【算法讲11：卡特兰数】默慈金数 | 那罗延数 | 施罗德数

⌈\lceil⌈卡特兰数⌋\rfloor⌋Catalan Number
- 引入
- 思考
- ⌈\lceil⌈卡特兰数⌋\rfloor⌋的性质
- ⌈\lceil⌈卡特兰数⌋\rfloor⌋的应用
⌈\lceil⌈默慈金数⌋\rfloor⌋Motzkin Number
- 性质
- 应用
⌈\lceil⌈那罗延数⌋\rfloor⌋Narayana number
- 性质
- 应用
⌈\lceil⌈施罗德数⌋\rfloor⌋Schröder Number
- 定义
- 应用
总结
参考与查阅

⌈\lceil⌈卡特兰数⌋\rfloor⌋Catalan Number

引入

鸡蛋饼 | 洛谷 P1976
一个圆上有 2×N2\times N2×N 个不同的点。用 NNN 条线段将他们两两相连
要求：每个点都只能被一条线段相连，且线段都不相交。
求方案数取模一个质数。 N≤2999N\le 2999N≤2999

思考

如果我们用 dpdpdp 去做，肯定会想到一个 O(N2)O(N^2)O(N2) 的方法，貌似可以过该题。
设 dp(i)dp(i)dp(i) 表示，有 2i2i2i 个点，满足要求的方案数。
我们把这 2i2i2i 个点按顺时针编号排好。
然后，我们以第一个点做基准，考虑该点和哪个点连线，对答案有多少方案数的贡献

容易想到，点 111 必须和偶数号点相连 ，不然就会出现一侧只剩下奇数个点，无法满足要求。
假设它和 kkk 号点连接，那么一侧剩下 k−2k-2k−2 个点，一侧剩下 2i−k2i-k2i−k 个点。
这就产生了两个子问题。子问题和原问题只有规模的变化，是等价的。
因为只能选择偶数点，且和 dpdpdp 定义吻合，我们按一对一对来计算绘图：

一侧分为 kkk 对点，分的方案数为 dp(k)dp(k)dp(k)；
另一侧分为 i−k−1i-k-1i−k−1对点，分的方案数为 dp(i−k−1)dp(i-k-1)dp(i−k−1)
按照乘法原则，我们把他们乘起来就是 dp(i)dp(i)dp(i) 的一部分。
然后枚举所有划分情况，即可得出：
dp(i)={1i=0∑nj=1dp(j−1)dp(i−j)i≥1dp(i)= \begin{cases} 1&i=0\\ \underset{j=1}{\overset{n}{\sum}}dp(j-1)dp(i-j)&i\ge1 \end{cases} dp(i)=⎩⎨⎧1j=1∑ndp(j−1)dp(i−j)i=0i≥1

⌈\lceil⌈卡特兰数⌋\rfloor⌋的性质

于是，我们得到了卡特兰数
我喜欢记作 Cat(i)Cat(i)Cat(i)，也有记作 Catalan(i)Catalan(i)Catalan(i) 与 CiC_iCi 与 hih_ihi 的。
根据百度百科 [1]，我们得到了卡特兰数的一些性质：

定义式：
Cat(i)={1i=0∑nj=1Cat(j−1)Cat(i−j)i≥1Cat(i)= \begin{cases} 1&i=0\\ \underset{j=1}{\overset{n}{\sum}}Cat(j-1)Cat(i-j)&i\ge1 \end{cases} Cat(i)=⎩⎨⎧1j=1∑nCat(j−1)Cat(i−j)i=0i≥1
递推式:
Cat(n)=Cat(n−1)4n−2n+1Cat(n)=Cat(n-1)\cfrac{4n-2}{n+1} Cat(n)=Cat(n−1)n+14n−2
关系式：
Cat(n)=C2nnn+1=C2nn−C2nn−1Cat(n)=\cfrac{C_{2n}^n}{n+1}=C_{2n}^n-C_{2n}^{n-1} Cat(n)=n+1C2nn=C2nn−C2nn−1
最残酷的是，这几个都要记住，每个式子都有自己的优点和缺点…
神奇的是，卡特兰数在一些看似不同的题目中均有出现。

