Day8--复数和复变函数之拉普拉斯变换及反变换和Z变换及反变换

MATLAB是一个很强大的软件，在自动控制领域也是使用非常广泛，本系列博文将基于控制系统仿真进行，参考书籍《MATLAB/Simulink与控制系统仿真》，该系列博文与笔者的自动控制理论(考研篇)互为补充，详细理论知识点请各位移步自动控制理论(考研篇)系列博客。

8.复数和复变函数之拉普拉斯变换及反变换和Z变换及反变换

8.1 拉普拉斯变换及反变换

采用符号运算工具箱进行拉氏变换和反变换，采用laplace和ilaplace，使用syms函数定义符号变量；
符号变量定义函数syms格式1：syms arg1 arg2 …，定义arg1,arg2等；
符号变量定义函数syms格式2：arg1=sym(‘arg1’);arg2=sym(‘arg2’);…；
符号变量定义函数syms格式3：syms arg1 arg2…datatype，其中datatype是变量的数据类型，可以是实型(real)、整型(positive)、非整型(unreal)等；
拉氏变换函数格式：L=laplace(F)，F是时域函数表达式，约定的自变量是t，得到拉氏变换函数是L(s)；
拉氏反变换函数格式：F=ilaplace(L)，将L拉氏函数变换为时域函数F；

注：读者需要移步笔者的自动控制原理(考研篇)查阅拉氏变换相关知识，或自行查阅拉氏变换相关知识，在此只是说明如何通过MATLAB这个工具去实现拉氏变换及拉氏反变换。

实战1：求函数f1(t)=eat(af_1(t)=e^{at}(af1(t)=eat(a为实数)))、f2(t)=t−sin⁡tf_2(t)=t-\sin{t}f2(t)=t−sint的拉氏变换。

% 实战环境：MATLAB 2020b
% Tips：以下均由MATLAB验证>> syms t s a;                      % 创建符号变量；
>> f1=exp(a*t);f2=t-sin(t);         % 定义函数
>> L1=laplace(f1);L2=laplace(f2);   % 进行拉氏变换
>> L1,L2L1 =
-1/(a - s)L2 =
1/s^2 - 1/(s^2 + 1)

实战2：求函数F1(s)=1s(1+s2)、F2(s)=s+3(s+1)(s+2)F_1(s)=\frac{1}{s(1+s^2)}、F_2(s)=\frac{s+3}{(s+1)(s+2)}F1(s)=s(1+s2)1、F2(s)=(s+1)(s+2)s+3的拉氏反变换。

% 实战环境：MATLAB 2020b
% Tips：以下均由MATLAB验证% Tips：需要把t定义上，而不是单定义符号变量s
>> syms t s;                          % 定义符号变量
>> F1=1/(s*(1+s^2));                    % 定义函数
>> F2=(s+3)/((s+1)*(s+2));
>> f1=ilaplace(F1);f2=ilaplace(F2);     % 进行拉氏反变换
>> f1,f2
f1 =
1 - cos(t)f2 =
2*exp(-t) - exp(-2*t)

8.2 Z变换及其反变换

注：读者需要移步笔者的自动控制原理(考研篇)查阅Z变换相关知识，或自行查阅Z变换相关知识，在此只是说明如何通过MATLAB这个工具去实现Z变换及Z反变换。

MATLAB中实现Z变换和反变换的函数：ztrans和iztrans；

ztrans函数格式：
1. F=ztrans(f)：函数返回独立变量n关于符号向量f的Z变换函数： ztrans(f)⇔\Leftrightarrow⇔F(z)=symsum(f(n)/znz^nzn,n,0,inf)；
2. F=ztrans(f,w)：函数返回独立变量n关于符号向量f的Z变换函数，用w代替了z： ztrans(f,w)⇔\Leftrightarrow⇔F(w)=symsum(f(n)/wnw^nwn,n,0,inf)；
3. F=ztrans(f,k,w)：函数返回独立变量n关于符号向量k的Z变换函数，用w代替了z： ztrans(f,k,w)⇔\Leftrightarrow⇔F(w)=symsum(f(k)/wkw^kwk,k,0,inf)；
iztrans函数格式：
1. f=iztrans(F)：函数返回独立变量z关于符号向量F的Z反变换函数；
2. f=iztrans(F,k)：函数返回独立变量k关于符号向量F的Z反变换函数，使用k代替z；
3. f=iztrans(F,w,k)：函数返回独立变量w关于符号向量F的Z反变换函数；

