卡特兰数（n个节点的二叉树情况数量+hdu2067） (超级卡特兰数(施罗德数))

卡特兰数是组合数学中一个常出现在各种计数问题中的数列。
举个栗子：1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, …。
设h(n)为catalan数的第n+1项，令h(0)=1,h(1)=1,catalan数满足递推式：
h(n)= h(0) * h(n-1)+h(1) * h(n-2) + … + h(n-1) * h(0) (n>=2)
例如：h(2)=h(0) * h(1)+h(1) * h(0)=1 * 1+1 * 1=2
h(3)=h(0) * h(2)+h(1) * h(1)+h(2) * h(0)=1 * 2+1 * 1+2 * 1=5
另类递推式：
h(n)=h(n-1) * (4*n-2)/(n+1);
递推关系的解为：
h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=0,1,2,…)
递推关系的另类解为：
h(n)=c(2n,n)-c(2n,n-1)(n=0,1,2,…)。

举个栗子：n个节点的二叉树的构成有多少种情况。
h(0)=1
先考虑一个h(1)=1明显。
两个节点的时候，h(2)=h(1)+h(0)=2;
我们推广到一般的情况，n个节点的二叉树的情况分析，根节点是一定有的，只要去考虑左子树以及右子树的情况，左子树为0时h(0)*h(n-1),左子树有1个节点的时候h(1)*h(n-2),以此类推，根节点的左子树视作另一个根节点。即h(n)= h(0) * h(n-1)+h(1) * h(n-2) + … + h(n-1) * h(0) (n>=2)。

超级卡特兰数：click

题目：click
题意：先考虑对角线一边，另一边直接乘以2即可。

	0	1	2	3	4
0	1	1	1	1	1
1	–	1	2	3	4
2	–	–	2	5	9
3	–	–	–	5	14
4	–	–	–	–	14

因为考虑的是最短路径所以一个劲的往右或者往下就是贡献。
dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1];
而对角线的数即是卡特兰数。

#include<cmath>
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string>
#include<cstdlib>
#include<istream>
#include<vector>
#include<stack>
#include<set>
#include<map>
#include<algorithm>
#include<queue>
#define inf 0x3f3f3f3f
#define llinf 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
#define MAX_len 50100*4
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod=998244353;
ll dp[40][40];
int main()
{ll i,j,k;memset(dp,0,sizeof(dp));for(i=0;i<=40;i++)dp[0][1]=1;for(i=1;i<=40;i++){for(j=i;j<=40;j++){dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1];}}int n;int yy=1;while(scanf("%d",&n)&&n!=-1){printf("%d %d %lld\n",yy++,n,dp[n+1][n+1]*2);}return 0;
}

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