⌈\lceil⌈卡特兰数⌋\rfloor⌋的应用

图片均出自wikipedia

常规分析法
就像上面引入的问题一样，每一步可以把大问题划分成两个小问题，然后乘起来求和。
【鸡蛋饼】 | 洛谷 P1976
【楼梯搭建】 | 洛谷 P2532
【凸多边形的三角划分问题】
【矩阵连乘方案数】
【NNN个节点组成二叉树的方案数】
非常规分析法
你每次可以向右或向上移动一格，且不能跨过对角线，从(0,0)(0,0)(0,0)走到 (n,n)(n,n)(n,n)的方案数

抽象地，如果向右移动一格记作 +1+1+1，向上移动一格记作 −1-1−1，那么卡特兰数还可以表示为：
每个元素为 ±1\pm1±1，且每一个前缀和都非负，且整个序列的和为 000 的长度为 nnn 的序列的个数。
.
【矩阵】 | 洛谷 P1722
红色看做 +1+1+1 黑色看做 −1-1−1，满足定义。
.
【栈】 | 洛谷 P1044
栈的进入和进出相当于 +1/−1+1/-1+1/−1，前缀和非负表示栈内元素数非负，整个序列和为 000 表示所有元素都进、出栈完成。
.
【球迷购票】 | 洛谷 P1754
50￥50￥50￥相当于 +1+1+1，100￥100￥100￥要找零相当于 −1-1−1，和定义相符。
`
【nnn对括号的合法匹配个数】
(\color{cyan}(( 看做 +1+1+1，)\color{cyan})) 看做 −1-1−1，和定义相符。
.
【有趣的序列】 | 洛谷 P3200
这个问题，等价于：给定 2×n2\times n2×n的矩阵，矩阵中的所有元素构成一个 1∼2n1\sim 2n1∼2n的全排列
要求矩阵下边的元素大于上边的，右边的元素大于左边的。
求方案数。（这是什么？这是2020年蓝桥杯省赛的原题呀！）
非常规思考法：我们依次 1∼2n1\sim 2n1∼2n 摆放，每次选择摆放上行或者下行。
要求上行个数每时每刻都要大于等于下行个数，那就设上行放一个元素即为 +1+1+1，下行放为 −1-1−1
然后又又又符合定义了，答案就是 Cat(n)Cat(n)Cat(n)
但是！ 这题 nnn 比较大，模数又不是质数，我们目前阶段只能使用 3关系式 做（据说可以分治FFT做啥的？肯定我不懂了）。
答案就是 ∏i=n+22ni∏i=1ni\cfrac{\prod_{i=n+2}^{2n}i}{\prod_{i=1}^ni}∏i=1ni∏i=n+22ni
还是不好办，我们使用 欧拉筛 求出每个数的最小质因数，然后把每个数都分解为一个质数和另一个因数。于是答案最终会变成一些质数的乘积，因为每一个分母都会被某个分子给约掉。

const int MAX = 2e6+50;ll qpow(ll a,ll n,ll p){a%=p;ll res = 1LL;while(n){if(n&1)res=res*a%p;a=a*a%p;n>>=1;}return res;}int ep[MAX],mp[MAX];
int vis[MAX],prime[MAX];
int cnt;
void shai(int n){mp[1] = 1;for(int i = 2; i <= n;++i){if(!vis[i]){prime[++cnt] = i;mp[i] = i;}for(int j = 1;j <= cnt && i * prime[j] <= n;++j){vis[i * prime[j]] = 1;mp[i * prime[j]] = prime[j];if(i % prime[j] == 0)break;}}
}
int main()
{int n,p;cin >> n >> p;shai(n*2);for(int i = 1;i <= n;++i)ep[i] = -1;for(int i = n + 2;i <= 2 * n;++i)ep[i] = 1;for(int i = n * 2;i > 1;--i){if(mp[i] < i){ep[mp[i]] += ep[i];ep[i/mp[i]] += ep[i];}}ll res = 1;for(int i = 2;i <= n * 2;++i){if(mp[i] == i){res = res * qpow(i,ep[i],p) % p;}}cout << res;return 0;
}

