超级卡特兰数（bzoj 4706: B君的多边形）

2024-04-19 00:06:35

4706: B君的多边形

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Description

有一个正n多边形，我们要连接一些对角线，把这个多边形分成若干个区域。要求连接的对角线不能相交，每个点可以连出也可以不连出对角线。（即最终不要求所有区域均为三角形）问总方案数mod (10^9+7)的结果。

Input

一行一个整数n,n≤10^6

Output

一行一个整数表示答案。

Sample Input

5

Sample Output

11

超级卡特兰数（又称大施罗德数）：

公式：

前几项： 1, 1, 3, 11, 45, 197, 903, 4279, 20793, 103049, 518859, 2646723, 13648869, 71039373, 372693519, 1968801519, 10463578353, 55909013009, 300159426963, 1618362158587, 8759309660445, 47574827600981, 259215937709463……

功能：应该和卡特兰数一样有很多的应用比如这题，但是很少见到有这个说法，也不清楚其他的例子，比较神秘的序列，就先记下递推公式和前几项吧

附：快速求逆元的方法：

令inv[i]表示i对p的逆元（p为奇质数），那么有

#include<stdio.h>
#define LL long long
#define mod 1000000007
LL inv[1000005] = {1,1}, f[1000005] = {1,1};
int main(void)
{int n, i;scanf("%d", &n);for(i=2;i<=n;i++)inv[i] = (mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;for(i=2;i<=n;i++)f[i] = ((6*i-3)*f[i-1]%mod-(i-2)*f[i-2]%mod+mod)%mod*inv[i+1]%mod;printf("%lld\n", f[n-2]);
}

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