超级卡特兰数（又称大施罗德数）

题目链接：https://www.nowcoder.com/acm/contest/146/B

把前四项丢进OEIS，就能知道是

施罗德数

参照百科：https://baike.baidu.com/item/%E6%96%BD%E7%BD%97%E5%BE%B7%E6%95%B0/16536292

施罗德数是一组可用于解决组合数学中某些问题的序列。

施罗德数的前几项为1, 2, 6, 22, 90, 394, 1806, 8558, 41586, 206098,... (OEIS A006318)

但是按照施罗德数

${\color{Red} F_{n}=F_{n-1}+\sum_{k=0}^{n-1}F_{k}*F_{n-1-k}}$

递推公式暴力肯定会超时，在网上搜索“施罗德数”可以查到“超级卡特兰数”，其递推公式为:

${\color{Red} F_{n}*(n+1)=(6*n-3)*F_{n-1}-(n-2)*F_{n-2}}$

数列前几项为1, 1, 3, 11, 45, 197, 903, 4279, 20793, 103049, 518859, 2646723, 13648869, 71039373, 372693519, 1968801519, 10463578353, 55909013009, 300159426963, 1618362158587, 8759309660445, 47574827600981, 259215937709463……(从第0项开始的）

仔细观察可以看到这个数列和施罗德数除了f(1)以外都是2倍的关系，所以可以使用这个公式计算。

代码如下：

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;const int maxn=3e5;
typedef long long LL;
#define mod 998244353LL num[maxn];LL inverse(LL x,LL y)///快速幂加费马小定理求逆元
{LL sum=1;while(y){if(y&1) sum=sum*x%mod;y/=2;x=x*x%mod;}return sum%mod;
}int main()
{int n;while(~scanf("%d",&n)){num[1]=num[0]=1;if(n==1) {printf("1\n");continue;}for(int i=2;i<=n;i++){num[i]=((6*i-3)*num[i-1]%mod-(i-2)*num[i-2]%mod+mod)%mod*inverse(i+1,mod-2)%mod;}printf("%lld\n",num[n-1]*2%mod);}return 0;
}

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