⌈\lceil⌈默慈金数⌋\rfloor⌋Motzkin Number

性质

记作 MiM_iMi

定义式：
Mi={1i=12i=2Mi−1+∑i−2j=0MjMi−j−2i≥3M_i= \begin{cases} 1&i=1\\ 2&i=2\\ M_{i-1}+\underset{j=0}{\overset{i-2}{\sum}}M_{j}M_{i-j-2}&i\ge3 \end{cases} Mi=⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧12Mi−1+j=0∑i−2MjMi−j−2i=1i=2i≥3
递推式：
Mn=(2n+1)Mn−1+(3n−3)Mn−2n+2M_n=\cfrac{(2n+1)M_{n-1}+(3n-3)M_{n-2}}{n+2} Mn=n+2(2n+1)Mn−1+(3n−3)Mn−2
关系式： 式子得到方法见下 [ 3 ]
Mn=∑i=0⌊n2⌋Cn2iCat(i)M_n=\sum_{i=0}^{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor}C_n^{2i}Cat(i) Mn=i=0∑⌊2n⌋Cn2iCat(i)
可以看到定义式和关系式都表示默慈金数和卡特兰数有某种联系
咋连一个定义都没有？因为在数学的各分支中，默慈金数至少有十四个彼此不同的展现存在[2]

应用

【弦划分】
一个圆上有 NNN 个不同的点。
画出彼此不相交的弦的方案数，即为 MNM_NMN
【Delta Wave】 | HDU 3723
从 (0,0)(0,0)(0,0) 到 (N,0)(N,0)(N,0)，你每次可以向右上一格/向右下一格/向正右一格，且不能低于 yyy 轴
方案数就是 MNM_NMN 。
可以用关系式推导：假设有 xxx 条上升线段，则必有 xxx 条下降线段。
我们首先从 NNN 步中选出 2x2x2x 步用于上升与下降，其余步数都是平右。方案数 CN2iC_{N}^{2i}CN2i
接下来，如果上升表示 +1+1+1，下降表示 −1-1−1，要求所有前缀和都非负，且总和为 000
这样满足 卡特兰数 的性质，故方案数为 Cat(i)Cat(i)Cat(i)
然后枚举所有可能性累加即可。[ 3 ]
【计算】 | 51nod 1556
长度为 NNN 的序列，每个元素都为正整数。
第一个元素为 111，相邻两个数的差不超过 111。求这样的序列的方案数。
可以想到，默慈金数的要求：相邻差为 111 满足，非负要求满足，但是头和尾相同要求没有满足。
我们设 dp(i)dp(i)dp(i) 表示满足的答案， MiM_iMi 表示默慈金数。
容易想到，dp(i)=3dp(i−1)dp(i)=3dp(i-1)dp(i)=3dp(i−1)再减去一些非法个数。

乘以三是因为每一步可以向三个方向选择。(蓝箭头)
非法个数是什么？就是第 i−1i-1i−1 步，纵坐标正好为 111 的方案数。(红箭头为非法方案，即 Mi−2M_{i-2}Mi−2)
得到了：dp(i)=3dp(i−1)−Mi−2dp(i)=3dp(i-1)-M_{i-2}dp(i)=3dp(i−1)−Mi−2

ll M[MAX];
ll dp[MAX];
int main()
{int n;cin >> n;M[1] = 1;M[2] = 2;dp[1] = 1;dp[2] = 2;for(int i = 3;i <= n;++i){dp[i] = (3 * dp[i-1] - M[i-2]) % MOD;M[i] = M[i-1] * (2*i+1) % MOD + (3*i-3) * M[i-2] % MOD;M[i] = M[i] * inv(i + 2) % MOD;}dp[n] = (dp[n] + MOD) % MOD;cout << dp[n];return 0;
}

