(x~)≤M′i−m′i=w′i,\Rightarrow m_i' - M_i' \le f( \hat x) - f( \tilde x) \le M_i' - m_i' = w_i',
⇒|f(x^)−f(x~)|≤w′i,\Rightarrow |f( \hat x) - f( \tilde x)| \le w_i',
同理，得 m′′i≤g(x^),g(x~)≤M′′i,m_i'' \le g( \hat x), g( \tilde x) \le M_i'',
⇒|g(x^)−g(x~)|≤M′′i−m′′i=w′′i,\Rightarrow |g( \hat x) - g( \tilde x)| \le M_i'' - m_i'' = w_i'',
又 |f(x^)g(x^)−f(x~)g(x~)||f( \hat x)g( \hat x) - f( \tilde x)g( \tilde x)|
=|[f(x^)−f(x~)]g(x^)+f(x~)[g(x^)−g(x~)]|= |[f( \hat x) - f( \tilde x)] g( \hat x) + f( \tilde x) [g( \hat x) - g( \tilde x)] |
≤|[f(x^)−f(x~)]g(x^)|+|f(x~)[g(x^)−g(x~)]|\le |[f( \hat x) - f( \tilde x)] g( \hat x)| + |f( \tilde x) [g( \hat x) - g( \tilde x)]|
=|f(x^)−f(x~)||g(x^)|+|f(x~)||g(x^)−g(x~)|= |f( \hat x) - f( \tilde x)| |g( \hat x)| + |f( \tilde x)| |g( \hat x) - g( \tilde x)|
≤M[|f(x^)−f(x~)|+|g(x^)−g(x~)|]\le M [|f( \hat x) - f( \tilde x)| + |g( \hat x) - g( \tilde x)|]
因此 wi−ε<f(x^)g(x^)−f(x~)g(x~)w_i - \varepsilon \lt f( \hat x)g( \hat x) - f( \tilde x)g( \tilde x)
≤|f(x^)g(x^)−f(x~)g(x~)|\le |f( \hat x)g( \hat x) - f( \tilde x)g( \tilde x)|
≤M[|f(x^)−f(x~)|+|g(x^)−g(x~)|]\le M [|f( \hat x) - f( \tilde x)| + |g( \hat x) - g( \tilde x)|]
≤M(w′i+w′′i),\le M(w_i' + w_i''),
⇒wi≤M(w′i+w′′i),\Rightarrow w_i \le M(w_i' + w_i''),
⇒∑ni=1wiΔxi\Rightarrow \sum _{i = 1} ^{n} w_i \Delta x_i
≤∑ni=1M(w′i+w′′i)Δxi\le \sum _{i = 1} ^{n} M(w_i' + w_i'') \Delta x_i
=M[∑ni=1w′iΔxi+∑ni=1w′′iΔxi],= M[\sum _{i = 1} ^{n} w_i' \Delta x_i + \sum _{i = 1} ^{n} w_i'' \Delta x_i],
f(x)f(x) 和 g(x)g(x) 都在 [a,b][a, b] 上可积，则
∀ε>0,\forall \varepsilon \gt 0, 存在区间 [a,b][a,b] 的划分 P P，使得
∑ni=1w′iΔxi<ε2M,\sum _{i = 1} ^{n} w_i' \Delta x_i \lt \dfrac {\varepsilon} {2M},
∑ni=1w′′iΔxi<ε2M,\sum _{i = 1} ^{n} w_i'' \Delta x_i \lt \dfrac {\varepsilon} {2M},
⇒∑ni=1wiΔxi\Rightarrow \sum _{i = 1} ^{n} w_i \Delta x_i
≤M[∑ni=1w′iΔxi+∑ni=1w′′iΔxi]\le M[\sum _{i = 1} ^{n} w_i' \Delta x_i + \sum _{i = 1} ^{n} w_i'' \Delta x_i]
<M(ε2M+ε2M)=ε, \lt M(\dfrac {\varepsilon} {2M} + \dfrac {\varepsilon} {2M}) = \varepsilon,
因此 f(x)g(x)f(x)g(x) 在 [a,b][a, b] 上也可积。

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