（4）复函数与拉普拉斯变换

s=σ+jωs = \sigma + j\omegas=σ+jω

复函数

左边Re为实部，右边Im为虚部

例子G(s)=1sG(s) = \frac{1}{s}G(s)=s1时，对其执行分母有理化，如图分别得到实部和虚部

极点

Poles of a function

当函数乘上（（x−xi）（x-x_i）（x−xi），也就是xxx趋向于xix_ixi时，这个函数不等于0, 或者不等于正负无穷大的时候，这个值就是极点。

举个例子来

在s1=-1和s2=-3时候有极点

s = -3时同理

一般，极点就看分母，分母等于0的点就是极点。也就是说，函数G(s)的极点是G(s)的分母的根。

零点

乘的那一项给个倒数，不等于0或正负无穷

依然先给个例子吧，和上面相反这次是分子等于0

在s1=-2和s2=-4的时候有零点

同理-4

零点看分子，分子等于0的点就是零点，也就是说，函数G（s）的零点是G（s）分子的根

微分方程

工程中的许多系统都是用微分方程进行数学建模的，

这些方程通常涉及因变量的导数和积分

一般情况：
在一个系统

一阶导数、二阶导数、三阶导数…

这是一个线性常微分方程,当系数不是y(t)的函数，这些是独立自由的常数，互相之间是独立的。

最高导几次，就是几阶

拉普拉斯变换

拉普拉斯变换是求解线性常微分方程的数学工具之一。
拉普拉斯变换将微分方程转换为（s-domain频域，从时间域到频域）中的代数方程
通过简单的单数运算可以很容易地处理代数方程，获得s域中的解
微分方程的最终解是通过采用逆拉普拉斯变换得到的
s域是指在频域分析中以虚指数exp为基本信号，任意信号课分解为众多不同频率的虚指数分量。

给出实数函数f(t)满足

对一些有限实域函数σ小于无穷，拉普拉斯变换定义成

也就是换元成这样

举个例子

逆拉普拉斯变换

对应一下f(t)就成了这样子

其中c是大于F（s）所有极点实部的实常数

一般的拉普拉斯变换不用去算，有个表格

前四种简单的记一下

例子就是查表

一些拉普拉斯变换小技巧

一、乘以常数

如图，可以放出来

二、加加减减

三、求导

四、积分

五、初值定理

求前面这项趋于0时候的极限，就是求后面这个乘以s的极限。

六、终值定理

和初值定理相反，求前面趋于无穷的极限，也就是求后面趋于0的极限

5和6刚好相反

这六个好好记住

总结下前面转换对应关系