本篇开始,我们总结定积分的相关内容,本篇主要内容是定积分的引入、概念和性质

引入

记得作者在序章中讲高数研究的主要对象时,讲过两个例子分别对应微分问题和积分问题,这次我们就引入一个跟当时的例2类似的例子

请求出下面这个曲边梯形的面积

为了比较好理解,还是借助之前序章中的基本思想,分匀合精,但是这边稍有不同
第一步,我们将区间[a,b]分成n个小份
a=x0<x1<x2<…<xn=b,如下图
令Δx1=x1-x0,Δx2=x2-x1,以此类推则Δxi=xi-xi-1 (1<=i<=n)

第二步,取一小部分出来
取hi∈[xi-1,xi]
这时候第i个小部分的面积Si≈f(hi)Δxi (1<=i<=n)
注意这里是约等于,因为上面是曲边的,所以会存在误差,即使误差不大

所以整个曲边梯形的面积,emmmm这么写太难受了,插图片

这时候的S与曲边梯形的面积还是有误差的,我们来把误差消除或减小

第三步,缩小误差

令λ=max(Δx1,Δx2…Δxn)
我们把划分的最大的部分拿出来,它就是体现整个图形划分细密程度的体现,如果划分的最大的部分都已经很小了,是不是就说明整个图形的划分都是很小很细密的?

接下来就是精确化的步骤,喜闻乐见的求极限
这样我们就得到了题目中曲边梯形的面积。

这种方式实施起来几乎是不可能实现的,但是重点体会解题过程中体现的思想,还有很多类似的例子都可以使用这种思想,这里不再列举了。

定积分的定义

注解1
跟引入的题目中相同的处理步骤,第一步将区间划分,第二部求小部分面积之和,第三步找到划分标准λ,第四步结果的精确化。

到这里先停一下,回头看一下定义中的条件,f(x)在[a,b]上有界,这个条件emmm……太弱了,没有办法保证定义中第四步的极限一定是存在的,所以这个极限有可能是不存在的,这个需要注意一下。

所以真正的定义应该是
是不是有点头皮发麻?我搞个定积分就一个概念还要分步骤1234,最后还要考虑极限是不是存在?,告诉你一个好消息,你想多了,所谓定积分就只是我们上面说的那个极限,前面的几步只是帮助理解这是个什么东西,不信你把前面的步骤去掉试试看能不能看懂。

给一个小提示,一个函数的定积分的本质,是一个极限,如果这个极限存在,应该是一个确定的值,换句话说,函数的定积分应该是一个————常数

注解2
定积分的几何意义,上个图

有曲线L:y=f(x),图中L所成的曲边梯形的面积也就是阴影部分的A就是f(x)在[a,b]上的定积分
如果把曲线f(x)换成速度与时间的函数关系呢? v(t),定积分就应该是在[a,b]上走过的路程

注解3
关于极限唯一性的说明
在定义的第一步和第二步中很显然对于区间的划分和hi的取法是不唯一的,一千个人有一千种取法,而我们知道极限是具有唯一性的,对于不唯一的极限,那叫极限不存在。
我想说的是,本篇中我们的定积分,也就是定义中第四步的那个极限,与[a,b]的分法和hi的取法无关。换句话说随你怎么折腾这个区间随便怎么取hi,极限的值是不会变的

强调,函数有界不一定可积 例如

那么有没有一定可积的函数呢?有!

  • 若f(x)∈c[a,b]则f(x)在[a,b]上可积
  • 若f(x)在[a,b]上只有有限个第一类间断点(跳跃间断点和可去间断点),则f(x)在[a,b]上可积

定积分的性质

定积分的一般性质

定积分的性质
性质一:加减的定积分=定积分的加减

性质二:常数可提取

性质三:积分可分割

这个就不做证明了,做个说明吧
首先我们已经知道了定积分的几何意义是曲边梯形的面积,当a<b时如下图

下面我们分三种情况讨论,分别是a<c<b;c<a<b和a<b<c
也就是下图分别表示的情况

也就是说对于性质三,只要a<b无论三者位置关系都成立

性质4

再从几何意义的角度来看,当f(x)恒等于1时,曲边梯形就变成了举行,面积就是(b-a)*1

性质5

可以看出此时定积分就是曲边梯形的面积A


此时定积分就是曲边梯形面积的相反数-A

这里就不再放理论证明了。
推广

性质六

同样可以用几何意义理解,先积分再绝对值,再面积上会有一部分抵消掉,先绝对值再积分,就是先把下方的图形翻转上来再积分。

性质七(重点):积分中值定理

依托图像,f(x)在[a,b]上的定积分就是图中曲边梯形的面积,等号右边的意思是曲边梯形的面积等于函数在[a,b]上某一点的函数值与底边的乘积。
可以看出如果图中的两块阴影部分的面积相等,那么这个结论成立。
看到f(x)∈c[a,b]想到啥?函数在闭区间上连续,最值定理、介值定理、有界定理、零点定理,这里我们选择介值定理。

例题

例1
本篇完。

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