⌈\lceil⌈那罗延数⌋\rfloor⌋Narayana number

性质

记作 N(n,k)N(n,k)N(n,k) [3]

定义式：
N(n,k)=1nCnkCnk−1N(n,k)=\frac{1}{n}C_n^kC_n^{k-1} N(n,k)=n1CnkCnk−1
关系式：
∑i=1nN(n,i)=Cat(n)\sum_{i=1}^nN(n,i)=Cat(n) i=1∑nN(n,i)=Cat(n)
那罗延数和卡特兰数的关系可以从关系式中看到。
看一下这张图：来源 [ 3 ]

可以看到，N(n,k)N(n,k)N(n,k) 表示你每次只能向右上一格/向右下一格，从 (0,0)(0,0)(0,0) 到 (2N,0)(2N,0)(2N,0)，满足纵坐标非负要求，且峰为 kkk 个的方案数。
所有的合法方案数，如果坐标系转九十度，等价为：
每次可以向右走一格/向上走一格， 从 (0,0)(0,0)(0,0) 到 (n,n)(n,n)(n,n) 不越过对角线的方案数
这就得到了该关系式。

应用

【括号匹配】
有 nnn 对括号，共有 kkk 对 (\color{cyan}(( 和 )\color{cyan})) 相邻的合法括号序列方案数为 N(n,k)N(n,k)N(n,k)

⌈\lceil⌈施罗德数⌋\rfloor⌋Schröder Number

定义

施罗德数也叫大施罗德数，也叫超级卡特兰数。记作 SnS_nSn

定义式：
Sn={1n=0或n=1Sn−1+∑i=0n−1SiSn−k−1n≥2S_n= \begin{cases} 1&n=0或n=1\\ S_{n-1}+\sum_{i=0}^{n-1}S_iS_{n-k-1}&n\ge2 \end{cases} Sn={1Sn−1+∑i=0n−1SiSn−k−1n=0或n=1n≥2
递推式：
Sn=(6n−3)Sn−1−(n−2)Sn−2n+1S_n=\cfrac{(6n-3)S_{n-1}-(n-2)S_{n-2}}{n+1} Sn=n+1(6n−3)Sn−1−(n−2)Sn−2

应用

【又是走格子】

(0,0)(0,0)(0,0) 走到 (n,n)(n,n)(n,n)的格子，每次可以向右上走一格/向右走一格/向上走一格，且不超过对角线的方案数。 [ 4 ]

总结

卡特兰数最常用到
默慈金数、那罗延数、施罗德数是卡特兰数的拓展
每者的几何意义都有和走格子有关：
卡特兰数 Cat(n)Cat(n)Cat(n) ：(0,0)(0,0)(0,0) 走到 (n,n)(n,n)(n,n)，移动规则为 (1,0)、(0,1)(1,0)、(0,1)(1,0)、(0,1) 且不穿过对角线的方案数
施罗德数 SnS_nSn ：(0,0)(0,0)(0,0) 走到 (n,n)(n,n)(n,n)，移动规则为 (1,0)、(0,1)、(1,1)(1,0)、(0,1)、(1,1)(1,0)、(0,1)、(1,1) 且不穿过对角线的方案数
默慈金数 MnM_nMn ：(0,0)(0,0)(0,0) 走到 (n,0)(n,0)(n,0)，移动规则为 (1,0)、(1,−1)、(1,1)(1,0)、(1,-1)、(1,1)(1,0)、(1,−1)、(1,1) 且不穿过 xxx 轴的方案数
那罗延数 N(n,k)N(n,k)N(n,k) ：(0,0)(0,0)(0,0) 走到 (2n,0)(2n,0)(2n,0)，移动规则为 (1,1)、(1,−1)(1,1)、(1,-1)(1,1)、(1,−1) 且不穿过 xxx 轴，有 kkk 个峰的方案数

参考与查阅

[1] 百度百科：卡特兰数
[2] 百度百科：默慈金数
[3] 百度百科：那罗延数
[4] 百度百科：施罗德数

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