实战3：求函数f1(t)=t、f2(t)=e−at、f3(t)=sin⁡(at)f_1(t)=t、f_2(t)=e^{-at}、f_3(t)=\sin{(at)}f1(t)=t、f2(t)=e−at、f3(t)=sin(at)的Z变换。

% 实战环境：MATLAB 2020b
% Tips：以下均由MATLAB验证
% Tips：注意下面符号函数定义>> syms n a w k z T;                          % 创建符号变量，T为取样周期；
>> x1=ztrans(n*T);x1=simplify(x1);              % 进行z变换，并化简结果
>> x2=ztrans(exp(-a*n*T));x2=simplify(x2);
>> x3=ztrans(sin(w*a*T),w,z);x3=simplify(x3);
>> x1,x2,x3
x1 =
(T*z)/(z - 1)^2 x2 =
z/(z - exp(-T*a))x3 =
(z*sin(T*a))/(z^2 - 2*cos(T*a)*z + 1)

实战4：求函数F1(s)=1s(s+1)、F2(s)=ss2+a2、F3(s)=a−b(s+a)(s+b)F_1(s)=\frac{1}{s(s+1)}、F_2(s)=\frac{s}{s^2+a^2}、F_3(s)=\frac{a-b}{(s+a)(s+b)}F1(s)=s(s+1)1、F2(s)=s2+a2s、F3(s)=(s+a)(s+b)a−b的Z变换。

% 实战环境：MATLAB 2020b
% Tips：以下均由MATLAB验证>> syms s n t1 t2 t3 a b k z T;             % 创建符号变量，T为采样周期% 对传递函数进行拉氏反变换
>> x1=ilaplace(1/s/(s+1),t1);x1=simplify(x1);
>> x2=ilaplace(s/(s^2+a^2),t2);x2=simplify(x2);
>> x3=ilaplace((a-b)/(s+a)/(s+b),t3);x3=simplify(x3);
>> x1,x2,x3x1 =
1 - exp(-t1)x2 =
cos(a*t2)x3 =
exp(-b*t3) - exp(-a*t3)% 对传递函数反变换后的时域函数进行Z变换>> x1=ztrans(1-exp(-n*T));x1=simplify(x1);
>> x2=ztrans(cos(a*n*T));x2=simplify(x2);
>> x3=ztrans(exp(-b*n*T)-exp(-a*n*T));x3=simplify(x3);
>> x1,x2,x3x1 =
z/(z - 1) - z/(z - exp(-T)) x2 =
(z*(z - cos(T*a)))/(z^2 - 2*cos(T*a)*z + 1)x3 =
z/(z - exp(-T*b)) - z/(z - exp(-T*a))

实战5：求函数F1(z)=2z2−0.5zz2−0.5z−0.5F_1(z)=\frac{2z^2-0.5z}{z^2-0.5z-0.5}F1(z)=z2−0.5z−0.52z2−0.5z和F2(z)=z+0.5z2+3z+2F_2(z)=\frac{z+0.5}{z^2+3z+2}F2(z)=z2+3z+2z+0.5的Z反变换。

% 实战环境：MATLAB 2020b
% Tips：以下均由MATLAB验证>> syms z a k T;            % 定义符号变量
>> x1=iztrans((2*z^2-0.5*z)/(z^2-0.5*z-0.5));x1=simplify(x1);
>> x2=iztrans((z+0.5)/(z^2+3*z+2));x2=simplify(x2);
>> x1,x2x1 =
(-1/2)^n + 1x2 =
(-1)^n/2 - (3*(-2)^n)/4 + kroneckerDelta(n, 0)/4