水の三角(超级卡特兰数/大施罗德数)

2024-05-16 18:07:22

题目背景

这个三角图真好看。。

这个是4阶三角图。。

题目描述

现在我们定义一个三角图是像上面一样的图。。

请求出一个N阶三角图从最上方的顶点走到右下方的点的方案数。

有T组询问。

输入输出格式

输入格式：

第一行一个正整数T

第二行T个正整数Ni。

输出格式：

T行，共T个正整数，表示答案模998244353的结果。

输入输出样例

输入样例#1：

3
1 2 3

输出样例#1：

1
2
6

说明

数据范围10^6

思路:只知道每个点等于上面的+右上的+左边的。只会递推，但会超时，然后去oeis找到了这么个东西——大施罗德数(超级卡特兰数)

施罗德数的前几项为1, 2, 6, 22, 90, 394, 1806, 8558, 41586, 206098,...

oeis到的公式

${\color{Red} F_{n}*(n+1)=(6*n-3)*F_{n-1}-(n-2)*F_{n-2}}$

然后会发现这个的第i项等于卡特兰数第i+1项的2倍(除了第1项)(这就是被称为超级卡特兰数的原因吗？)

代码实现使用快速幂+费小马求逆元实现的

代码如下：(该代码取自网上，个人留作模板使用，来源地址：https://blog.csdn.net/LJD201724114126/article/details/81661838)

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
const int maxn=3e6;
typedef long long LL;
#define mod 998244353
LL num[maxn];
LL inverse(LL x,LL y)///快速幂加费马小定理求逆元
{LL sum=1;while(y){if(y&1) sum=sum*x%mod;y/=2;x=x*x%mod;}return sum%mod;
}
int main()
{int n,t;num[1]=num[0]=1;for(int i=2;i<=maxn;i++){num[i]=((6*i-3)*num[i-1]%mod-(i-2)*num[i-2]%mod+mod)%mod*inverse(i+1,mod-2)%mod;}scanf("%d",&t);while(t--){scanf("%d",&n);if(n==1) {printf("1\n");continue;}printf("%lld\n",num[n-1]*2%mod);}return 0;
}

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